Índice: Integrales inmediatas. Integrales casi inmediatas. Problemas.

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1 INTEGRALES LECCIÓN 7 Índice: Integrales inmediatas. Integrales casi inmediatas. Problemas..- Integrales inmediatas La tabla de las integrales inmediatas se obtiene fácilmente de la tabla de las derivadas de las funciones simples. (x r+ )'=(r+) x r (r+) xr dx=x r+ (r+) xr dx=x r+ 2 Si r=-, tenemos lo siguiente: xr dx= x r+ r+ +C x- dx= =3 x dx ln x +C (a x )'=a x ln a ax ln a dx=a x ln a ax dx=a x Y así con los demás tipos. a x ax dx= ln a +C 2.- Integrales casi inmediatas La tabla de las integrales casi inmediatas se obtiene sin dificultad de la tabla de las derivadas de las funciones compuestas. 4 (sen u)'=cos u u' cos u u' dx=sen u+c (arc sen u)'= -u 2 u' -u2 u' dx=arc sen u+c * * * Por la propiedad de linealidad de la integral indefinida. 2 Si r -. 3 Recuerda que esta derivada la hemos visto en la lección D-7. Si no se pone el símbolo de valor absoluto, se obtiene la integral de /x, pero sólo donde esta función es positiva, ya que el argumento del logaritmo es siempre positivo. 4 u y u' son funciones de x. - -

2 Si comparas las tablas de derivadas e integrales, observarás que faltan en esta última las de tipo arco coseno, arco cosecante y arco cotangente. La razón es que pueden reducirse a las de tipo arco seno, arco secante y arco tangente, respectivamente. - -u 2 u' dx =2 - -u 2 u' dx =3 -arc sen u+c Aunque también las integrales de tipo secante y cosecante se pueden reducir a las de tipo potencial, se ahorra tiempo conociéndolas. Por eso aparecen en la tabla. sec u tg u u' dx= sen u cos 2u u' dx=- cos-2 u (-sen u) u' dx = 4 cos =- -2+ u -2+ +C= cos u +C=sec u+c * * * Para calcular las integrales casi inmediatas es preciso identificar en el integrando las funciones u y u'. Veamos un ejemplo de cada tipo: a) Calculemos la siguiente integral: sen2 x cos x dx Si u=sen x, entonces u'=cos x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo potencial: b) sen sen2 x cos x dx= 2+ x 2+ +C= sen 3 x 3 x- x 2-2x-3 dx Si u=x 2-2x-3, entonces u'=2x-2=2(x-). Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo logaritmo: c) x- x 2-2x-3 dx= 2(x-) 2 x 2-2x-3 dx= 2 ln x2-2x-3 +C etg x cos 2x dx +C Ambas tablas puedes encontrarlas en Resúmenes, en este mismo blog. 2 Por la propiedad de linealidad de la integral indefinida. 3 Se trata de una integral casi inmediata de tipo arco seno. 4 Por la propiedad de linealidad de la integral indefinida I-7

3 Si u=tg x, entonces u'=/cos 2 x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo exponencial: d) etg x cos 2x dx= e tg x cos 2x dx=etg x +C cos ctg x sen 2 x dx Si u=ctg x, entonces u'=-/sen 2 x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo seno: e) cos ctg x sen 2 x dx=- cos ctg x - sen2x dx=-sen ctg x+c (+x) 2 sen -x +x dx Si u=(-x)/(+x), entonces u'=-2/(+x) 2. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo coseno: (+x) 2 sen -x +x dx= - 2 -x sen +x -2 (+x) 2 dx= 2 cos -x +x +C f) x sen x2 cos 2 x 2 dx Si u=x 2, entonces u'=2x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo secante: g) x sen x2 cos 2 x 2 dx= 2 sec x2 tg x 2 2x dx= 2 sec x2 +C ex cos e x sen 2 e x dx Si u=e x, entonces u'=e x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo cosecante: h) ex cos e x sen 2 e x dx= cosec ex ctg e x ex dx= -cosec e x +C (-ex ) sec 2 (e x -x) dx I-7

4 Si u=e x -x, entonces u'=e x -. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo tangente: (-ex ) sec 2 (e x -x) dx= - sec2 (e x -x) (e x -) dx= -tg(e x -x)+c i) x2 sen2 (/x) dx Si u=/x, entonces u'=-/x 2. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo cotangente: j) x 2 sen2 (/x) dx= - (/x) - sen 2 x 2 dx=ctg(/x)+c x 2 -(x 3 +5) 2 dx Si u=x 3 +5, entonces u'=3x 2. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo arco seno: x 2 -(x 3 +5) 2 dx= 3 -(x 3 +5) 2 3x2 dx= k) e2x- dx 3 arc sen(x3 +5)+C Si u=e x, entonces u'=e x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo arco secante: l) e - dx= 2x e x = e - ex dx arc sec e 2x x +C sen x +cos 2x dx Si u=cos x, entonces u'=-sen x. Por tanto, se trata de una integral casi inmediata de tipo arco tangente: sen x +cos 2x dx= - +cos2x (-sen x) dx=-arc tg cos x+c Observa que, como e x >0, e x = e x I-7

5 3.- Problemas ) Identifica el tipo de integral y calcúlala: a) 5 x 2 dx b) 5 x dx d) dx 2+2x 2 e) dx (x+2) 8 g) x2 e x3 dx h) dx cos 2 (5x) c) cos(x+) dx f) x4 x 5 +9 dx i) -x 2 -x 2 dx j) sen x cos x dx k) x sen(x2 +4) dx l) 4 e x dx m) x +(x 2 +4) 2 dx n) sen x cos 4x dx ñ) tg x dx o) -cos x x-sen x dx p) ex -e 2x dx q) 3x-4 dx 3 r) ex cos 2 e x dx s) x2 x dx t) 2x +4 x dx u) ex -e x dx v) sen(2x) 2+cos(2x) dx w) dx sen 2 x- x) earc sen x -x dx y) 2 cosec(2x) dx +sen2 x z) dx x(+ x) 2) Identifica el tipo de integral y calcúlala: a) 6x-5 3x 2-5x+4 dx b) x cos(-x2 ) dx c) x (x 2 +) 2 dx d) 3x- dx e) (ex +) 3 e x dx f) dx sen 2 (-3x) g) dx x(+ln 2 x) j) dx x cos 2 ln x h) cos2 x sen x dx i) ex -2 e x dx tg x earc k) +x 2 dx l) dx e x +e -x m) sen x-cos x sen x+cos x dx n) ctg3 x cosec 2 x dx ñ) sec2 x -tg x dx 2 o) sen x x dx p) x +3x2 dx q) x ax2 dx r) cosec 2 x +ctg x dx s) dx x -ln 2 x u) dx e x x) tg x cos 2 x dx t) arc cos x dx -x 2 v) sec x tg x +sec x dx w) dx x cos 2 y) sen x +cos 2x dx -x 3) Encuentra la primitiva de f(x)= z) sec 2 x tg x dx que se anula para x=3. x I-7