UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADEMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO AREA MATEMÁTICA CARRERA EDUCACIÓN, MENCIÓN MATEMÁTICA

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1 1/18 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADEMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO AREA MATEMÁTICA CARRERA EDUCACIÓN, MENCIÓN MATEMÁTICA I. Identificación PLAN DE CURSO Nombre: Cálculo II Código: 750 U.C: 6 Carrera: Educación, mención Matemática Código: 580 Semestre: 4 Prelaciones: Requisito: Cálculo I Ninguno Autor: Lic.: Alejandra Lameda G. Asesoría en Diseño Académico: Prof. Eglée Arellano de Rojas Nivel Central Caracas, Julio 2008

2 2/18 II. FUNDAMENTACIÓN El curso de Cálculo II (750) está ubicado en el segundo semestre del ciclo de Estudios Profesionales de la Carrera de Educación mención Matemática de la Universidad Nacional Abierta, y su fin es continuar suministrando herramientas de matemáticas que contribuyan con el desarrollo intelectual de los estudiantes en este ciclo. De allí que sea una asignatura obligatoria de las carrera de Educación mención Matemática. Los contenidos de la asignatura son fundamentales para los cursos siguientes, como son Cálculo III (751), Cálculo Numérico (721), Ecuaciones Diferenciales (755) entre otros. El contenido del curso se ha dividido en dos (02) Módulos de Aprendizaje: En el Módulo I se desarrolla la teoría del cálculo integral, el cual tiene como núcleo la definición de Integral de Riemann de una función acotada. Se estudian las propiedades más importantes, algunas de las cuales están relacionadas con las operaciones algebraicas, y otras al cálculo diferencial. Usando luego los conocimientos adquiridos en el curso de Cálculo I (749) sobre funciones derivables, podremos obtener ciertas técnicas usuales en el Cálculo Integral, conocidas con el nombre de Métodos de Integración. El módulo termina con una introducción a las llamadas Integrales Impropias, las cuales se obtienen ampliando el concepto de Integral de Riemann. Este tipo de integral nos permitirá encontrar algunas funciones nuevas para nosotros, cuyo uso es frecuente en ciertas ramas de las Matemáticas Aplicadas. En el Módulo II se desarrolla la teoría Series Numéricas. Se estudiarán propiedades y criterios que permitan determinar el carácter de una serie, así como los relacionados con las series alternadas, donde aparecen las ideas básicas sobre la convergencia absoluta. Esto nos dará las herramientas para resolver el problema de la convergencia, así como el análisis de métodos para el cálculo de la suma de una serie. El curso es teórico-práctico, con el predominio del aspecto práctico, y en este sentido, las estrategias instruccionales y de evaluación del curso, estarán orientadas hacia la resolución de ejercicios y problemas como una forma de brindar al estudiante la oportunidad de aplicar la teoría.

3 3/18 Para apoyar el proceso de aprendizaje de este curso, el estudiante contará con los materiales instruccionales siguientes: Obligatorio El libro de Cálculo II (703) de la UNA (1984), el cual se encuentra en las bibliotecas de todos los Centros Locales y Unidades de Apoyo. El libro Cálculo de Larson, Roland E., Hostetler Robert P. y Edwards Bruce H. Sexta edición. Volumen 1. M c Graw Hill. Se recomienda para todo el contenido de esta asignatura, en especial para la parte de las aplicaciones de la Integral Definida, Integrales Impropias y Series Infinitas. Este libro tiene gran variedad de ejercicios aplicados a situaciones de la vida real. Complementario Medio electrónico: Calculadoras científicas. Correo electrónico. CD: Cálculo Integral, Alejandra Lameda. (2002). Software: Graphmat, Calculus, Maple 9.5. Internet. Bibliotecas: servicio de alquiler y préstamos de libros.

4 4/18 III. PLAN DE EVALUACION ASIGNATURA: CÁLCULO II COD: 750 CRÉDITOS: 6 - LAPSO: SEMESTRE 4 CARRERA: EDUCACIÓN, MENCIÓN MATEMÁTICA Responsable: PROF. ALEJANDRA LAMEDA G. Horario de atención: 10:00-12:30 m / 2:00-4:30 pm Teléfono: (0212) Correo electrónico: alameda@una.edu.ve MOMENTOS S CONTENIDO MODALIDAD PRIMERA PRUEBA PARCIAL SEGUNDA PRUEBA PARCIAL 1 y 2 MÓDULO 1, UNIDADES 1 y 2 3, 4 y 5 MÓDULO 1, UNIDAD 3 y MÓDULO 2 PRUEBA INTEGRAL 1 al 5 MÓDULOS 1 y 2 DESARROLLO M U O S EVALUABLES DE LA ASIGNATURA Interpretar el concepto analítico y geométrico de integral de una función acotada, como una generalización del concepto de área. 2 2 Aplicar las técnicas de integración de funciones que admiten primitivas en el cálculo de áreas, volúmenes, longitud de arco, áreas de superficies de revolución y centro de gravedad. 3 3 Aplicar las técnicas y criterios para el cálculo y análisis de la convergencia de integrales de funciones que no necesariamente son acotadas o cuyo dominio de definición es un intervalo no acotado. 4 4 Aplicar las propiedades de las series numéricas para determinar su convergencia o divergencia. 5 5 Aplicar los criterios correspondientes para determinar la convergencia de una serie de términos positivos y de series alternadas. Objetivo Peso Peso máximo: 5 Criterio de dominio académico: 3 Peso acumulado Calificación

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6 6/18 ORIENTACIONES GENERALES Además de la atención que te brinda tu asesor en el centro local, si lo deseas, también puedes recibir realimentación del especialista en contenido de este curso, a través del correo electrónico: alameda@una.edu.ve Antes de comenzar a estudiar los contenidos de esta asignatura, realiza una lectura completa del plan de curso y focaliza las actividades de evaluación. Utiliza un cuaderno o carpeta donde sintetices los contenidos de los temas y ejercicios propuestos, esto te permitirá sistematizar tu estudio. Reserva un tiempo para repasar frecuentemente la materia. Organiza un grupo de tres o cuatro personas; la idea es propiciar el aprendizaje colaborativo. Para obtener mejores beneficios durante la lectura, subraya las ideas principales, toma nota, vuelve a leer, consulta el diccionario, revisa las preguntas propuestas o realiza otra actividad que te ayude a comprender la lectura; selecciona la que más se ajuste a ti y te permita obtener un aprendizaje más efectivo. Mientras lees, ten presente la intencionalidad del objetivo de la unidad.

7 7/18 IV. DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN DEL CURSO Objetivo del curso: Resolver con precisión problemas relacionados con el cálculo integral de funciones reales de una variable real y las series numéricas, tanto en ramas de la matemática como en otras disciplinas. Objetivo 1. Interpretar el concepto analítico y geométrico de integral de una función acotada, como una generalización del concepto de área. 2. Aplicar las técnicas de integración de funciones que admiten primitivas en el cálculo de áreas, volúmenes, longitud de arco, áreas de superficies de revolución y centro de gravedad. 3. Aplicar las técnicas y criterios para el cálculo y análisis de la convergencia de integrales de funciones que no necesariamente son acotadas o cuyo dominio de definición es un intervalo no acotado. 4. Aplicar las propiedades de las series numéricas para determinar su convergencia o divergencia. 5. Aplicar los criterios correspondientes para determinar la convergencia de una serie de términos positivos y de series alternadas. Contenido Particiones de intervalos cerrados. Integral de funciones escalonadas. Propiedades algebraicas de la integral. Sumas de Riemann. Funciones integrables Riemann. Linealidad y homogeneidad de la integral de Riemann. Propiedad de monotonía de la integral. Propiedad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración. La integral como función del extremo superior. Primer teorema fundamental del cálculo. Segundo teorema fundamental del cálculo. Teorema del valor medio para integrales. Métodos de integración. Teoría de funciones primitivas. Tabla de funciones primitivas. Fórmulas de recurrencia. Funciones primitivas de funciones racionales. Otras integrales trigonométricas. Integrales impropias. Integrales impropias de primera especie. Criterios de convergencia. Integrales impropias de segunda especie. Criterios de convergencia. Integrales mixtas. Series. Operaciones algebraicas con series. Series absoluta y condicionalmente convergente. Serie geométrica y serie telescópica. Criterios de convergencia. Series alternadas.

8 8/ Interpretar el concepto analítico y geométrico de integral de una función acotada, como una generalización del concepto de área Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Jesús S. González. Cálculo ΙΙ. Módulo Ι. Unidad Ι. Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición,(capítulos 4, 6,7 y 8) McGRAW-Hill, México. De apoyo: Bibliografía Complementaria CD: Cálculo Integral, Alejandra Lameda.(2002). Calculadora científica. Internet. Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 1 para que tengas una idea de lo que se quiere que aprendas. Antes de comenzar a estudiar esta unidad es importante que investigues un poco sobre la historia del Cálculo Integral para que tengas una idea de cómo se originó esta teoría tan importante de las matemáticas. Para ello revisa las direcciones de Internet que se mencionan en el material instruccional o algún libro sobre Historia de las Matemáticas que puedes conseguir en la biblioteca de tu Centro Local. Has un resumen de lo que investigaste. Ahora lee la introducción de esta unidad en el libro de Cálculo II de la UNA en la cual ilustran, mediante un ejemplo físico, lo que más adelante vas a estudiar formalmente. Lee las definiciones de partición de un intervalo y de funciones escalonadas y sus propiedades. Construye una función escalonada diferente a los dados en el libro. Has la gráfica de la función escalonada que construiste y calcula el área de cada uno de los rectángulos que puedas formar y luego las sumas. Lo que acabas de hacer se define como la Integral de la función escalonada.(lee esta definición en la página 42 del libro Cálculo II de la UNA). La integral de funciones escalonadas tiene tres propiedades algebraicas: la propiedad de aditividad, propiedad de homogeneidad y la propiedad de monotonía de la integral, trata de demostrar cada una de ellas. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Formativa El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación incorporados en la unidad 1. Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad. Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad. Sumativa Se evaluará mediante preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás la definición y las

9 9/18 Ahora, a partir de la definición de integral de una función escalonada, vas a pasar al caso general de una función acotada cualquiera. Lee las definiciones de Sumas Riemann (busca la biografía de Riemann en e Integrales Superior e Inferior de Riemann páginas 47, 48 y 49 del libro Cálculo II de la UNA. Has los ejemplos que aparecen en la página 50 y los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición,(capítulo 4) McGRAW-Hill, México. Ahora vas a conocer cuando una función es integrable Riemann, la notación utilizada y las propiedades de linealidad y monotonía. Lee desde la página 53 hasta la página57 y realiza los ejemplos y ejercicios propuestos que se indican. Ya sabes lo que es una integral de una función acotada pero hay varios criterios, llamados Criterios de Integrabilidad, que te van a ayudar a reconocer cuando una función acotada es integrable sin necesidad de utilizar la definición, es decir, calculando las integrales superiores e inferiores y verificar que son iguales. Lee desde la página 58 hasta la 62 (has las demostraciones de los teoremas) y efectúa los ejemplos y ejercicios propuesto que están a continuación. Otra propiedad de la integral de una función acotada es la propiedad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración. Demuestra la proposición de la página 70 referente a esta propiedad y extiende la definición de integral al caso de igualdad de los extremos de integración (pgs ). Lee la relación entre el valor absoluto de la integral de una función y el valor absoluto de la integral de la función valor absoluto (pgs. 74 y 75). Trata de construir un ejemplo donde se b b cumpla la desigualdad f (x)dx f(x) dx. Cuándo se cumple la igualdad? a a Has un cuadro de resumen de las definiciones y propiedades de la integral de una función acotada y realiza los ejercicios propuestos (pgs. 75 y 76). Presenta la Autoevaluación N o 1: lee las instrucciones antes de comenzar a responder los problemas y al finalizar, compara tu solución con las respuestas del libro. Lee las recomendaciones que te dan al final de las respuestas de esta autoevaluación. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN propiedades de la integral definida. Los criterios de evaluación de las preguntas se fijarán en cada prueba y la corrección de las mismas será manual.

10 10/ Aplicar las técnicas de integración de funciones que admiten primitivas en el cálculo de áreas, volúmenes, longitud de arco, áreas de superficies de revolución y centro de gravedad. Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Jesús S. González. Cálculo ΙΙ. Módulo Ι. Unidad 2. Larson, Roland E., Hostetler Robert P. & Edwards Bruce H.(1999) Cálculo. Sexta edición. Volumen 1.M c Graw Hill. De apoyo: Bibliografía Complementaria. CD: Cálculo Integral, Alejandra Lameda.(2002). Calculadora científica. Internet. Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 2 para que tengas una idea de lo que se quiere que aprendas. Con la definición y propiedades fundamentales de la integral de una función acotada que aprendiste en la Unidad 1, ahora vas a estudiar la relación que existe con las definiciones y propiedades que conoces del cálculo diferencial vistos en el curso de Cálculo I. De esto se generan técnicas que te van a permitir calcular integrales de las funciones más conocidas, sin tener que utilizar la definición de la misma. Lee la definición de integral indefinida, el primer teorema fundamental del cálculo, función primitiva, segundo teorema fundamental del cálculo y el teorema del valor medio para integrales ( páginas: del libro Cálculo II de la UNA). Resuelve los ejemplos y ejercicios propuestos relacionados con lo que acabas de estudiar. Presenta la Autoevaluación N o 2: lee las instrucciones antes de comenzar a responder los problemas y al finalizar, compara tu solución con las respuestas del libro. Lee las recomendaciones que te dan al final de las respuestas de esta autoevaluación. Como ya sabes lo que es una función primitiva, construye una tabla de funciones primitivas a partir de la tabla de derivadas que construiste en Matemática II. Esta tabla te servirá mas adelante, para encontrar otras funciones primitivas en la que previamente has aplicado propiedades de la integral o alguno de los métodos que ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Formativa El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación incorporados en la unidad 2. Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad. Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad. Sumativa Se evaluará mediante preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás las técnicas de integración de funciones que admiten primitivas en el cálculo de áreas, volúmenes, longitud de arco, áreas de superficies de revolución y centro de gravedad. Los criterios de evaluación de las preguntas se fijarán en cada prueba y la

11 11/18 vas a aprender ahora. Lee las páginas 125 hasta 128 donde se desarrolla la teoría de funciones primitivas, sobre la base de los teoremas fundamentales del cálculo. Esto se hace con el fin de reducir el cálculo de integrales, al problema de determinar funciones primitivas de una función dada. Ahora aprenderás los métodos para calcular primitivas: Método de Cambio de Variable: lee las páginas 130 y 131 del libro Cálculo II de la UNA y realiza los ejemplos y ejercicios propuestos que están a continuación. Para complementar realiza los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición,(capítulo 4) McGRAW-Hill, México. Método de Integración por Partes: Deduce la fórmula, que está en la página 137 del libro Cálculo II de la UNA, a partir de la fórmula correspondiente a la derivada de un producto. Efectúa los ejemplos y ejercicios propuestos y deduce Fórmulas de Recurrencia las cuales te permiten calcular primitivas de polinomios trigonométricos en las funciones senx y cosx (ver páginas 140 hasta 145). Complementa con los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición,(capítulo 7 ) McGRAW-Hill, México. Ahora presenta la Autoevaluación n o 3: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas. Luego compara tus respuestas con las dadas en el libro y sigue las recomendaciones que dan al final de las respuestas de la autoevaluación Cálculo de funciones primitivas de funciones racionales, es decir, funciones que se expresan como cociente de dos polinomios: lee desde la página 155 hasta la página 158 del libro Cálculo II de la UNA la técnica para resolver este tipo de integrales. Realiza los ejemplos que están a continuación para que clarifiques lo leído y has algunos ejercicios propuestos del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición,(capítulos Fracciones Simples ) McGRAW-Hill, México. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN corrección de las mismas será manual.

12 12/18 Técnicas para calcular integrales de la forma C x + D dx : 2 ax + bx + c lee las páginas 164 a la 166, efectúa los ejemplos y ejercicios propuestos. Integrales de Funciones Racionalizables. Cociente de polinomios trigonométricos: En este tipo de integrales se realiza un cambio de variable llamado Cambio Universal, el cual hace que el integrando (cociente de polinomios trigonométricos) se transforma en una integral racional, lee las páginas 176 y 177, efectúa los ejemplos, ejercicios propuestos y los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6a ed.,(capítulos 7-7.4). Integración de expresiones de la forma x m P a x + b : En este tipo de integrales se realiza un cambio de variable para transformar el integrando en una función racional, lee las páginas 178 y 179, efectúa los ejemplos y ejercicios propuestos. 2 Integración de expresiones de la forma f(x) a x + bx + c y a x 2 f(x) + bx + c, donde f(x) es una función racional: Lee las páginas 182 a la 184 y has los ejemplos que están a continuación (pgs ) del libro Cálculo II de la UNA. Integrales Trigonométricas de la forma: sen (ax )cos (bx ) dx, sen (ax ) sen (bx ) dx, cos (ax )cos (bx ) dx. Para el cálculo de estas integrales sólo se requiere recordar algunas fórmulas trigonométricas. Lee las páginas 188 y 189 y efectúa los ejercicios de la página 190. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

13 13/18 Presenta la Autoevaluación n o 4: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas. Luego compara tus respuestas con las dadas en el libro y sigue las recomendaciones que dan al final de las respuestas de la autoevaluación. Ahora vas ha aplicar las técnicas del cálculo integral aprendidas para resolver problemas relacionados con el cálculo de áreas de figuras planas, volúmenes, longitud de arco, áreas de superficies de revolución y centro de gravedad de una lámina delgada. Lee desde la página 201 hasta la página 230 del libro texto Cálculo II (703) de la UNA y el capítulo 6, secciones 6.1 a la 6.4 y 6.6 del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición. Efectúa los ejemplos y los ejercicios propuestos. Presenta la Autoevaluación n o 5: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas. Luego compara tus respuestas con las dadas en el libro y sigue las recomendaciones que dan al final de las respuestas de la autoevaluación. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

14 14/18 3 -Aplicar las técnicas y criterios para el cálculo y análisis de la convergencia de integrales de funciones que no necesariamente son acotadas o cuyo dominio de definición es un intervalo no acotado. Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Jesús S. González. Cálculo ΙΙ. Módulo Ι. Unidad 2. Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6a edición, (capítulos 7-7.8). De apoyo: Calculadora científica. Internet. Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 3 para que tengas una idea de lo que se quiere que aprendas. En esta unidad aprenderás a resolver unas integrales cuya definición está basada en la definición de integral de Riemann que estudiaste en la unidad 1. Lee en las páginas la definición de integrales impropias de primera especie y resuelve los ejemplos. Te podrás haber dado cuenta en los ejemplos que se puede estudiar la convergencia de una integral impropia de primera especie si se conoce una primitiva de esta función, pero en muchos casos esto no es posible; lo que se hace en esta situación es comparar la integral impropia a estudiar con otras integrales impropias, cuya convergencia o divergencia se conoce. Lee los criterios de convergencias para integrales impropias de primera especie desde la página 248 hasta la 256 y realiza el ejemplo y los ejercicios propuestos. Lee, desde la página 258 hasta la 263, la definición de integrales impropias de segunda especie y los criterios de convergencia, que son análogos a los estudiados para integrales impropias. Realiza los ejemplos. Combinando las integrales impropias de primera y segunda especie se obtienen las llamadas integrales impropias mixtas, lee la página 267 y efectúa los ejemplos y ejercicios propuestos. Contesta la autoevaluación n o 6, siguiendo las instrucciones que se dan y al finalizar compara tus soluciones con las respuestas dadas en el libro y sigues las recomendaciones que dan al final de las respuestas de la autoevaluación. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Formativa El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación incorporados en la unidad 3. Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad. Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad. Sumativa Se evaluará mediante preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás las técnicas y criterios para el cálculo y análisis de la convergencia de integrales de funciones que no necesariamente son acotadas o cuyo dominio de definición es un intervalo no acotado. Los criterios de evaluación de las preguntas se fijarán en cada prueba y la corrección de las mismas será manual.

15 15/18 4. Aplicar las propiedades de las series numéricas para determinar su convergencia o divergencia. Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Jesús S. González. Cálculo ΙΙ. Módulo Ι. Unidad 2. Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6a edición,(capítulos 7-7.8). De apoyo: Calculadora científica. Internet. Actividades: ΣΣ Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 4 para que tengas una idea de lo que se quiere que aprendas. ΣΣ Para que comprendas con más facilidad el tema de series numéricas es necesario que repases las definiciones de sucesión de números reales y límite de sucesiones que estudiaste en el curso de Matemática I- Módulo III Unidad 7(177). ΣΣ Lee desde la página 297 hasta la 306 del libro Cálculo II de la UNA. Has las demostraciones de los teoremas y corolarios referentes a la convergencia y divergencia de series numéricas y las operaciones algebraicas con series. ΣΣ Lee las definiciones de series absoluta y condicionalmente convergentes y demuestra los teoremas relacionados con la convergencia absoluta (páginas del libro Cálculo II de la UNA) ΣΣ Ahora vas a estudiar la convergencia de dos series que tienen ciertas características especiales, la serie telescópica y la serie geométrica. Lee las páginas del libro Cálculo II de la UNA: demuestra los teoremas y realiza los ejemplos y ejercicios propuestos. ΣΣ Has los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición, capítulo 8 ( ejercicios de la sección 8.2, N os del 17 al 22 y los ejercicios 24, 26, 28, 30,36, 38, 40, 43,64,74,76,87. Intenta resolver el problema que plantean en esta misma sección del libro: La mesa desaparecida de Cantor (busca la biografía de Georg Cantor en la página ΣΣ Presenta la Autoevaluación n o 7: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas. Luego compara tus respuestas con las dadas en el libro y sigue las recomendaciones que dan al final de las respuestas de esta autoevaluación. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Formativa El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación incorporados en la unidad 4. Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad. Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad. Sumativa Se evaluará mediante preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás las propiedades de las series numéricas para determinar su convergencia o divergencia. Los criterios de evaluación de las preguntas se fijarán en cada prueba y la

16 16/18 5. Aplicar los criterios correspondien tes para determinar la convergencia de una serie de términos positivos y de series alternas. Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Jesús S. González. Cálculo ΙΙ. Módulo Ι. Unidad 2. Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición, (capítulo 8). De apoyo: Calculadora científica. Internet. Actividades: ΣΣ Hay series que no presentan las características de una serie geométrica o de una telescópica, cómo se hace para determinar la convergencia o divergencia de estas series? A continuación vas a aprender varios criterios, llamados criterios de convergencia, que te permiten asegurar cuando una serie converge, aunque no puedas hallar su suma con exactitud. Estos criterios son: Criterio de las Sumas Parciales: Lee el teorema de la página 323 del libro Cálculo II de la UNA y luego lo demuestra. Realiza el ejemplo y los ejercicios propuestos. Criterio de Comparación: Lee el teorema de la página 327 y el corolario de la página 328. Resuelve los ejemplos y los ejercicios propuestos de las páginas 329 y 330. Observación: en algunos textos, el Criterio de Comparación lo llaman Criterio de Comparación Directa. En la página 332 tienes un teorema que es una modificación del Criterio de Comparación y el teorema de la página 333 es un complemento a este último y ambos teoremas forman el llamado Criterio de Comparación en el Límite. Realiza los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición, capítulo 8 (ejercicios de la sección 8.4, desde el 3 hasta el 28 de la página 657). Criterio de la Integral: Lee desde la página 334 hasta la 336 del libro Cálculo II de la UNA, el teorema y su demostración referente a este criterio. Haz los ejemplos, especialmente el ejemplo No. 2 en donde se hallan los valores de p para los cuales la p-series: 1 converge. En el caso particular de p = 1, la serie es llamada n=1 p n ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN corrección de las mismas será manual. Formativa El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación incorporados en la unidad 5. Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad. Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad. Sumativa Se evaluará mediante preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás las propiedades de las series numéricas para determinar su convergencia o divergencia. Los criterios de evaluación de las preguntas se fijarán en

17 17/18 serie armónica. Efectúa los ejercicios propuestos de la página 340 y los ejercicios de la sección 8.3 del capítulo 8 del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición. Criterio de la Raíz: Lee en las páginas 342 y 343 del libro Cálculo II de la UNA, el teorema y su demostración en donde están las condiciones para aplicar este criterio. Realiza los ejemplos y ejercicios propuestos. Criterio de la Razón o del Cociente: Lee en la página 346 del libro Cálculo II de la UNA, el teorema y su demostración en donde están las condiciones para aplicar este criterio. Realiza los ejemplos y ejercicios propuestos. Para complementar, has los ejercicios impares desde el 11 hasta el 30 y desde el 33 hasta el 40 de la sección 8.6 páginas 674 y 675 del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición. Lee en la página 672 del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición, algunas estrategias para el análisis de la convergencia de series. Has un cuadro de resumen de los criterios vistos. ΣΣ Hasta el momento has trabajado solamente con series de términos positivos, ahora vas a estudiar un tipo de serie en que sus términos no son todos positivos. Las series cuyos términos alternan en signo, reciben el nombre de Series Alternadas o Alternas y son de n n+ 1 la forma ( 1) an y ( 1) an donde a n > 0. Lee las páginas 355 a la 358 n= 1 n= 1 del libro Cálculo II de la UNA, la definición y la Regla de Leibnitz (busca su biografía en el cual te dice cuando una serie alternada converge o diverge. Has los ejemplos y ejercicios propuestos. ΣΣ Lee las páginas 662 hasta 664 del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición, encontrarás la manera de calcular aproximadamente la suma de una serie alternada y las definiciones de Convergencia Absoluta y Convergencia Condicional. Has los ejemplos y los ejercicios impares de la Sección 8.5 del libro referido en este párrafo. ΣΣ Presenta la Autoevaluación n o 8: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas. Luego compara tus respuestas con las dadas en el libro y sigue las recomendaciones que dan al final de las respuestas de esta autoevaluación. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN cada prueba y la corrección de las mismas será manual.

18 18/18 V. BIBLIOGRAFÍA Obligatoria González Jesús S. (1984). Cálculo ΙΙ, 2a ed. Caracas: Universidad Nacional Abierta. Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B.(1999). Cálculo y Geometría Analítica 6a ed., México: McGRAW-Hill. Complementaria Apóstol Tom M., (1984). Cálculo. 2da ed. Volumen 1. España: Reverté S.A. E. T. Bell, (1996). Historia de las Matemáticas. México. Fondo de Cultura Económica. Hoffmann L.. & Bradley G. (2001). Cálculo, 7ma ed. México: McGRAW-Hill. Un libro con una gran variedad de ejemplos y problemas aplicados a la administración, economía y ciencias sociales. Se recomienda revisar los capítulos 5 y 6. Para la unidad 4 revisa el Apéndice III. Purcel, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2001) Cálculo, 8va ed. México: Prentice Hall. Un libro con una gran variedad de ejemplos y problemas. Se recomienda revisar el capítulo 5, 6, 8, 9, 10. Smith, R., Minton R. (2000). Cálculo. Tomo 1. Colombia: McGRAW-Hill Interamericana, s.a. Excelente libro, gran variedad de ejemplos y ejercicios. Se recomienda revisar los capítulos 4, 7 y 8. Stewart, J. (1998) Cálculo, 3ra ed. México: Internacional Thomson Editores. Otro de los buenos libros de cálculo. Tiene gran cantidad de ejercicios e ilustraciones. En el capítulo 2 puedes revisar la parte de límites y asíntotas. Swokowski, E. (1988). Cálculo con Geometría Analítica, 2da ed. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Se recomienda revisar el capítulo 5, 6, 9, 10 y 11. Thomas, G. (1998). Cálculo en una Variable, México: Addison Wesley, En el capítulo 1 puedes revisar la parte de límite y asíntotas en la sección 3.5 del capítulo 3. En el capítulo 4 puedes revisar la parte de integrales definidas. Revisar los capítulos 5 y 7. Direcciones electrónicas