Examen de Matemáticas I (Biotecnología) Octubre 2013

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María Teresa Murillo Quiroga
hace 6 años
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1 Examen de Matemáticas I (Biotecnología) Octubre 013 1) a) Dibujar aproximadamente las funciones x x y ln( x 1), y e, y y e, 1 t e b) Indicar el valor de la derivada de la última función en los puntos que exista y argumentar en qué punto o puntos no existe, calculando en ellos las derivadas laterales. Solución: Apartado a) y ln( x 1) 1. Estudiamos para que valores de x existe la función, puesto que el logaritmo sólo está definido para números mayores que 0, lo de dentro del logaritmo, en este caso x+1 tiene que ser mayor que 0. x+1>0 x> -1 Para que la función exista la x tiene que ser estrictamente mayor que -1.. Vemos el comportamiento de la función cuando la x tiende a -1 por la derecha ( puesto que hacia la izquierda no está definida la función) y cuando x tiende a infinito. = = = - 3. Por último comprobamos si la función corta con los ejes, para ver el punto de corte con el eje OX igualamos la función a 0: ln(x+1)=0 1= x+1 x=0 La función corta con el eje OX y con el eje OY en el punto (0,0). 1

2 y= 1. Estudiamos para que valores de x existe la función. Como ésta es una función exponencial, para cualquiera que sea el valor de x, existe.. Vamos a ver cómo se comporta la función cuando x tiende a infinito y cuando x tiende a menos infinito. = = = 0 = = = 0 3. Por último estudiamos los puntos de corte con el eje OX y el eje OY. Esta función no corta con el eje OX puesto que cuando la x tiende a infinito o a menos infinito, la función se acerca a 0 pero nunca lo corta, por lo tanto la y no puede ser 0. Para que corte con el eje OY, la x tiene que ser 0: y=1 La función corta con el eje OY en el punto (0,1). y= 1. Estudiamos para que valores de t la función no existe, dado que es una función racional, no existirá cuando el denominador sea igual a 0: 1+ =0 = -1 Una función exponencial nunca puede ser menor o igual a 0 Para cualquier valor de t, existe la función.

3 . Estudiamos su comportamiento cuando la t tiende a infinito y cuando tiende a menos infinito: = = = = = = = 0 3. Por último, vemos los puntos de corte con el eje OX y con el eje OY. Para que corte con el eje OX la y tienes que ser 0: La función no corta con el eje OX. Para que corte con el eje OY la t tiene que ser 0: y = 1 La función corta con el eje OY en el punto (0,1). y= 1. Esta función está definida para cualquier valor de x.. Estudiamos su comportamiento cuando la x tiende a más infinito y a menos infinito: = 3. Vemos si la función corta con el eje OX o con el eje OY. Para que corte con el eje OX, la y tiene que ser 0: 0 = Una función exponencial nunca puede ser igual a 0. 3

4 La función no corta con el eje OX. Para que corte con el eje OY la x tiene que ser 0: y = y =1 La función corta con el eje OY en el punto (0,1). Apartado b) Si x>0 Si x<0 Si x>0 Si x<0 Para x=0 la derivada no está definida por lo que hacemos las derivadas laterales: 4

5 La derivada por la derecha de 0 es 1 y por la izquierda es -1, como las derivadas laterales no coinciden, no existe la derivada en ese punto (x=0). ) a) Demostrar que el error e( x) cometido por la aproximación lineal ( f ( x) x ) del incremento real y de la función (al pasar de x a x ) tiende a cero en comparación con x (cuando x 0). Qué significa geométricamente? (ilustrarlo mediante una figura). 1 b) Calcular las siguientes antiderivadas: a) dx b) x x cos Apartado a) Por la definición de derivada se deduce: x Cuando. Dividiendo por las expresiones de ambos infinitésimos, se obtiene para el primero de ellos: Tomando límites para puesto que el límite del primer cociente es la derivada de la función, es decir, obtenemos que cuando. Es decir, no solamente cuando, sino que: cuando (incluso dividido por, que tiende a cero, sigue tendiendo a 0). Se dice que es un infinitésimo de orden superior a. Ejemplo mediante una figura: Consideramos un cuadrado de lado x y otro de lado x+. Sus áreas respectivas son: y. La aproximación lineal por la derivada nos da: 5

6 Gráficamente, la aproximación lineal viene representada por: El error de esta aproximación está geométricamente representado por el cuadrado de lado de la esquina superior (que al sumar el área de las bandas se cuenta dos veces). Así pues en este caso el error es Efectivamente se verifica que cuando. Por tanto se verifica: De todas las rectas que pasan por el punto ( la tangente es la que produce una aproximación cualitativamente mejor. Apartado b) Como se trata de una integral racional, se resuelve = 0 x= y x=-1 = Se opera y queda : Quitamos los denominadores : Le damos valores a la x para sacar el valor de la A y de la B. para que sea más fácil le damos los valores -1 y que anulan uno de los factores. x = x= -1 Sustituimos los valores que nos han salido de A y B en la ecuación original = C 6

7 Para resolver esta ecuación hay que tener en cuenta que: Sustituimos en la integral original: + Dentro de la segunda integral tenemos cos x, nos falta su derivada, que es. Para resolverla multiplicamos por lo de dentro de la integral y para que no cambie la función, multiplicamos fuera por : 3 a) Un depósito cónico invertido tiene una altura de 8m y el diámetro en la parte superior es de 6m. Se bombea agua hacia el depósito con razón constante de 0.11 y cuando el agua tiene una altura de 1 metro empieza a extraerse agua simultáneamente a razón de Calcular la velocidad a la que sube el novel del agua cuando la altura es de 7 metros. b) estimar el valor de ln 0.8 mediante un polinomio de Taylor de grado 3 y estimar el error cometido. Apartado a) 6m 7m 8m Cuando la altura es de 7metros se está bombeando agua a razón de 0,11 a la vez que se está extrayendo a razón de 0,10. Es decir, se está bombeando agua a razón de 0,01 (0,11-0,10 = 0,01). 7

8 Volumen del cono = Apartado b) Conocemos el valor exacto de esta función para x=1 Ahora hallamos el error cometido en la aproximación: para 4)Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos piezas.una se dobla para formar un círculo y la otra para formar un cuadrado. Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea (a) mínima? y (b) máxima? 10m A= P= A= P= 8

9 Queremos encontrar para que valor del radio y del lado el área total es mínima. Como el alambre mide 10 m el. De ahí se nos queda una ecuación con dos incógnitas de la que despejamos el lado: Ahora sustituimos el lado en la función a optimizar: Para optimizar igualamos la derivada de la función a 0: Despejamos la r: El área es mínima cuando el radio del círculo es 0.7 y el lado (sustituyendo) es 1,4. Habrá que dividir el alambre de forma que una parte mida 5,6m y otra 4,4m aproximadamente para que el área sea mínima. Para que el área sea máxima el radio del círculo o el lado del cuadrado deben de ser 0, de forma que sólo haya o un círculo o un cuadrado. 9

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