MA1111 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (35%) Universidad Simón Bolívar SEPTIEMBRE-DICIEMBRE DE 2004 Depto. de Matemáticas Puras y Aplicadas

Transcripción

1 1 tipo A 1.- Para cada uno de los ites siguientes, calcúlelo en el caso que exista o demuestre que no existe (en el caso que no exista) : a) ( 3 ptos.) x ; b) ( 3 ptos.) x 1 sen(πx+π) ; c) (3 ptos.) x ( x +5x+3 - x ). a) = por lo cual x ( ) ) = ( ( x = ) (1+3-1) , = b) poniendo u = x-1, se tiene : sen(πx+π) = sen(πu+3π) = - sen(πu), luego : = (-1)u(u+) sen(πx+π) -sen(πu) = u(u+) sen(πu) = πu u+ por lo cual : sen(πu) π 1 - x πu u+ x 1 sen(πx+π) u 0 sen(πu) π = π. c) x +5x+3 - x = ( x +5x+3 - x ) = 3 5x+3 x +5x+3 + x = 5+ x x +5x+3 + x x +5x+3 + x = (x +5x+3) - x x +5x+3 + x = 1+5 x + 3 x + 1 por lo cual : x ( x +5x+3 - x ) = 5. 1-x, si x < -1.- ( 9 ptos.) Sea f la función definida por f(x) = ax+b, si -1 x ; x -3x + 5, si x > a) alle valores de las constantes a, b de manera que f sea continua. Justifique ; b) con los valores para a, b, allados en a) estudie la derivabilidad de f en todo su dominio. f(x) x -1- (1-x ) = 0 ; x -1+ f(x) = x -1+ (ax+b) = -a+b, luego para que exista f(x) debe ser 0 = -a+b ; además f(-1) = -a+b por lo cual x -1- x -1 si -a+b=0 entonces f es continua en x= -1.

2 tipo A f(x) (ax+b) = a+b ; f(x) x - x - x + x + (x -3x + 5) = = 3 luego para que exista f(x) debe ser a+b = 3 ; además f() = a+b por lo cual si a+b= 3 x entonces f es continua en x=. Para que f sea continua en -1 y se debe tener :{ a+b= a-b = 0 3 a=b=1. Es importante observar que siendo 1-x, ax+b, x -3x+5 polinomios, la continuidad de f en (-. -1) (-1, ) (, + ) sigue de los teoremas sobre continuidad que se an estudiado. Análogamente es importante observar que teoremas conocidos sobre derivadas aseguran la derivabilidad de f en todo el conjunto (-. -1) (-1, ) (, + ). 1-x, si x < -1 Queda entonces solamente averiguar, siendo a=b=1, f(x) = x+1, si -1 x x -3x + 5, si x > si f es derivable para x=-1 y para x=. f(-1+)-f(-1) b-i) Derivabilidad en x= -1 : (-1+) = ; f(-1+)-f(-1) (-1+)+1 = 1 ; como se tiene : f(-1+)-f(-1) f(-1+)-f(-1) 0- tanto f no es derivable en x=-1. f(-1+)-f(-1) el ite 0 no existe y por lo f(+)-f() b-ii) Derivabilidad en x= : 0 - ((+)+1) = 1 ; f(+)-f() ((+) -3(+)+5) f(+)-f() los dos ites laterales son iguales y por lo tanto 0 = 1, por lo cual f '()= 1. En conclusión f es derivable en todos los reales, con excepción de x= -1. = 1; en este caso

3 3 tipo A 3.- ( 7 ptos.) Diga, justificando, si la ecuación : x sen(x) = 0 tiene alguna solución real. La función definida por f(x) = x sen(x) es continua en todos los reales (y por lo tanto en todo intervalo [a, b] ); por lo tanto es suficiente allar dos números a, b tales que f(a), f(b) tengan valores de signo opuesto y luego aplicar el teorema del valor intermedio (Bolzano) a la función f en el intervalo [a, b] allado. Como para todo valor de x se tiene -1 sen(x) 1, resulta 1 3+sen(x) 5 y por lo tanto evidentemente f(-6) = 3+sen(-6) -6 < 0, f(0) = 3 > 0 ; si aplicamos entonces el teorema del valor intermedio a la función f en el intervalo [-6, 0] se tiene que en almenos un punto, c (-6,0) f(c)= 0 y el número c será solución de la ecuación dada. También se pueden usar otros intervalos, por ejemplo : [ - π, 0 ]. 4.- ( 7 ptos.) Sea g la función definida por : g(x) = x.cos(x) 3x+sen(x) ; 4a) alle la derivada de g ; 4a) g'(x) = 4b) alle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g, en el punto A( π, - 3 ). (.cos(x)-x.sen(x))(3x+sen(x)) - (3+cos(x))(x.cos(x)) (3x+sen(x)) = = -6x sen(x)+sen(x)cos(x)-x (3x+sen(x)). 4b) g'(π) = -π (3π) = 9π - ; ecuación de la recta tangente pedida : y+ 3 x-π = - 9π ; x+9πy+4π = ( 3 ptos.) Halle la derivada de la función definida por : f(x) = 1 sen( x)+cos (x). f '(x) = (-1) (sen( x)+cos (x)) - ( cos( x) - sen(x)cos(x) ) = cos( x) sen(x)cos(x) - (sen( x)+cos (x)).

4 4 tipo B 1.- Para cada uno de los ites siguientes, calcúlelo en el caso que exista o demuestre que no existe (en el caso que no exista) : a) ( 3 ptos.) x b) ( 3 ptos.) x 1 sen(πx - π). ; c) (3 ptos.) x ( x +3x+5 - x ). a) = por lo cual x ( ) ) = ( ( x = ) (1+5-1) , = b) poniendo u = x-1, se tiene : sen(πx-π) = sen(πu-π) = - sen(πu), luego : = (-1)u(u+) sen(πx-π) -sen(πu) = u(u+) sen(πu) = πu u+ por lo cual : sen(πu) π 1 - x πu u+ x 1 sen(πx-π) u 0 sen(πu) π = π. c) x +3x+5 - x = ( x +3x+5 - x ) = 5 3x+5 x +3x+5 + x = 3+ x x +3x+5 + x x +3x+5 + x = (x +3x+5) - x x +3x+5 + x = 1+3 x + 5 x + 1 por lo cual : x ( x +3x+5 - x ) = 3. 4-x, si x < -.- ( 9 ptos.) Sea f la función definida por f(x) = ax+b, si - x 1 ; x - x + 3, si x > 1 a) alle valores de las constantes a, b de manera que f sea continua. Justifique; b) con los valores para a, b, allados en a) estudie la derivabilidad de f en todo su dominio. f(x) x -- (4-x ) = 0 ; x -+ f(x) = x -+ (ax+b) = -a+b, luego para que exista f(x) debe ser 0 = -a+b ; además f(-) = -a+b por lo cual x -- x - si -a+b=0 entonces f es continua en x= -. f(x) (ax+b) = a+b ; f(x) x 1- x 1- x 1+ x 1+ (x -x + 3) = 3 luego para que exista

5 5 tipo B x 1 f(x) debe ser a+b = 3 ; además f(1) = a+b por lo cual si a+b= 3 entonces f es continua en x=1. Para que f sea continua en - y 1 se debe tener : { a-b = 0 a+b= 3 a=1, b=. Es importante observar que siendo 4-x, ax+b, x -x+3 polinomios, la continuidad de f en (-. -) (-, 1) (1, + ) sigue de los teoremas sobre continuidad que se an estudiado. Análogamente es importante observar que teoremas conocidos sobre derivadas aseguran la derivabilidad de f en todo el conjunto (-. -) (-, 1) (1, + ). Queda entonces solamente averiguar, siendo a=1,b=, f(x) = 4-x, si x < - x+, si - x 1 x -x + 3, si x > 1 si f es derivable para x=- y para x=1. f(-+)-f(-) b-i) Derivabilidad en x= - : (-+) = 4 ; 0 - f(-+)-f(-) (-+)+ = 1 ; como se tiene : f(-+)-f(-) f(-+)-f(-) 0- tanto f no es derivable en x=-. f(-+)-f(-) el ite 0 no existe y por lo f(1+)-f(1) b-ii) Derivabilidad en x= 1 : 0 - f(1+)-f(1) 0+ ((1+) -(1+)+3) - 3 dos ites laterales son iguales y por lo tanto ((1+)+) f(1+)-f(1) = 1, = 1 ; por lo cual f '(1)= 1. En conclusión f es derivable en todos los reales, con excepción de x= -. = 1; en este caso los

6 6 tipo B 3.- ( 7 ptos.) Diga, justificando, si la ecuación : x sen(x) = 0 tiene alguna solución real. La función definida por f(x) = x + -3.sen(x) es continua en todos los reales (y por lo tanto en todo intervalo [a, b] ); por lo tanto es suficiente allar dos números a, b tales que f(a), f(b) tengan valores de signo opuesto y luego aplicar el teorema del valor intermedio (Bolzano) a la función f en el intervalo [a, b] allado. Como para todo valor de x se tiene -1 sen(x) 1, resulta -1-3sen(x) 5 y por lo tanto evidentemente f(-6) = - 3sen(-6) - 6 < 0, f(0) = > 0 ; si aplicamos entonces el teorema del valor intermedio a la función f en el intervalo [-6, 0] se tiene que en almenos un punto, c (-6,0) f(c)= 0 y el número c será solución de la ecuación dada. También se pueden usar otros intervalos, por ejemplo : [ -π, 0 ]. 4.- ( 7 ptos.) Sea g la función definida por : g(x) = 3x.cos(x) x+sen(x) ; a) alle la derivada de g ; b) alle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g, en el punto A( π, - 3 ). 4a) g'(x) = (3.cos(x)-3x.sen(x))(x+sen(x)) - (+cos(x))(3x.cos(x)) (x+sen(x)) = = -6x sen(x)+3sen(x)cos(x)-3x (x+sen(x)). 4b) g'(π) = -3π (π) = 4π -3 ; ecuación de la recta tangente pedida : y+ 3 x-π = -3 4π ; 3x+4πy+3π = ( 3 ptos.) Halle la derivada de la función definida por : f(x) = 1 sen (x)+cos( x). f '(x) = (-1) (sen (x)+cos( x) - ( sen(x)cos(x) - sen( x) ) = sen( x) - sen(x)cos(x) (sen (x)+cos( x)).