Rudimentos 3: Inducción Matemática Profesor Ricardo Santander

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1 Rudimentos 3: Inducción Matemática Profesor Ricardo Santander El capitulo de Inducción Matemática, esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitirán al estudiante operar con simbología matemática, describir analizar y aplicar el principio de Inducción Matemática, en particular usando esta técnica comprobará rápida y eficientemente, la veracidad o falsedad de fórmulas proposicionales definidas en los números naturales. Axiomas de Peano: Una Construcción Axiomática de los Números Naturales Si aceptamos que una teoría, se construye esencialmente en base a dos objetos: Conceptos primitivos, en el sentido que no son definidos, pero de una simple interpretación intuitiva y, Axiomas o verdades reveladas que se aceptan sin demostrar, y que rigen el comportamiento de los conceptos primitivos, y de ellos se deducen proposiciones y teoremas Un muy buen ejemplo de una construcción axiomática que obedece este patrón, es la de los Números Naturales, a través de los geniales Axiomas de Peano, los que pasamos a enunciar y analizar sólo con la profundidad necesaria, para situar y resolver nuestro objetivo de estudiar más en detalle el Principio de Inducción.. Axiomas de Peano. El Concepto Primitivo aquí es la idea de sucesor. Es decir para cada n N, el símbolo n+ se entenderá como el sucesor de dicho número n Ejemplo.. 3 es el sucesor de, pues 3 + Ejemplo.3. 7 es el sucesor de 6, pues 7 6+ Ejemplo.. 33 es el sucesor de 3, pues El Cuerpo Axiomático consiste en los siguientes cinco Axiomas: Ax : es un número natural Esto significa que existe al menos un número natural Ax : Si n N entonces n+ N

2 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER Todo número natural tiene un sucesor n+ debe ser entendido como el símbolo sucesor de n Ax 3 : No existe un número natural n, tal que su sucesor sea Esto significa que N posee un primer elemento Ax : Si n N y m N tal que n+ m+ entonces n m Esto significa que podemos escribir sin ambigüedad N {,,3, } Ax 5 : Si S N es tal que verifica simultáneamente las dos siguientes propiedades: S n S n+ S entonces S N Ax 5 se conoce como el axioma de inducción o principio de inducción Es una de las más bellas estrategias que utiliza el intelecto humano, para hacer finito lo infinito La idea expresada en el comando S, es simbólica sólo dice que a partir de un cierto momento, comienza a realizarse sistemáticamente, (quizás la idea intuitiva del nacimiento) un algoritmo. En nuestro contexto, reinterpretaremos la idea de sucesor, para obtener un método para validar fórmulas proposicionales definidas en los naturales. Formalización y Verificación de Fórmulas Usando el Axioma de Inducción En esta sección transformaremos el axioma de inducción de Peano, en una formidable herramienta para verificar el valor de verdad de fórmulas proposicionales, para ello procederemos como sigue Realizaremos en primer lugar la adecuación del axioma para la validación de fórmulas proposicionales, para ello enunciaremos y probaremos el teorema central de la sección, al cual lo llamaremos Peano y las fórmulas proposicionales En Segundo lugar, construiremos en forma concreta, ayudados por la intuición y conocimientos geométricos básicos algunas fórmula proposicionales Finalmente, construiremos un macro llamado sumatoria que nos permitirá comprimir, simplificar y comprender de mejor forma la información representada por estas fórmulas proposicionales Teorema.. Peano y las fórmulas proposicionales Sea F(n) una fórmula proposicional para cada n N. Si F() es verdadera, y F(n) verdadera F(n+) verdadera

3 Entonces F(s) es verdadera ( s;s N) Demostración 3. CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES 3 Para aplicar el axioma de inducción Ax 5 definimos el conjunto S {n N F(n) es verdadera} Y entonces F() verdadera S [F(n) verdadera F(n+) verdadera ] [n S (n+) S] Por tanto, S n S (n+) S } S N F(n) es verdadera ( n;n N) Usaremos la siguiente Notación: La etapa n, es decir F(n) la llamaremos Hipótesis de Inducción, y a la etapa n+, la llamaremos Tesis de Inducción. 3. Construcción de Algunas Fórmulas Proposicionales 3.. Una fórmula para La suma de los n primeros números naturales : Generemos una fórmula que permita calcular el número máximo de intersecciones de n líneas rectas distintas, para cada n N Para entender el problema, llamaremos n al número de rectas e I al número de intersecciones de ellas Si n tenemos la situación: L I L Lo que nos hace concluir que: n I Para n 3 tenemos que la situación, es la siguiente:

4 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER L I I I 3 L L 3 De donde concluimos que: n 3 I 3 ()+ Para n tenemos que: I I I 3 I I 5 I 6 L L L En este caso tenemos que: n I 6 (+)+3 Ahora para n 5 L 3 I 7 I 8 I I 5 L I 9 I I I 3 I 6 L I 0 L L 3 L 5 La situación es la siguiente: n 5 I 0 (++3)+

5 3. CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES 5 Podemos intentar seguir realizando la intersección de más rectas, pero se ve que cada vez será más difícil graficar como lo hemos hecho hasta ahora, por tanto es el momento de intentar un modelamiento más abstracto del problema Partamos con n 6 L L 3 L L 5 L L L L 3 L L 5 Aquí como antes tenemos que: n 6 5 (++3+)+5 Desde el punto de vista algebraico tenemos la siguiente situación para analizar: (5 )+(5 )+(5 3)+(5 ) (5+) +(5+) +(5+) 3+(5+) +(5+) 5 5(5+) 3 5 5(5+) 5 Luego, (++3++5) 5(5+), o sea que Para n (5+) L L 3 L L 5 L 6 L L L L 3 L L 5 L 6 En este caso tenemos que: n 7 (++3++5)+6

6 6 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER Procediendo en forma análoga al caso anterior tenemos que: (6 )+(6 )+(6 3)+(6 )+(6 5) (6+) +(6+) +(6+) 3+(6+) +(6+) 5+(6+) 6 6(6+) (6+) Luego, ( ) 6(6+), de donde, (6+) Pero, también podemos obtener el mismo resultado, razonando como sigue (5+) 5(5+) +6 +(5+) 5(5+)+(5+) [ ] 7(5+) 6 7 6(6+) En el caso general emulando la primera forma de razonar tenemos que ++ +n n+(n )+(n )+ +(n n+) (n+) +(n+) + +(n+) n n(n+) 3 n n(n+) (++ +n) Así que, ++ +n n(n+) Luego, la fórmula F(n), que define el número máximo de intersecciones de n rectas, para cada n N es de la forma

7 3. CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES 7 F(n) : n n(n+) n () Ahora aprovechando la idea obtenida en [ ], y aplicando el Teorema (.), podemos hacer lo siguiente: Mostremos inicialmente que F() es verdadera Como (+) entonces (+), y F() es verdadera. Si suponemos que F(n) es verdadera debemos mostrar que F(n+) es verdadera En primer lugar, F(n) verdadera si y sólo si n n(n+) (H) Ahora, F(n+) será verdadera si y sólo si n+(n+) (n+)(n++) (n+)(n+) Entonces n+(n+) [++3+ +n] +(n+) }{{} [ n(n+) (H) ] +(n+) n(n+)+(n+) (n+)(n+) Así, F(n+) es verdadera, y N {n N F(n) es verdadera} 3.. Una fórmula para La suma de los n primeros números naturales impares : Si notamos por N I {,3,5, } a los números impares entonces Será posible obtener una fórmula para la suma de los n primeros impares?. Es decir +3+ +(n )? Estudiemos en abstracto el problema:

8 8 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER (+) (+) (3+) (+) 5... Estudiemos ahora el problema en concreto: Teoría Diseño Análisis Fórmula Teoría Diseño Análisis Fórmula Teoría Diseño Análisis Fórmula En el caso general deberíamos mostrar en concordancia con nuestra intuición que +3+ +(n ) n

9 3. CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES 9 Si notamos por F(n) : (n ) n, para cada n N entonces tenemos por calculo directo que F(n) es verdadera o falsa. Si concordamos en que S {n N F(n) es verdadera} entonces tenemos lo siguiente: S, pues F() es verdadera, ya que Si suponemos que n S, es decir asumimos que F(n) es verdadera, o equivalentemente Entonces +3+ +(n ) n (H) +3+ +(n )+((n+) ) [+3+ +(n )] + }{{} (H) ((n+) ) n +((n+) ) n +n+ (n+) F(n+) es verdadera y luego, (n+) S, y entonces para cada n N es verdadera la fórmula +3+ +(n ) n () 3.3. Una fórmula para La suma de los n primeros números naturales pares : Si notamos ahora por N P {,,6, } entonces Será posible obtener una fórmula para la suma de los n primeros números pares?. Es decir ++ +n? Estudiemos intuitivamente el problema: + +( ) ( 3) ( ) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) Estudiemos ahora el problema en concreto:

10 0 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER Teoría Diseño Análisis Fórmula (+) 3 Teoría Diseño Análisis Fórmula (++3) 3 Estudiemos en abstracto el problema: Si llamamos F(n) : n n(n+) para cada n N entonces aplicando nuestro procedimiento formal, tenemos que definir el conjunto S {n N F(n) es verdadera}, y verificar si este conjunto satisface o no el axioma 5 Por demostrar que F() es verdadera, es decir S. Esto se verifica porque, (+) Supongamos que F(n) es verdadera, es decir, n S, y n n(n+) (H) Por demostrar que F(n+) es verdadera, es decir por demostrar que (n+) S En efecto n }{{} +(n+) n(n+)+(n+) (H) (n+)(n+) Luego, N S y F(n) es verdadera ( n;n N), es decir, n n(n+) (3)

11 Podemos responder en forma alternativa, con lo que hemos aprendido:. SUMATORIAS ++ +n (++3+ +n) ( ) n(n+) (Aplicando la fórmula ()) n(n+). Sumatorias En esta etapa construiremos y estudiaremos las propiedades de una herramienta matemática que nos permita comprimir, presentar y manipular eficientemente fórmulas proposicionales, que involucran sumas de una cantidad finita de números reales. Para ver una construcción de los Números Reales les sugiero ver [?] Definición.. Dada la lista A {a,a,a 3,...} R definimos para cada n N, el nuevo listado de números reales: donde, S {S,S,S 3, } S a i a, y n+ S n+ a i S n +a n+ Para cada n N a i a +a +a 3 + +a n +a n () será llamada la Sumatoria de los n primeros elementos de la lista A Observación... La lista S ha sido construida, a partir de una nueva forma de usar el Axioma 5. de Peano pues, lo que hemos hecho en realidad es lo siguiente: a i a a i S +a a +a 3 a i S +a a +a +a 3. a i S n +a n a +a +a 3 + +a n +a n

12 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER Ejemplo... Si a i i para i,,3,...,n entonces a i a +a +a 3 + +a n i n Así que, usando la fórmula () tenemos que i n(n+) Ejemplo..3. Si a i i para i,,3,...,n entonces a i a +a +a 3 + +a n (i ) n Usando la fórmula () tenemos que (i ) n Ejemplo... Si a i i para i,,3,...,n entonces a i a +a +a 3 + +a n i n Usando la fórmula (3) tenemos que i n(n+).. Algunas Propiedades de las Sumatorias. Si A {a,a,,a n } R y B {b,b,,b n } R son dos listas de reales y c R es una constante entonces tenemos: [] Suma y Resta de Listas (a i ±b i ) a i ± b i (5) En efecto, Si hacemos c i a i +b i para i,,...,n

13 (a i +b i ) c i. SUMATORIAS 3 c +c +c 3 + +c n (a +b )+(a +b )+(a 3 +b 3 )+ +(a n +b n ) (a +a +a 3 + +a n )+(b +b +b 3 + +b n ) a i + Análogamente si hacemos c i a i b i obtenemos [] Multiplicación de una lista por una constante b i (a i b i ) a i b i ca i c a i (6) En efecto, Si hacemos d i ca i para i,,...,n ca i d i d +d +d 3 + +d n ca +ca +ca 3 + +ca n c(a +a +a 3 + +a n ) c a i [3] Suma de una constante En efecto, Si hacemos c i para i,,...,n c i c +c +c 3 + +c n }{{} n veces n Además, para c R: n (7)

14 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER c c (6) c (7) c n [] Sumas Parciales de una lista a i s a i + a i (8) is+ En efecto, Si hacemos c i a i, para i,,...,s y d i a s+i, para i,,...,n s s n s c i + d i (c +c + +c s )+(d +d + +d n s ) (a +a + +a s )+(a s+ +a s+ + +a s+n s ) Por otra parte, a +a + +a s +a s+ +a s+ + +a n a i s n s c i + d i [5] Suma telescópica s n s a i + s a i + s a i + js+ is+ a s+i a j a i Si hacemos j s+i entonces (a i a i+ ) a a n+ (9) En efecto, Observe que en un telescopio la imagen es traslada hacia su ojo a través de los lentes

15 . SUMATORIAS 5 (a i a i+ ) (5) a i a i+ (a +a +a 3 + +a n ) (a +a 3 + +a n +a n+ ) a a n+ [6] Propiedad del reloj r a i is r+t is+t a i t (0) En efecto, si hacemos i j t r a i is r+t js+t a j t Observe que por ejemplo las.00 horas más 5 minutos, es lo mismo que las 3 horas menos 5 minutos

16 6 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER 5. Ejercicios Propuestos de Inducción Matemática Demuestre usando Inducción Matemática que las siguientes fórmulas son verdaderas ( n; n N) [] F(n) : [] F(n) : [3] F(n) : [] F(n) : [5] F(n) : [6] F(n) : [7] F(n) : i n(n+)(n+) 6 ( ) n(n+) i 3 i +i) n n+ i n(n+)(6n3 +9n +n ) 30 i(i+) n(n+)(n+) 6 i(i+)(i+) n(n+)(n+)(n+3) i i +(n ) n ( ) n [8] F(n) : ( ) k 0 k k0 ( ) n [9] F(n) : (0 r n) N r [0] F(n) : n n! [] F(n) : 3n 3 n [] F(n) : n 3 +5n es divisible por 3 [3] F(n) : n 3 n es divisible por 6 [] F(n) : 5n 3 +7n es divisible por 6 [5] F(n) : 0 n +3 n+ +5 es divisible por 9 [6] F(n) : 5 n +( ) n+ es divisible por 3 [7] F(n) : n N impar 7 n + es divisible por 8 [8] F(n) : 7 n +6n es divisible por 6

17 6. SITUACIONES DE DESEMPEÑO: SUMATORIA E INDUCCIÓN 7 6. Situaciones de Desempeño: Sumatoria e Inducción 6.. El objetivo de esta sección es presentar al Estudiante Situaciones Problemáticas que le permitan: ( ) Estimular la comprensión de lectura en problemas matemáticos. ( ) Clasificar después de leer el problema, entre información y resultado pedido. ( ) Estimular el uso de una sintaxis adecuada en la resolución de problemas que envuelven conceptos matemáticos. ( ) Aprender a generar un algoritmo eficaz (ojalá eficiente), para responder al problema planteado. ( ) Verificar el estado de aprendizaje de los contenidos específicamente relacionados con las propiedades básicas que debe conocer, y en lo posible haber aprehendido de los tópicos analizados. 6.. Algunas sugerencias para enfrentar las situaciones problemáticas son las siguientes: ( ) Lea cuidadosamente el problema. ( ) Reconozca lo que es información (dato), de lo que es incognita, o lo que a usted se le consulta. ( ) Trate de entender en la forma más clara para usted, lo que se le pide, en particular si puede usar sinónimos matemáticos, que le permitan facilitar su respuesta, cuanto mejor!!! Este acto nunca esta de más. ( ) Analice sus datos extrayendo la información que corresponde, orientado por su entendimiento de lo que debe probar Situaciones de Desempeño Propuestas: [] Calcule el valor de S 80 0 k+ k+ 0 [] Si sabemos que (kn) 0500 entonces determine el valor de S [3] Calcule S n k(k +)( k + k +) 0 k 3 [] Demuestre sólo usando propiedades de Sumatorias que k(k +)(k +) n(n+)(n+)(n+3), ( para cada n N)

18 8 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER Concluya que 0 k(k+)(k +) n(n+)(n+)(n+3) 880, ( para cada n N) [5] Si, 9 x k 50, 9 x k 0 00 y 3 S x k 80. Determine el conjunto { c R 0 (x k c) 050 } [6] Demuestre usando Inducción Matemática que es verdadera ( n; n N) la fórmula: F(n) : ( ) k(k +)(k +) n(n+3) (n+)(n+) [7] Demuestre usando Inducción Matemática que la siguiente fórmula es verdadera ( n; n N) 5 i (5n ) [8] Si A {a,a,a 3,a,...} R es tal que: a i i para i, s a s a i (s 3) entonces demuestre usando Inducción Matemática que la fórmula es verdadera ( n;n N;n 3) F(n) : a n 3 n 3 [9] Demuestre usando Inducción Matemática que es verdadera ( n : n N) la fórmula F(n) : n 3 +(n+) 3 +(n+) 3 es divisible por 9 [0] Demuestre usando Inducción Matemática que es verdadera la fórmula: F(n) : (n N : n impar ) n(n ) es divisible por [] Dados a R y b R no nulos, demuestre usandoinducción Matemática que(a+b) ((a+b) m a m b m ), ( m;m N;m impar )

19 [] Calcule el valor de S si 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: SUMATORIA E INDUCCIÓN 9 7. Solución de Situaciones de Desempeño: Sumatoria e Inducción S 80 0 k+ k+ Solución Calculamos directamente, aplicando propiedades de: Racionalización, Telescópica y operatoria aritmética normal k + k ( ) k + k k+ k+ k + k ( k+ k ) ( k+ k+ )( k + k ) ( k+ k ) ( k + ) ( k ) ( k+ k ) k+ k ( k+ k ) ( k + k ) ( 80+ ) 9 ( k+ ) k ( 9+ ) [] Si sabemos que (kn) 0500 entonces determine el valor de S Solución Etapa. Debemos calcular S 0 Etapa. Gestión de la información k 3 (a) Aplicando directamente la fórmula obtenida en los ejercicios propuestos para el cálculo de la suma de cubos, obtenemos ( n(n+) k 3 ) 0 k 3

20 0 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER (b) Aplicando propiedades de sumatoria obtenemos 0 0 ( ) 0(0+) (kn) n k n 0n (c) Además como entonces 0 (kn) n 0500 n 50 (d) Finalmente para el valor de n 50 obtenido Etapa 3. Conclusión 50 ( ) 50(50+) k k k 3 50 k 3 9 k [3] Calcule Solución k(k +) ( k+ k+ ) Calculamos directamente, aplicando propiedades de: Racionalización, Telescópica y operatoria aritmética normal. k(k +)( k+ k+) [ ] k+ k ( k+ ) k(k +) k+ k+ k k+ k k(k +) ( k++ k )( k + k ) k+ k k(k +)(k + k) k+ k k(k +) [ k+ k(k +) [ ] k k+ n+ ] k k(k +)

21 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: SUMATORIA E INDUCCIÓN [] Demuestre sólo usando propiedades de Sumatorias que para cada n N En efecto k(k +)(k +) Concluya que k(k +)(k +) n(n+)(n+)(n+3) k[k +3k+] [k 3 +3k +k] k 3 + k k + k k + k [ ] n(n+) [ ] [ ] n(n+)(n+) n(n+) ([ ] [ ] [ ]) n(n+) (n+) n(n+) ([ ] [ ] ) n(n+) (n+) n(n+) + +] ( ) n(n+)+(n+)+ n(n+) ( n ) +n+n++ n(n+) ( n ) +5n+6 n(n+) n(n+)(n+)(n+3) En efecto 0 k(k +)(k +) n(n+)(n+)(n+3) 880 k(k +)(k +) 0 k(k +)(k +) n(n+)(n+)(n+3) n(n+)(n+)(n+3) n(n+)(n+)(n+3) 9 k(k +)(k +) 9(9+)(9+)(9+3) n(n+)(n+)(n+3) 880

22 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER [5] Si, x k 50, x k 00 y 3 x k 80. Determine el conjunto S { c R 0 (x k c) 050 } En efecto, en primer lugar c S c R c R (x k c) 050 (x k x kc+c ) c R x k c x k + c R 0 c x k +x 0 c x k cx 0 +0c 050 ( ) En segundo lugar, de las hipótesis del problema tenemos que 3 0 x k 80 0 x k 60 9 x k +x x 0 60 x 0 0 ( ) Finalmente, sustituyendo la información obtenida en ( ) conseguimos que c S c R c 50 c 0+0c 050 c R 800 0c+0c 050 c R 0c 0c 50 0 c R c c 5 0 c R (c c 5) De donde concluimos que: S {,5}

23 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: SUMATORIA E INDUCCIÓN 3 [6] Demuestre usando Inducción Matemática que es verdadera ( n; n N) la fórmula: Solución F(n) : ( ) k(k +)(k +) n(n+3) (n+)(n+) Para demostrar que F() es verdadera, observamos los hechos: Por una parte, y por otra parte, ( ) k(k +)(k +) ()(3) 6 (+3) (+)(+) () ()(3) 6 Luego, comparando los resultados concluimos que ( ) k(k+)(k +) Por ende, F() es verdadera. (+3) (+)(+) Hipótesis de Inducción: Suponemos que F(n) es verdadera. Esto es ( ) n(n+3) k(k +)(k +) (n+)(n+) (H) Tesis de Inducción: Por demostrar que F(n+) es verdadera, es decir debemos verificar que: En efecto k(k +)(k +) k(k +)(k +) (H) (n+)(n+) (n+)(n+3) n+ k(k +)(k +) + kn+ k(k +)(k +) n(n+3) (n+)(n+) + (n+)(n+)(n+3) n(n+3) + (n+)(n+)(n+3) n(n +6n+9)+ (n+)(n+)(n+3) n 3 +6n +9n+ (n+)(n+)(n+3) (n+) (n+) (n+)(n+)(n+3) (n+)(n+) (n+)(n+3)

24 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER Así que F(n+) es verdadera y F(n) es verdadera ( n;n N) [7] Demuestre usando Inducción Matemática que la siguiente fórmula es verdadera ( n; n N) 5 i (5n ) Solución Etapa. Debemos demostrar que la fórmula F(n) : 5 i n (5n ), es verdadera para n En efecto 5 i 5 (5 ) () 5 i (5 ) Luego, F() es verdadera Etapa. Hipótesis de Inducción Supongamos que F(n) es verdadera, es decir 5 i (5n ) (H) Etapa 3. Tesis de Inducción Debemos mostrar que F(n+) es verdadera, es decir que n+ 5 i (5n+ ) En efecto

25 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: SUMATORIA E INDUCCIÓN 5 n+ 5 i 5 i }{{} H +5 n (5n )+5 n 5n + 5 n 5 5n 5n+ (5n+ ) Luego, F(n+) es verdadera y F(n) es verdadera ( n;n N) [8] Si A {a,a,a 3,a,...} R es tal que: a i i para i, s a s a i (s 3) entonces demuestre usando Inducción Matemática que es verdadera ( n;n N;n 3) la fórmula: F(n) : a n 3 n 3 Solución Por demostrar que F(3) es verdadera. En efecto a a a 3 a +a Hipótesis de Inducción: Supongamos que F(n) es verdadera, es decir que a n 3 n 3 (H) Por demostrar que F(n+) es verdadera, esto es; Por demostrar que: a n+ 3 n

26 6 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER En efecto a n+ a i a n +a n +a n +a n 3 + +a 3 +a +a (H) 3 n 3 +3 n +3 n 5 +3 n 6 +3 n ( n 3 + n + n 5 + n 6 + n 7 + +)+3 3 n +3 3 n n Así que, F(n+) es verdadera y F(n) es verdadera ( n;n N) [9] Demuestre usando Inducción Matemática que es verdadera ( n : n N) la fórmula F(n) : n 3 +(n+) 3 +(n+) 3 es divisible por 9 Solución (a) Por demostrar que F() es verdadera. En efecto 3 +(+) 3 +(+) Luego F() es verdadera. (b) Hipótesis de Inducción: Supongamos que F(n) es verdadera. Es decir, existe q, tal que n 3 +(n+) 3 +(n+) 3 9 q (H) (c) Por demostrar que F(n+) es verdadera, es decir por demostrar que existe r, tal que En efecto (n+) 3 +(n+) 3 +(n+3) 3 9 r (n+) 3 +(n+) 3 +(n+3) 3 3n 3 +8n +n+36 n 3 +(n+) 3 +(n+) 3 3n 3 +9n +5n+9 Realizando la división tenemos que:

27 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: SUMATORIA E INDUCCIÓN 7 ( ) 3n 3 +8n +n+36 : 3n 3 +9n +5n+9 3n 3 +9n +5n+9 9n +7n+7 Es decir que: (n+) 3 +(n+) 3 +(n+3) 3 (3n 3 +9n +5n+9)+9n +7n+7 (H) 9 q +9 (n +3n+3) 9(q +n +3n+3) }{{} r Así que, F(n+) es verdadera y F(n) es verdadera ( n : n N) [0] Demuestre usando Inducción Matemática que es verdadera la fórmula: F(n) : (n N : n impar ) n(n ) es divisible por Solución Por demostrar que F() es verdadera ( ) ( ) 0 F() es verdadera. Hipótesis de Inducción: Supongamos que F(n) es verdadera. Esto es (n N : n impar ) n(n ) es divisible por ( s;s N) ( r;r N) : n (s ) (s )((s ) ) r ( s;s N) ( r;r N) : n (s ) (s )(s s) r ( s;s N) ( r;r N) : n (s ) 8s } 3 s {{ +s } r Tesis de Inducción: Por demostrar que F(n+) es verdadera. Esto es, debemos mostrar que (n+ N : n impar ) (n+)((n+) ) es divisible por

28 8 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER Equivalentemente, hay que mostrar que (n+ N : n impar ) ( s;s N)( u;u N) : n (s ) (n+)((n+) ) u Entonces dividiendo (**) por (*) tenemos que ( s;s N)( u;u N) : n (s ) 8s } 3 +s {{ +s } u (T) ( ) 8s 3 +s +s : 8s 3 s +s 8s 3 s +s s Así que, 8s 3 +s +s (8s 3 s +s)+s ( ) r +s (r +s ) }{{} u Luego, F(n+) es verdadera y por tanto la fórmula proposicional F(n) es verdadera, para cada número natural impar [] Dados a R y b R no nulos, (a) Demuestre usando Inducción Matemática que (a+b) (a m +b m ), ( m;m N;m impar ) (b) Concluya que (a+b) ((a+b) m a m b m ), ( m;m N;m impar ) Solución Antes de resolver el problema, analicemos a la luz de lo aprendido, el porque se pide que m sea impar. (a) Si m es par entonces Debe existir k Z tal que m k y a m +b m a k +b k Si b a entonces a k +b k a k +( a) k a k +[( ) a ] k a k +a k a k 0

29 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: SUMATORIA E INDUCCIÓN 9 Por tanto, la proposición es falsa, es decir, (a+b) (a m +b m ) (b) Si m es impar entonces debe existir k Z tal que m k + y Si b a entonces a m +b m a k+ +b k+ a k+ +b k+ a k+ +( a) k+ a k+ +[( a) k ( a) ] a k+ a k+ 0 Por tanto, la proposición es verdadera, es decir (a+b) (a m +b m ) para cada número natural impar, y podemos verificar su veracidad para todos los naturales impares, usando la técnica de Inducción Matemática Ahora apliquemos nuestra técnica operacionalizada. Etapa. Por demostrar que para m la afirmación es verdadera. a +b a+b (a b) Y, se verifica la afirmación para m Etapa. Hipótesis de Inducción } (a b) (a +b ) Supongamosquelaafirmaciónseverificaparam n+, estoessupongamosque(a+b) (a n+ +b n+ ), o sea que existe Q n+, (es decir, Q n+ depende de n) tal que a n+ +b n+ (a+b)q n+ (H) Etapa 3. Tesis de Inducción Por demostrar que la afirmación es verdadera para m n + 3, esto es debemos mostrar que existe Q n+3 tal que a n+3 +b n+3 (a+b)q n+3 (T) En efecto Es claro que, si queremos aplicar la hipótesis (H) entonces tenemos que manipular algebraicamente la tesis (T). En esta dirección tenemos que

30 30 RUDIMENTOS 3: INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROFESOR RICARDO SANTANDER a n+3 +b n+3 a a n+ +b b n+ (H) a [ (a+b)q n+ b n+] +b b n+ a (a+b)q n+ a b n+ +b b n+ a (a+b)q n+ +(b a )b n+ a (a+b)q n+ +(b+a)(b a)b n+ (a+b) [ a Q n+ +(b a)b n+] }{{} Q n+3 Luego, (T) es verdadera y la afirmación es verdadera para todo número natural impar. Podríamos también demostrar la afirmación usando la siguiente variante. Dividimos directamente lo siguiente ( ) a n+3 +b n+3 : a n+ +b n+ a a n+3 +a b n+ b n+3 a b n+ Luego del proceso de división sigue que: a n+3 +b n+3 a (a n+ +b n+ )+b n+3 a b n+ (H) a (a+b)q n+ )+b n+3 a b n+ (a+b) [ a Q n+ +(b a)b n+] }{{} Q n+3 Entonces el resultado es el mismo, y efectivamente (a+b) (a n+ +b n+ ). Finalmente para conseguir la conclusión que nos pide el problema observamos que: (a+b) n+ a n+ b n+ (a+b) n+ (a n+ +b n+ ) (a+b)[(a+b) n Q n+ ]

31 Indice Alfabético Axiomas de Peano, Hipótesis de inducción, 3 Inducción matemática, Números naturales, Peano y las fórmulas proposicionales, Principio de inducción, Propiedad telescópica, Propiedades de las sumatorias, Situaciones de Desempeño: Sumatoria e Inducción, 7 Solución de situaciones de desempeño: Sumatoria e Inducción, 9 Sucesor, Sumatoria, Tesis de inducción, 3 3

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33 Contenidos Rudimentos 3: Inducción Matemática Profesor Ricardo Santander. Axiomas de Peano: Una Construcción Axiomática de los Números Naturales. Formalización y Verificación de Fórmulas Usando el Axioma de Inducción 3. Construcción de Algunas Fórmulas Proposicionales 3. Sumatorias 5. Ejercicios Propuestos de Inducción Matemática 6 6. Situaciones de Desempeño: Sumatoria e Inducción 7 7. Solución de Situaciones de Desempeño: Sumatoria e Inducción 9 Indice Alfabético 3 33