ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS Camino de los Descubrimientos s/n Sevilla, España DATOS BÁSICOS DE LA ASIGNATURA

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS Camino de los Descubrimientos s/n Sevilla, España DATOS BÁSICOS DE LA ASIGNATURA TITULACIÓN: Ingeniero Aeronáutico (Plan 2002) NOMBRE: Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería NOMBRE (INGLÉS): CÓDIGO: TIPO: Troncal CRÉDITOS: Totales Teóricos Prácticos E.C.T.S. 13,6 9 4,6 CURSO: Primero CUATRIMESTRE: Anual COORDINADOR DESIGNADO POR EL DEPARTAMENTO: Antonio Fernández Carrión DATOS BÁSICOS DE LOS PROFESORES NOMBRE: Antonio Fernández Carrión CENTRO/DEPARTAMENTO: Escuela Técnica Superior Ingenieros Matematica Aplicada II ÁREA: Matemática Aplicada Nº DE DESPACHO: 04 TELÉFONO: afernadez@esi.us.es Nº Créd : URL WEB: DATOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA 1. Descriptores Cálculo. Ecuaciones diferenciales. Variable compleja. Álgebra lineal. Geometría. Fundamentos de Estadística.

2 2. Situación 2.1. Conocimientos y destrezas previos No existen requisitos prévios para la matriculación en esta asignatura. No obstante, se recomienda conocimiento y destreza en: 1. Manipulaciones aritméticas y algebraicas. División de polinomios. Resolución de ecuaciones polinómicas (regla de Ruffini). Factorización de polinomios. Descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios. Fórmula del Binomio de Newton. Desigualdades con valores absolutos. Resolución de ecuaciones e inecuaciones. 2. Trigonometría. Resolución de triángulos rectángulos. Resolución de triángulos arbitrarios. Teorema del seno y del coseno. Manipulación de las funciones trigonométricas (fórmulas de sumación,...). Razones trigonométricas de ángulos elementales. 3. Representación gráfica de funciones. Polinómicas y Racionales. Irracionales sencillas. Exponenciales y Logarítmicas. Trigonométricas. Inversas de las trigonométricas. 4. Cálculo de límites. Límites de sucesiones. Límites de funciones. Uso de la regla de L Hôpital. 5. Continuidad de funciones. Continuidad de las funciones elementales y de funciones definidas a trozos. Uso del Teorema de Bolzano. Existencia de máximos y mínimos absolutos. 6. Derivación. Fórmulas de derivación. Interpretación geométrica de la derivada. Cálculo de la tangente a una curva. Cálculo de extremos y resolución de problemas de extremos. Los Teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange. Crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. 7. Integración. Cálculo de primitivas inmediatas. Integración por cambio de variable. Integración por partes. Integración de funciones racionales. Cálculo de áreas y volúmenes. Teorema Fundamental del Cálculo. 8. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices (incluida el cálculo de la inversa). Determinación del rango de una matriz. Estudio de la compatibilidad de un sistema. Resolución de un sistema por el método de eliminación de Gauss. Resolución de un sistema por la regla de Cramer. Cálculo de determinantes. 9. Geometría del plano y del espacio. Ecuaciones de rectas y planos. Problemas de incidencia y paralelismo. Problemas de distancias y ortogonalidad. Propiedades del producto escalar y del producto vectorial. Propiedades de la norma (módulo) de vectores. Ecuaciones y propiedades de las cónicas. 2

3 2.2. Contexto dentro de la titulación El Plan de Estudios de Ingeniero Aeronaútico consta de dos ciclos, sin titulación intermedia, estructurados en asignaturas distribuidas a lo largo de cinco cursos y con un total de 390 créditos. El Primer Ciclo de Ingeniero Aeronaútico está constituido por disciplinas estructuradas en dos cursos y requiere para su superación la obtención de 152,5 créditos, de los cuales 97,5 corresponden a materias troncales, 39 a obligatorias, y 16 son de libre configuración. Esta asignatura es troncal, anual de primer curso y consta de 15 créditos. Su objetivo básico consiste en dotar a los alumnos de los recursos matemáticos (relacionados con el cálculo de funciones de una y varias variables) básicos y necesarios para el seguimiento de otras asignaturas del plan de estudios, así como la adquisición de habilidades y destrezas en la resolución de problemas relacionados con la ingeniería Recomendaciones No existem Adaptaciones para estudiantes con necesidades especiales (estudiantes extranjeros, estudiantes con alguna discapacidad, ): No existen. 3

4 3. Objetivos Esta asignatura está diseñada para cubrir los contenidos de dos grandes bloques de las matemáticas del primer curso de una titulación de ingeniería: cálculo con funciones de una variable y cálculo con funciones de varias variables, ocupando cada uno de ellos un cuatrimestre del curso. El objetivo básico de esta asignatura consiste en dotar a los alumnos de los recursos matemáticos (relacionados con el cálculo con funciones de una y varias variables) básicos y necesarios para el seguimiento de otras asignaturas del plan de estudios, así como la adquisición de habilidades y destrezas matemáticas en la resolución de problemas relacionados con la ingeniería. Algunos objetivos docentes específicos que nos planteamos en esta asignatura son los siguientes: 1. Conocer y aplicar los resultados básicos en la aproximación de funciones como son el teorema de Taylor y la interpolación de Lagrange. 2. Conocer y aplicar el método de Newton para resolver ecuaciones no lineales. 3. Recordar los resultados básicos sobre la integración de funciones de una variable. 4. Calcular áreas, volúmenes y longitudes de curvas como aplicaciones de la integral. 5. Aproximar integrales mediante las reglas del trapecio y de Simpson. 6. Conocer las nociones básicas sobre integrales impropias; en particular, los criterios de convergencia y su aplicación en casos concretos. 7. Conocer el sistema de coordenadas polares y aplicarlo al estudio de curvas planas; en particular, al cálculo de áreas y longitudes. 8. Desarrollar la teoría básica de curvas parametrizadas, obteniendo las fórmulas de la longitud y la curvatura. 9. Conocer las ecuaciones de las cónicas, su reducción a los ejes principales mediante giro y traslación. 10. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables, homogéneas, lineales y otros tipos. 11. Desarrollar la teoría de series de potencias y estudiar y aplicar las propiedades de las funciones definidas mediante una serie de potencias, en especial, el cálculo de la derivada y la integral. 12. Calcular las derivadas parciales de una función de dos y tres variables; aplicar la regla de la cadena. 13. Conocer y aplicar el teorema de la función implícita. 14. Obtener el polinomio de Taylor de una función de varias variables. 15. Desarrollar la teoría de optimización de funciones suficientemente derivables en recintos cerrados y acotados y conocer sus aplicaciones. 16. Introducir la integral doble y triple y aprender a calcular integrales en recintos proyectables y mediante el uso de cambios de variables; en particular, en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. 17. Introducir y estudiar las integrales de línea y de superficie para campos escalares y vectoriales. 18. Estudio y determinación de campos conservativos y su aplicación al cálculo de integrales de línea. 19. Conocer y aplicar los teoremas clásicos del cálculo vectorial: los teoremas de Green, Stokes y Gauss. 4

5 4. Bloques temáticos PRIMERA PARTE: CÁLCULO CON FUNCIONES DE UNA VARIABLE Lección 1. Aproximación de funciones y resolución de ecuaciones. Lección 2. Aplicaciones de la integral. Lección 3. Curvas. Lección 4. Ecuaciones diferenciales. Lección 5. Series. SEGUNDA PARTE: CÁLCULO CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Lección 6. Derivadas parciales. Lección 7. Aplicaciones de la derivación parcial. Lección 8. Integrales múltiples. Lección 9. Cálculo vectorial. 5. Bibliografía y otras fuentes documentales 5.1. General Textos de consulta. A continuación damos una lista de los libros de consulta que se recomiendan. Entre corchetes aparece, al principio de cada reseña, una clave, llamada signatura topográfica, que permite localizar el libro en la Biblioteca de la Escuela. [51(02)/APO] T. M. Apostol, Calculus (dos volúmenes). [517/BRA] G. L. Bradley y K. J. Smith, Cálculo de una variable y Cálculo de varias variables. [517 2-EDW] C.H. Edward y D. E. Penney, Cálculo con geometría analítica. [517/LAR] R. E. Larson, R. P. Hostetler y B. H. Edwards, Cálculo y geometría analítica (dos volúmenes). [514.7/MAR] J. E. Marsden y A. J. Tromba, Cálculo vectorial. [517/SMI] R. T. Smith y R. B. Minton, Cálculo (dos volúmenes) Específica CD. Los estudiantes tendrán a su disposición en la Copistería de la Escuela el CD M. D. Contreras, A. Fernández, I. López y P. Rodríguez, Ejercicios Resueltos y Notas de Clase de Cálculo, Secretariado de Publicaciones. Universidad de Sevilla Exámenes resueltos. Este documento contiene los enunciados y la solución detallada de los ejercicios propuestos en los exámenes de esta asignatura desde el curso hasta el curso

6 6. Técnicas de evaluación Enumerar tomando como referencia el catálogo de la correspondiente guía común. Examen escrito teórico práctico Criterios de evaluación y calificación Para evaluar el rendimiento de los estudiantes se realizarán exámenes finales. Cada uno de estos exámenes consiste en la resolución de problemas teórico prácticos que medirán la asimilación y aplicación de los contenidos de las diferentes lecciones, así como la capacidad de interrelacionar aspectos y resultados de diferentes lecciones. Cada examen suele constar de cuatro ejercicios que se valoran, independientemente, de 0 a 10 puntos. La nota del examen se obtiene como la media de las notas de estos ejercicios. La duración aproximada de un examen es de cinco horas y está dividido en dos partes, de aproximadamente 2,5 horas cada una, con descanso intermedio. Las fechas de estos exámenes se determinan según el procedimiento establecido por la Escuela Técnica Superior de Ingenieros y aparecerán publicadas en la página web 7. Temario desarrollado Primera parte: CÁLCULO CON FUNCIONES DE UNA VARIABLE Lección 1. Aproximación de funciones y resolución de ecuaciones. Funciones definidas mediante una fórmula. Polinomios de Taylor. El teorema de Taylor. Cálculo aproximado del valor de una función en un punto. Resolución de indeterminaciones. Introducción a la interpolación. Interpolación de Lagrange. Resolución de ecuaciones: existencia y localización de raíces. Aproximación de raíces: el método de bisección y el método de Newton. Lección 2. Aplicaciones de la integral. Integral definida. El teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow. Área comprendida entre dos curvas. Volumen de un cuerpo de revolución. Longitud de una curva plana. Integración numérica: las reglas del trapecio y de Simpson. Integrales impropias: definición y propiedades. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler. Lección 3. Curvas. Sistema de coordenadas polares. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares. Área y longitud en coordenadas polares. Introducción a las funciones vectoriales. Curvas parametrizadas: longitud de una curva. Vectores tangentes y normales unitarios: curvatura. Cónicas: elipse, hipérbola y parábola. Traslación y rotación de ejes. Lección 4. Ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones de variables separadas, homogéneas y lineales. Ecuación diferencial de una familia de curvas. Trayectorias ortogonales. Lección 5. Series. Introducción a las series. Criterios de convergencia para series de términos no 6

7 negativos. Series alternadas, convergencia condicional y absoluta. Series de potencias. Series de Taylor y de Maclaurin. Segunda parte: CÁLCULO CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Lección 6. Derivadas parciales. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. Derivadas parciales y derivadas direccionales de un campo escalar. Campos escalares diferenciables: gradiente. Las reglas de la cadena. Campos vectoriales diferenciables: cambios de variables. Divergencia y rotacional de un campo vectorial. Lección 7. Aplicaciones de la derivación parcial. Algunos casos especiales del teorema de la función implícita. El teorema de la función inversa para dos y tres variables. El teorema de Taylor para campos escalares. Formas cuadráticas. Extremos de las funciones de varias variables. El teorema de los multiplica-dores de Lagrange. Lección 8. Integrales múltiples. Integrales dobles sobre rectángulos. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares: propiedades de la integral doble. Cambio de variables en integrales dobles. Integrales paramétricas. Superficies parametrizadas: Área de una superficie. Integrales triples. Cambio de variables en integrales triples. Lección 9. Cálculo vectorial. Integrales curvilíneas. Independencia del camino: campos conservativos. El teorema de Green. Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. Integrales de superficie. El teorema de Stokes. El teorema de la divergencia. Las fórmulas de Green. 7