UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO PROGRAMA DE POSGRADO EN INGENIERÍA PROGRAMA DE ESTUDIO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO PROGRAMA DE POSGRADO EN INGENIERÍA PROGRAMA DE ESTUDIO MATEMÁTICAS APLICADAS I Asignatura Clave Semestre Créditos INGENIERIA CIVIL GEOTECNIA MAESTRIA EN INGENIERIA SACC Departamento Grado en que se imparte Asignatura: Horas: Total (horas): Obligatoria ( X ) Teóricas 48 Semana 3 Complementaria ( ) Prácticas 16 Semanas Objetivo(s) del curso: Explicar los conceptos y resultados básicos de álgebra lineal, y los conceptos matemáticos necesarios para resolver problemas de finanzas y optimización. Contenido temático TEMA I: ÁLGEBRA LINEAL 1. Ecuaciones lineales Transformaciones elementales Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss 2. Matrices Adición y multiplicación por un escalar Multiplicación de matrices Inversa de una matriz Ecuaciones con matrices Tipo especial de matrices

2 3. Determinantes. Conceptos básicos Cálculo de determinantes Aplicaciones 4. Espacios vectoriales Estructura de un espacio vectorial Dependencia lineal, base y dimensión Espacios vectoriales asociados a una matriz. Teoría de los sistemas de ecuaciones lineales. Espacio de funciones Espacio con producto interno. TEMA II: MÉTODOS NUMÉRICOS 1. Solución numérica de ecuaciones Método de aproximaciones sucesivas Método de Newton-Rapson Método de Newton-Rapson de segundo orden Método de Von Mises. 2. Sistema de ecuaciones lineales Método de Gauss-Jordan Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel 3. Valores y vectores característicos Método directo Obtención de la ecuación característica Método de Krylov Método de Leverrier-Fadev

3 4. Aproximación Polinomial. Diferencias finitas Interpolación. Método de Newton Método de Lagrande Diferenciación numérica Integración numérica 5. Aproximación funcional Método de los mínimos cuadrados Transformaciones TEMA III: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1. Derivación Derivada de una función de una variable Funciones derivables Regla general para la derivación Interpretación geométrica de la derivada 2. Reglas para derivar funciones algebraicas Derivada del producto de una constante por una función Derivada del producto de funciones Derivada del producto de n funciones (n = número fijo) Derivada de un cociente 3. Aplicaciones de una derivada Dirección de una curva Valores máximos y mínimos de una función

4 Distribuciones particulares 4. Integración 5.1 Integración definida 5.2 Integración por partes 5. Aplicaciones de la integración Momentos de superficie Centro de gravedad TEMA IV: ECUACIONES ORDINARIAS Y PARCIALES 1. Métodos analíticos Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas Solución de ecuaciones diferenciales parciales Método de separación de variables 2. Métodos numéricos Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Problemas de valores iniciales Método de Euler Método de Runge-Kutta Método de Milne Sistemas de ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales de orden n Método de diferencias finitas

5 Solución de valores en la frontera Integración paso a paso Solución de problemas lineales Solución de problemas de valores caracterísicos Integración paso a paso Solución de problemas lineales solución de ecuaciones diferenciales parciales Ecuación elíptica (p. ej. Laplace) Ecuación parabólica (p. ej. difusión) Ecuación hiperbólica (p. ej. onda) TEMA V CALCULO VECTORIAL 1. Álgebra de vectores Vectores Adición y substracción de vectores Multiplicación de vectores por escalares Centroide Componentes rectangulares Producto de vectores Producto escalar Producto vectorial 2. Invariantes diferenciales 2.1 Superficies 2.2 Derivada direccional 2.3 Gradiente de un vector

6 2.4 Divergencia rotacional 2.5 Coordenadas curvilíneas 3. Funciones Vectoriales de una variable Vector tangente Vector unitario tangente Curvatura y torsión TEMA VI: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1. Estadística descriptiva Introducción Población, datos y muestra Presentación y procesamiento de datos Estimaciones numéricas Datos observados por parejas 2. Probabilidad Introducción Espacio de eventos Variables aleatorias Esperanzas Bibliografía