Matemática I. Descomposición en factores. Ing. Santiago Figueroa Lorenzo Correo electrónico:

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Jorge Caballero Quiroga
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1 Matemática I Descomposición en factores Ing. Santiago Figueroa Lorenzo Correo electrónico: santiagofigueroalorenzo@gmail.com

2 Temas Primera Unidad: Elementos Algebraicos Tema 1: Principales casos de factorización Caso 1: a) Factor común monomio b) Factor común polinomio Caso 2: Factor Común por agrupación de términos Caso 3: Trinomio Cuadrado Perfecto Caso 4: Diferencias de cuadrado

3 Objetivos Adquirir y sistematizar los conocimientos acerca de los principales casos de factorización. Facilitar el manejo de la factorización de expresiones algebraicas básicas.

4 Bibliografía Álgebra, Baldor A. Fundamentos de Matemáticas Modernas, Mehienbacher L. Álgebra Moderna, Nichols E. Álgebra y Trigonometría, Raymond B. Álgebra Superior, Spiegel M.

5 Introducción En la asignatura Matemática I se comenzaron a analizar las expresiones algebraicas, culminando la misma con el aprendizaje y afianzamiento de las operaciones básicas con expresiones algebraicas, como suma, resta, multiplicación y división. En esta nueva unidad se comenzará con el procedimiento inverso, dado un polinomio, se determinará las expresiones algebraicas o factores que le dieron origen, haciendo énfasis en cada uno de los diferentes procedimientos o métodos para realizar dicha operación.

6 Qué es un factor? Se le llaman factores de una expresión algebraica, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Así al multiplicar a por a + b se tiene a a + b = a 2 + ab a y a + b son factores a 2 + ab representa la expresión que le da origen Descomponer en factores Una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

7 Factorar un monomio Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Así los factores de Factorar un polinomio 15ab = 3 5 a b No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores, pues hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas y por 1, por lo que no son el producto de otras expresiones algebraicas. Ejemplo: a + b Solo es divisible por a + b (el mismo) y por 1

8 Caso 1 a) Factor común monomio 1- Descomponer en factores a 2 + 2a Se busca que exista un factor comun en ambos términos a Se separa y se divide cada término por ese factor a a Descomponer en factores 10b 30ab 2 Se busca que exista un factor comun en ambos términos 10b, pudiera ser 2, 5, 10; pero siempre se escoge el mayor. Se separa y se divide cada término por ese factor 1 3ab 3- Descomponer en factores 10a 2 5a + 15a 3 Se busca que exista un factor comun en ambos términos 5a, pudiera ser 2, 5, 10; pero siempre se escoge el mayor. Se separa y se divide cada término por ese factor 2a a 2

9 Caso 1 a) Factor común polinomio 1- Descomponer en factores x(a + b) + m(a + b) Se busca que exista un factor comun en ambos términos (a + b) Se escribe a + b como cociente de ambos términos x(a + b) m(a + b) + = (x + m) (a + b) (a + b) Finalmente x a + b + m a + b = (a + b)(x + m) 2- Descomponer en factores 2x a 1 y(a 1) Se busca que exista un factor comun en ambos términos (a 1) Se escribe a 1 como cociente de ambos términos x(a 1) y a 1 = (x y) (a 1) a 1 Finalmente2x a 1 y(a 1) = (x y)(a 1)

10 Caso 2 a) Factor común por agrupación de términos 1- Descomponer en factores ax + bx + ay + by Se buscan posibles agrupaciones, puede existir más de una Las expresiones que quedan dentro del paréntesis después que se saca el primer factor común, deben ser iguales. ax + bx + ay + by = ax + bx + ay + by = x a + b + y(a + b) Se vuelve a sacar factor común pero ahora las expresiones entre paréntesis = x a + b + y(a + b) = a + b (x+y) ax + bx + ay + by = a + b (x+y)

11 Caso 2 a) Factor común por agrupación de términos Ejemplo: 1- Factorar 3ax 3x + 4y 4ay 3ax 3x + 4y 4ay = 3ax + 3x + 4y 4ay = 3x a 1 + 4y(1 a) = 3x a 1 4y(a 1) = a 1 (3x 4y) 2- Factorar a 2 x ax 2 2a 2 y + 2axy + x 3 2x 2 y a 2 x ax 2 2a 2 y + 2axy + x 3 2x 2 y = a 2 x 2a 2 y + ax 2 + 2axy + (x 3 2x 2 y) = a 2 x 2y ax x 2y + x 2 (x 2y) = x 2y (a 2 ax + x 2 )

12 Caso 3 Trinomio Cuadrado Perfecto Una expresión es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales. Ejemplo: 4a 2 = 2a 2a Un Trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales. Ejemplo: a 2 + 4a + 4 = (a + 2)(a + 2)

13 Caso 3 Trinomio Cuadrado Perfecto 1- Regla para conocer si es un Trinomio Cuadrado Perfecto El primero y el tercer término del trinomio es cuadrado perfecto El término del medio es el doble del producto de las raíces de los términos uno y tres Ejemplo : Comprobar si es trinomio cuadrado perfecto a 2 + 4a + 4 Comprobar término uno sea cuadrado perfecto a 2 = a a Comprobar término uno sea cuadrado perfecto 4 = 2 2 Comprobar que el segundo término sea 4a = 2(2 a)

14 Caso 3 Trinomio Cuadrado Perfecto 1- Regla para conocer si es un Trinomio Cuadrado Perfecto Ejemplo : Factorar m 2 + 2m + 1 Comprobar término uno sea cuadrado perfecto m 2 = m m Comprobar término uno sea cuadrado perfecto 1 = 1 1 Comprobar que el segundo término sea 2m = 2(1 m) El resultado es formado por un binomio formado por las raíces del primero y tercer término del trinomio m 2 + 2m + 1 = (m + 1) 2

15 Caso 3 Trinomio Cuadrado Perfecto Caso Especial Ejemplo : Factorar a 2 + 2a(a b) + (a b) 2 Comprobar término uno sea cuadrado perfecto a 2 = a a Comprobar término uno sea cuadrado perfecto (a b) 2 = (a b) (a b) Comprobar que el segundo término sea 2a(a b) = 2(a a b ) El resultado es formado por un binomio formado por las raíces del primero y tercer término del trinomio a 2 + 2a a b + a b 2 = a + a b 2 = 2a b 2

16 Caso 4 Diferencia de Cuadrados Perfectos La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo Ejemplo : a + b a b = a 2 b 2 1- Regla Factorar una Diferencia de Cuadrado Se extrae la raíz del minuendo y del sustraendo, de las cuales se multiplica su suma y su diferencia. Ejemplo : 25x 2 16y 4 = 5x + 4y 2 5x 4y 2

17 Caso 4 Diferencia de Cuadrados Perfectos Caso Especial Ejemplo : Factorar (a + b) 2 c 2 (a + b) 2 c 2 = ( a + b + c)( a + b c)

18 Conclusiones Se aprendieron cuatro técnicas de factorización: Factor Común Factor Común por Agrupación Trinomio Cuadrado Perfecto Diferencia de Cuadrado

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