K = número ; 0 = número muy pequeño ; = número muy grande ; 1 = número próximo a 1

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "K = número ; 0 = número muy pequeño ; = número muy grande ; 1 = número próximo a 1"

Javier Sosa Jiménez
hace 7 años
Vistas:

1 OPERACIONES ÁSICAS TEORÍA DE CÁLCULO DE LÍMITES CCNN K número ; 0 número muy pequeño ; número muy grande ; número próimo a ) ) k ) - k 4) k - - ) - ind. 6) 0k 0 ) 0 ind. 8) k 9) 0) k 0 0 ) 0 0 ind. ) 0 0 ) k 4) ind. ) 0 6) 0 k ± (lím.la) ) k 0 8) 0 k 0 (k>0) 9) 0 k (k<0) 0) 0 0 ) 0 0 ind. ) k (k>0) ) k 0 (k<0) 4) 0 ind. ) 6) k 0 ) k 8) ind. INDETERMINACIONES ) a) Cociente de polinomios: se utiliza la regla de los grados a) Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador el ite vale. 6 a) Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite vale 0. 0 a) Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, se dividen los coeficientes de las de mayor grado. dario estudio Gran Vía, 6 80 Madrid Página de 6

2 Como ejemplo, cualquiera de los casos anteriores se puede resolver dividiendo numerador y denominador por la de mayor grado: 0 0 b) Raíces cuadradas en forma de suma o diferencia: se resuelve la indeterminación multiplicando y dividiendo por la conjugada de la raíz. ( ) ( )( ) ( )( ) 4 ( )( ) 4 ( ) 4 ( ) 0 ( 0) 0 c) Raíces cuadradas, pero no en forma de suma o diferencia: se dividen numerador y denominador por la de mayor grado. Ver caso anterior a partir de: 4 ( )( ) d) Cociente entre otras funciones (eponenciales, trigonométricas, etc.): se aplica la regla de L Hôpital. e ( ) e dario estudio Gran Vía, 6 80 Madrid Página de 6

3 ) 0 0 a) Cociente de polinomios: hay que descomponer en factores. 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Para descomponer polinomios de tercer grado o más, se divide por Ruffini como sigue: 0 - (coeficientes de ) Luego: ( )( )( ) ( ) ( ) Análogamente se descompone 4 ( ) ( ). Recordar que los polinomios de º grado se descomponen obteniendo sus raíces ( y ) y descomponiendo de la siguiente forma: A C A( )( ) b) Raíces cuadradas: se multiplica y se divide por la conjugada. c) Cociente entre otras funciones (trigonométricas, eponenciales, etc.): se aplica la regla de L Hôpital. dario estudio Gran Vía, 6 80 Madrid Página de 6

4 ) - a) Si aparecen raíces cuadradas: se multiplica y se divide por la conjugada. b) Si es una diferencia entre otras funciones cualesquiera que no sean raíces cuadradas: se opera la diferencia. ( ) - - (por la regla de los grados). 4) 0 Para resolver esta indeterminación, se convierte en una indeterminación del 0 tipo o (la que sea más cilla) y se resuelve la nueva 0 indeterminación según hemos visto en los casos anteriores (generalmente por L Hôpital). 0 (cos)cotg 0 0 cos cotg 0 cos tg 0 0 (L Hôpital) 0 ( tg ) 0 0 ), 0 0, 0 Estas indeterminaciones se resuelven tomando logaritmos neperianos en los dos miembros como se ve en el siguiente ejemplo: 0 ( ) 0 ( ) A ; L( ( ) ) LA ; A e 0 L ( ) 0 dario estudio Gran Vía, 6 80 Madrid Página 4 de 6

5 L 0 ( ) L( ) L( ) 0 (L Hôpital) 0 0 cos 0 ( )cos Luego el límite será: A e e, es decir, 0 ( ) e La indeterminación del tipo, se puede resolver también teniendo en cuenta la definición del número e, como vemos en este ejemplo: ind. Teniendo en cuenta que e, vamos a resolver el límite tratando de convertir el límite dado en el número e, de la siguiente forma: ) Sumamos y restamos a la base de la potencia, con lo cual la epresión no varía: ) Realizamos la resta, con lo cual conseguimos tener una epresión del tipo algo: ) En el cociente que hay dentro del paréntesis, dividimos numerador y denominador por (con lo cual la epresión no varía), obteniendo una epresión del tipo algo : dario estudio Gran Vía, 6 80 Madrid Página de 6

6 dario estudio Gran Vía, 6 80 Madrid Página 6 de 6 4) Ahora necesitamos tener de eponente, para lo cual multiplicamos el eponente por, cosa que podemos hacer ya que esta epresión es igual a, por lo tanto, el eponente no varía: ) Ahora agrupamos la potencia de forma que nos quede o a o a lg lg que es el número e. Para ello tener en cuenta que ( ) C C A A : 6) Lo que está dentro del corchete es el número e, y aplicando la propiedad de límite de una potencia ( A A ), nos queda: e e e

Documentos relacionados

Matemáticas CCSS LÍMITES DE FUNCIONES 1. INTRODUCCIÓN BÁSICA: A) LÍMITES SOBRE GRÁFICAS. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.

Matemáticas CCSS LÍMITES DE FUNCIONES 1. INTRODUCCIÓN BÁSICA: A) LÍMITES SOBRE GRÁFICAS. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2. LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN BÁSICA: A) LÍMITES SOBRE GRÁFICAS Ejercicio nº.- Ejercicio nº.- Página B) LÍMITES APOYÁNDONOS EN LAS GRÁFICAS B.) FUNCIONES POLINÓMICAS De grado : a ) 3 + b ) 3 + c )