ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE BÉLMEZ UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA

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1 ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE BÉLMEZ UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Grupos: Minas, grupo A de Obras Públicas e Itinerario Conjunto Profesor: Francisco Javier de los Ríos López Grupo B de Obras Públicas Profesora: María del Camino Zurita Ares Departamento: Matemáticas Área de Conocimiento: Matemática Aplicada Plan de Estudios: 1999 Curso: 09-10

2 UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS Tema 1.- Conceptos Básicos 1.1 Concepto de Teoría Científica: Definiciones, Hipótesis, Tesis. Lemas, Teoremas y Corolarios. 1.2 Símbolos y notaciones. 1.3 Principales tipos de demostraciones: Deductivas, Reducción al Absurdo, Inductivas. 1.4 Números Combinatorios UNIDAD II: NÚMEROS. NÚMEROS COMPLEJOS Tema 2: El Número complejo C 2.1 Construcción de los Números reales, por necesidades algebraicas. 2.2 Razones que aconsejan ampliar R 2.3 El cuerpo de los números complejos. Caso particular de R en C 2.4 Representación geométrica de los números complejos. 2.5 La unidad imaginaria i. 2.6 Valor absoluto de un número complejo. 2.7 Imposibilidad de ordenar los números complejos. 2.8 Exponenciales complejas. Propiedades. 2.9 Argumento de un número complejo: Argumento Principal 2.10 Potencias enteras y raíces de números complejos. Fórmula de Moivre Logaritmos complejos. Potencias complejas. UNIDAD III: FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS INFINITESIMAL. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Tema 3.- Repaso de Sucesiones, funciones y límites 3.1 Concepto de sucesión: término general (diferencias finitas), límites de Sucesiones (criterio de Stolz) 3.2 Sucesiones asintóticamente equivalentes. Infinitésimos e Infinitos: Ordenes de las Sucesiones. 3.3 Definición de función: Dominio y Recorrido Clasificaciones. Trigonometría Hiperbólica. 3.4 Límite de funciones. Propiedades: Unicidad, Acotación, Signo, Desigualdades, Funciones Intermedias. 3.5 Límites laterales. Caracterización de un límite mediante ellos. Página 2

3 3.6 Teorema de caracterización de un límite mediante Sucesiones. 3.7 Sucesiones de Cauchy. Tema 4: Repaso de Continuidad de Funciones Reales. Teoremas 4.1 Idea intuitiva de Continuidad. 4.2 Continuidad en un Punto. 4.3 Discontinuidad Puntual. Tipos de Discontinuidades. 4.4 Continuidad Lateral. Teorema de Caracterización. 4.5 Álgebra de Funciones Continuas. 4.6 Continuidad de la Función Compuesta e Inversa. 4.7 Continuidad en un Intervalo. 4.8 Propiedades de las Funciones Continuas: (P1) Conservación de signo. (P2) 1 er Teorema de Weierstrass (Acotación) (P3) 2º Teorema de Weierstrass (Alcance de Extremos) (P4) Teorema de Bolzano. (P5) Teorema del Valor Intermedio. (P6) Recorrido de las Funciones Continuas. (P7) Existencia y Continuidad de la Función Inversa para Funciones Estrictamente Monótonas. UNIDAD IV: DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Tema 5: Repaso y ampliación de derivabilidad de Funciones Reales. 5.1 Introducción Histórica. 5.2 Derivada de una Función en un Punto. 5.3 Interpretación Geométrica de la Derivada: Ecuaciones de la Recta Tangente y Normal a una Curva en un Punto. 5.4 Otras interpretaciones de la derivada: Interpretación Mecánica e interpretación Económica. 5.5 Derivadas Laterales. Caracterización de la Derivada. 5.6 Función Derivada. 5.7 Álgebra de Derivadas. 5.8 Derivadas de Funciones Elementales. 5.9 Diferencial de una Función: Relación entre Derivada y Continuidad Derivación de la Función Compuesta. Regla de la Cadena. Razón de cambio relacionada Derivación de la Función Inversa. Página 3

4 5.12 Derivación de la Función Implícita. Derivación Logarítmica Derivadas de Orden Superior. Fórmula de Leibniz Teoremas de Valores medios: Teorema de Rolle T. de Lagrange o Incrementos Finitos T. Generalizado del Valor Medio de Cauchy Consecuencias del Teorema del Valor Medio. Caracterización de las Funciones Constantes Supresión de Indeterminaciones. Regla de L'Hôpital Aproximación de una función por la recta tangente Aproximación de las soluciones de una ecuación: Métodos de Newton y de Picard. Tema 6: Desarrollo de Taylor. 6.1 Introducción. 6.2 Polinomios de Taylor. 6.3 Aproximación de una Función por un Polinomio de Taylor: Fórmula de Taylor. 6.4 Error en la Aproximación. Resto de Taylor: Expresión de Lagrange. 6.5 Aplicación de la Fórmula de Taylor al Cálculo de Límites. Tema 7: Repaso al Análisis de la Variación de las Funciones. 7.1 Criterios de Crecimientos y Decrecimientos de una Función. 7.2 Máximo y Mínimo de las Funciones. 7.3 Análisis del Máximo y Mínimo de una Función mediante la Primera Derivada. 7.4 Análisis del Máximo y Mínimo de una Función mediante la Segunda Derivada. 7.5 Aplicación de la Fórmula de Taylor al Estudio de las Variaciones de las Funciones. 7.6 Funciones Convexas. 7.7 Valores Máximos y Mínimos de una Función en un Intervalo. 7.8 Aplicaciones a la Teoría de Máximo y Mínimo de las Funciones. 7.9 Asíntotas y ramas parabólicas 7.10 Representación gráfica de funciones 7.11 Interpretaciones de las gráficas de funciones. Página 4

5 UNIDAD V: SERIES NUMÉRICAS, FUNCIONALES Y DE TAYLOR Tema 8: Series Numéricas. 8.1 Introducción: Tipos de Series. Series Geométricas 8.2 Criterio General de Convergencia de Cauchy. Condición Necesaria de Convergencia. 8.3 Series de Términos Positivos. Criterios de Comparación: Serie Armónica Generalizada o de Riemann. 8.4 Otros criterios de Convergencia: D'Alambert o Cociente; Cauchy o Raíz; Raabe o Duhamel; Logarítmico y Pringsheim. 8.5 Serie de Términos Negativos. 8.6 Series Alternadas: Criterio de Leibniz. Error en las series alternadas. 8.7 Series de Términos Cualesquiera: Convergencia Absoluta y Condicional. 8.8 Suma de algunas Series: Geométricas. Telescópicas. Aritmético-Geométricas. Hipergeométricas. Racionales Del tipo a n = P k (n)/(n+j)! j Z. 8.9 Series de Términos Complejos. TEMA 9: Series de Funciones 9.1 Series de Funciones. 9.2 Series Mayorables. 9.3 Continuidad de la Suma de una Serie. 9.4 Integración y Derivación de las Series. 9.5 Series de Potencias. Radio de Convergencia. 9.6 Continuidad, Derivación e Integración de las Series de Potencias. 9.7 Series de Taylor. 9.8 Ejemplos de desarrollos de Funciones en Series. 9.9 Fórmula de Euler Serie Binomial Desarrollo de la función ln(1+x) en Series de Potencias. Cálculo de logaritmos. UNIDAD VI: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE TEMA 10: INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Introducción Definiciones: Primitiva e Integral indefinida, propiedades. Integrales Inmediatas. Página 5

6 10.3 Métodos Elementales de Integración Integración de Funciones Racionales. Método de Hermite Integración de Funciones Irracionales. Método Alemán. Integrales Binomias Integración de Funciones Trascendentes. Tema 11: Integral Definida Introducción Histórica Concepto de Integral Definida en el Sentido de Riemann Propiedades de la Integral Definida Integrabilidad de las Funciones Monótonas y Continuas Teorema del Valor Medio La Integral como Función de un Extremo del Intervalo. Primitivas Cálculo de la Integral Definida. Regla de Barrow Aplicación de las series al cálculo de integrales definidas. Tema 12: Integrales Impropias. Paramétricas y Eulerianas 12.1 Introducción Integrales Definidas en Intervalos no Acotados: Integrales Impropias de Primera Especie Convergencia de las Integrales Impropias de Primera Especie Cálculo de las Integrales Impropias de Primera Especie Integrales Definidas de Funciones no Acotadas: Integrales Impropias de Segunda Especie Convergencia de las Integrales Impropias de Segunda Especie Cálculo de las Integrales Impropias de Segunda Especie Integrales Impropias. Convergencia y Cálculo Integrales Paramétricas Continuidad y Derivación de las Integrales Paramétricas Aplicación de la Derivación paramétrica al cálculo integral Integrales Eulerianas: Funciones Beta y Gamma. Tema 13: Aplicación de las Integrales Definidas Introducción Cálculo de Áreas de Recintos Planos Limitados por curvas en Coordenadas Cartesianas o Polares Longitud de una Curva Plana dada en Cartesianas o Paramétricas Cálculo de Volúmenes de Cuerpos: Casos Particulares de Cuerpos de Revolución Área de una Superficie de Revolución Aplicaciones Físicas: Trabajo, Masa,... Página 6

7 Tema 14: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Introducción Conceptos Fundamentales: Solución General. Problema de Cauchy Ecuaciones con Variables Separables y Reducibles a ellas Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas Ecuaciones Lineales de Primer Orden. Ecuaciones de Bernuilli Otras Ecuaciones Diferenciales Aplicación de las series a la resolución de ecuaciones diferenciales. UNIDAD VII: ESPACIOS VECTORIALES. S.E.L. MÉTODOS DIRECTOS Tema 15: El Espacio R n 15.1 Vectores n-dimensionales Operaciones con Vectores Dependencia e Independencia Lineal. Variedad Lineal Generada Subespacios Bases y Dimensión. Ecuaciones Generalización a Espacios Vectoriales Arbitrarios. Tema 16: Aplicaciones Lineales en Espacios Finito-Dimensionales 16.1 Definición y Propiedades Operaciones con Aplicaciones Lineales Subespacios Imagen y Núcleo. Teorema de la Dimensión. Tema 17: Repaso de Matrices y Determinantes 17.1 Definición. Algunos Tipos de Matrices: Submatrices. Matrices Cajas Operaciones con Matrices: Suma, Producto por Escalar y Producto de Matrices Transpuesta de una Matriz. Matriz Simétrica Matriz asociada a una aplicación lineal Definición de Determinante y Propiedades Desarrollo de un Determinante por los Elementos de una Línea Cofactores y Cálculo de la Matriz Inversa Rango de una Matriz Matrices Semejantes y Matrices Equivalentes. Página 7

8 Tema 18: Repaso de Sistema de Ecuaciones Lineales Sistema de Ecuaciones Lineales. Ecuaciones Matriciales Sistemas Equivalentes Teorema de Rouché-Frobenius Sistemas Lineales Homogéneos Regla de Cramer Transformación de Subespacios por Matrices. Tema 19: Resolución de S.E.L. Métodos Directos Resolución de Sistemas Diagonales y Triangulares Transformaciones Elementales: Matrices Asociadas Método de Eliminación de Gauss: Elección de Pivotes Factorización Triangular de una Matriz: Método L.U. Método de Cholesky, Método de Doolittle y Método de Crout Uso de la Factorización Para: Resolución de S.E.L., Cálculo de Determinantes Algoritmo de Jordan-Gauss. Cálculo de la Matriz Inversa. Tema 20: Diagonalización de las Matrices Reales 20.1 Introducción Valores y vectores propios Matrices semejantes Diagonalización. Caso particular de las matrices simétricas Aplicaciones: Procesos de Markov Sistemas de Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes Ajuste de dato. Método de mínimos cuadrados. Página 8

9 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA RECOMENDADA TEORÍA 1. APOSTOL T. M.: Análisis Matemático Ed. Reverté. ISBN: APOSTOL T. M.: Calculus Vol. I Ed. Reverté. ISBN: COQUILLAT F.: Cálculo Integral, metodología y problemas Ed. Mc Graw Hill. ISBN GRANERO F.: Cálculo Ed. Mc Graw Hill. ISBN: ELSGOLTZ L.: Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional Ed. Mir Moscú 6. LARSON R. E. y otros: Cálculo I. Ed. Mc Graw Hill. ISBN: KRASNOV M. y otros: Matemática Superiores para Ingenieros Ed. Mir Moscú. ISBN X 8. PISCUNOV N.: Cálculo Diferencial e Integral Ed. Montaner y Simón. ISBN THOMAS Jr. G.B. y FINNEY R.L.: Cálculo con Geometría Analítica Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. ISBN X 10. EDWARDS Y PENNEY: Cálculo con Geometría Analítica Ed. Pearson. ISBN: PURCELL, VARBERG Y RIGDON: Cálculo. Ed. Prentice Hall. ISBN: GRANERO F.: Cálculo Integral y Aplicaciones Ed. Prentice Hall. ISBN: EMILIO CHECA y otros: ÁLGEBRA, CÁLCULO Y MECÁNICA para Ingenieros. Ed. Ra-Ma. ISBN: Tomo 1: Tomo 2: C.H. EDWARDS, Jr. Y David E.PENNEY: Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemas con Condiciones en la Frontera Ed. Prentice Hall. ISBN: V. FRAILE: Ecuaciones Diferenciales Métodos de Integración y Cálculo Numérico Ed. Tebar Flores. ISBN: X PROBLEMAS 1. DANCO P. y otros: Matemáticas Superiores en ejercicios y problemas Vol. I y II 2. DEMIDOVICH B. P.: Problemas y ejercicios de Análisis Matemático Ed. Mir Moscú 3. GRANERO F. Ejercicios y Problemas de Cálculo Ed. Tebar Flores. ISBN: MAKARENKO G. y otros: Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ed. Mir Moscú. ISBN: TEBAR E.: Problemas de Cálculo Infinitesimal Ed. Tebar Flores. 6. FERNANDEZ VIÑA, J.A.: Ejercicios y Complementos de Análisis Matemático I. Ed. Tecnos. ISBN: RAYA SARO, A. y otros: Problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales. Ed. Grupo editorial universitario. ISBN: BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA PARA LA UNIDADE VII 1. AUBANELL A. y otros. Útiles Básicos de Cálculo Numérico Ed Labor, S.A. ISBN: STRANG G.: Álgebra Lineal y sus Aplicaciones Ed. Fondo Educativo Iberoamericano. 3. TORREGROSA J. R. y JORDAN C.: Álgebra Lineal y sus Aplicaciones Ed. Mc Graw Hill Página 9

10 CARÁCTER Asignatura Troncal de 9 créditos, 6 teóricos y 3 prácticos, impartida en el primer cuatrimestre del primer curso OBJETIVOS Los objetivos de este curso, son por un lado que los estudiantes adquieran unos esquemas claros de razonamiento, que les permitan aplicar las técnicas habituales en la Ingeniería. Y por otro recordar, adquirir y en todo caso manejar los principios básicos del: Cálculo Infinitesimal, Diferenciación de Funciones, Series tanto Numéricas como Funcionales, Integración tanto en el sentido de Indefinidas, como en el sentido de Definidas y su generalización a Impropias, Ecuaciones Diferenciales, finalizando con Algebra lineal poniendo las bases necesarias para resolver S.E.L. y sus principales aplicaciones EVALUACIÓN El tipo de examen será eminentemente práctico, pudiendo caer alguna cuestión teórica. El alumno podrá consultar durante 10 minutos aproximadamente cualquier duda que tenga de forma personal, en libros o apuntes, sin poder escribir nada A lo largo del curso, se realizarán dos exámenes parciales El primer parcial en el mes de Diciembre, eliminatorio, y un segundo parcial conjunto con el final en el mes de Febrero En el examen final de Febrero el alumno se examinará del total de la asignatura, si no aprobó el parcial, y sólo de la segunda parte, si hubiese aprobado el parcial En cualquier otra convocatoria extraordinaria, el examen será global de toda la asignatura. REVISIÓN DE EXÁMENES Durante los cinco días siguientes a la publicación de las notas, y en la fecha referenciada en la misma publicación de notas, los alumnos tendrán derecho a la revisión de su examen, pudiendo compararlo con el de cualquier compañero, así como llevarse una copia de su examen PONDERACIÓN A LA HORA DE CONVALIDACIONES temas. Se le da una peso del 60% a los temas y un peso del 40% al resto de los Página 10

11 HORARIO DE TUTORÍAS PROFESOR: FRANCISCO JAVIER DE LOS RÍOS LÓPEZ Lunes 11:30 a 13:00 Martes 13:00 a 14:00 Miércoles 11:30 a 13:30 Jueves 13:00 a 14:30 1 er cuatrimestre 2º cuatrimestre 10:00 a 11:00 11:30 a 13:30 10:00 a 11:00 11:30 a 13:30 PROFESORA: MARÍA DEL CAMINO ZURITA ARES Lunes 9:00 a 11:00 Martes 1 er cuatrimestre 2º cuatrimestre 9:00 a 11:30 12:00 a 14:00 Miércoles 12:00 a 13:30 Viernes 8:30 a 12:30 Página 11