Matemáticas para Economistas

Transcripción

1 Fco. Javier Palencia González Mª Carmen García Llamas Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) Matemáticas para Economistas Cálculo diferencial

2 Reservados todos los derechos. Cualquier forma de reproducción, ditribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográcos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra ( / ) (c) Ediciones Académicas, S.A. Bascuñuelos, 13-P Madrid (c) Fº Javier Palencia González, Mª Carmen García Llamas ISBN: Depósito legal: M Copias Centro C/San Máximo Madrid Impreso en España / Printed in Spain

3 A Diana, Raúl y Olga. A Irene, Elena, Alejandro y Fernando.

4

5 Prólogo En este libro de Matemáticas para Economistas se abarcan los distintos conceptos y competencias especicados en el plan de estudios de la asignatura Matemáticas para la Economía: Cálculo del grado de Economía de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). El libro arranca con dos capítulos de repaso en el que se revisan todos aquellos conceptos que deben conocerse y que son necesarios para iniciar el estudio de la asignatura. El motivo de incluir estos capitulos es debido a que son numerosos los estudiantes que llegan al grado con diversas lagunas en el área de Matemáticas, bien por no haberlas estudiado con anterioridad o por llevar bastante tiempo sin trabajarlas. Por ello en estos capítulos y en el resto del libro se abordan los distintos temas desde cero, introduciendo los conceptos teóricos y apoyándose en ejemplos para ayudar a entender su signicado, así como su notación. Así y de forma progresiva se van revisando todos los conceptos necesarios. A continuación se encuentran cuatro capítulos en los que se desarrollan las funciones reales de variable real, así en el capítulo 3 se estudian los Límites y Continuidad, en el capítulo 4 se estudia la Derivación, en el capítulo 5 se abordan las Aplicaciones de la derivada para en el capítulo 6 estudiar La Integral. Seguidamente hay 2 capítulos en los que se estudian las funciones reales de varias variables reales, el capítulo 7 que abarca las Funciones de varias variables reales y el capítulo 8 que estudia la Optimización de funciones, extremos condicionados e integrales múltiples. Finalmente se dedica un capítulo al estudio de las Sucesiones y series. IX

6 X Cada uno de los temas que se desarrolla en el presente texto es tratado desde varios puntos de vista: ˆ Se comienza con una motivación intuitiva, para conseguir un primer acercamiento y resaltar la utilidad de los contenidos que se van a tratar. ˆ A continuación se presentan los conceptos teóricos formalmente, profundizando en sus respectivos matices y en las consecuencias que se derivan de ellos. ˆ En determinados casos se facilitan técnicas para la ejecución sistemática de los diversos métodos presentados, lo que hace más amigable el camino a recorrer para alcanzar el objetivo propuesto de obtención de conocimiento. ˆ Finalmente se ilustran los conceptos presentados mediante un buen número de ejemplos, todo ello con el objetivo de proporcionar una visión integral del mismo y por tanto más enriquecedora. Todas las grácas del presente libro han sido elaboradas por los autores con el software de libre distribución GeoGebra, disponible en y/o con el software disponible en la web de forma que pueden ser reproducidas fácilmente por los alumnos. Los autores, docentes de la asignatura con amplia experiencia en la enseñanza a distancia, consideran que esta forma de presentar los temas facilita de forma relevante el aprendizaje autónomo y la comprensión, así como la adquisición de las capacidades, competencias y habilidades necesarias para superar la asignatura. Los autores Junio 2018

7 Índice general 1. Conceptos Básicos Los números Los números naturales, N Los números enteros, Z Los números racionales, Q Los números reales, R Número factorial y combinatorio Propiedades de los números Propiedades básicas Desigualdades Propiedades de orden Valor absoluto Intervalos Potencias y radicales Potencias Propiedades de las potencias Radicales Polinomios Monomios y binomios Polinomios Operaciones con polinomios Factorización Descomposición en fracciones simples Palabras clave Autoevaluación Problemas XI

8 xii ÍNDICE GENERAL 2. Funciones Introducción Función Dominio de una función Imagen de una función Gráca de una función Función inyectiva Función a trozos Operaciones con funciones Composición de funciones Función inversa Método para hallar la función inversa Función monótona Función acotada Funciones simétricas Función par e impar Método para estudiar la simetría de una función Función periódica Funciones polinómicas y racionales Funciones trigonométricas Razones trigonométricas Igualdades trigonométricas Función seno y coseno Funciones ondulatorias Otras funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Coordenadas polares Función exponencial Propiedades de las funciones exponenciales

9 xiii ÍNDICE GENERAL Función logaritmo Propiedades de la función logaritmo Cambio de base Funciones hiperbólicas Funciones elementales Palabras clave Autoevaluación Problemas Límites y continuidad Límites Introducción Denición de Límite Cálculo de límites Infinitésimos Propiedades de los innitésimos Comparación de innitésimos Innitésimos equivalentes Indeterminaciones Continuidad Continuidad de una función Continuidad lateral Propiedades de las funciones continuas Continuidad por tipo de función Discontinuidad Asíntotas Asíntotas verticales Asíntotas horizontales Asíntotas oblicuas

10 xiv ÍNDICE GENERAL 3.6. Teorema de Bolzano y otros Teorema de Bolzano Teorema de los Valores Intermedios Método para hallar los valores intermedios Teorema de los Valores Extremos ó de Weierstrass Palabras clave Autoevaluación Problemas Derivación Concepto de derivada Tasa de variación La tasa de variación instantánea El problema de la recta tangente Derivada en un punto Interpretación geométrica Derivadas laterales Continuidad y derivabilidad Función derivada Método de obtención de funciones derivadas Regla de la cadena Derivada de la función inversa Derivación logarítmica Derivada de la función exponencial Derivada de la función exponencial de base a Derivación implícita Derivadas de funciones trigonométricas Derivadas trigonométricas Derivadas de las funciones inversas trigonométricas. 175

11 xv ÍNDICE GENERAL Derivadas de las funciones hiperbólicas Elasticidad Propiedades de la elasticidad Tabla de derivadas Palabras clave Autoevaluación Problemas Aplicaciones de la derivada Introducción Derivadas sucesivas Análisis de funciones Crecimiento y decrecimiento de funciones Extremos absolutos de una función Máximos y mínimos locales Puntos críticos o estacionarios Algunos teoremas importantes Concavidad y convexidad Puntos de inexión Problemas de optimización Método para resolver problemas de optimización Cálculo de límites indeterminados Indeterminaciones Regla de L'Hôpital Análisis y representación gráfica de funciones Decálogo para el análisis y la representación gráca de funciones Aproximación lineal y diferencial Aproximación lineal de una función

12 xvi ÍNDICE GENERAL Diferencial de una función Fórmula de Taylor Polinomio de Taylor Teorema de Taylor Fórmula de McLaurin Palabras clave Autoevaluación Problemas La integral Introducción Integral indefinida La primitiva Reglas de integración inmediatas Reglas algebraicas de integración Reglas de integración para funciones compuestas Métodos de Integración Integración por sustitución Método para realizar la integración por sustitución Integración por partes Método para realizar la integración por partes Integración de funciones racionales Integración de funciones racionales trigonométricas Reducción de los exponentes o fórmulas de reducción Integral definida El área como suma La integral denida Teorema Fundamental del Cálculo Propiedades de la integral denida

13 xvii ÍNDICE GENERAL Áreas limitadas por dos curvas Promedio integral. Teorema del valor medio para la integral Derivación bajo el signo integral Integrales Impropias Integrales impropias de primera especie Integrales impropias de segunda especie Integrales Eulerianas Funcion Beta Función Gamma Palabras clave Autoevaluación Problemas Funciones de varias variables reales Introducción Funciones reales de dos variables reales Dominio de una función Álgebra de funciones de varias variables Límites de funciones de dos variables Nociones previas Concepto de límite doble Continuidad de funciones de varias variables Continuidad de una función Propiedades de las funciones continuas Tipos de discontinuidad Derivación de funciones de varias varibles Derivadas parciales Interpretación geométrica de la derivada

14 xviii ÍNDICE GENERAL Análisis marginal Derivadas sucesivas Diferencial de una función Diferenciales sucesivas Continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad Funciones compuestas y funciones implícitas Funciones compuestas Funciones implícitas Funciones homogéneas y teorema de Euler Teorema de Euler Palabras clave Autoevaluación Problemas Optimización de funciones, extremos condicionados e integrales múltiples Introducción Fórmula de Taylor Optimización sin restricciones Funciones de dos variables Funciones de más de dos variables Extremos condicionados por relaciones de igualdad Condición de primer orden Condición de segundo orden Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange Integración múltiple Integral iterada Integral doble La integral doble

15 xix ÍNDICE GENERAL Propiedades de las integrales dobles Integral doble sobre un rectángulo La integral doble sobre dominios generales Área de una región plana Cambio de variables Cambio general de variables Cambio de variables a forma polar Palabras Clave Autoevaluación Problemas Sucesiones y series Conceptos Teóricos Concepto de sucesión Sucesiones monótonas Sucesiones acotadas Límite de una sucesión Concepto de límite Álgebra de límites Algunos criterios para el cálculo de límites La fórmula de Stirling Teorema de Cauchy Criterio de Stolz Series. Primeras nociones Series de términos positivos. Criterios suficientes de convergencia Criterio de Cauchy o de la raíz Criterio de D'Alambert o del cociente Criterio de Raabe

16 xx ÍNDICE GENERAL 9.6. Suma de series de términos positivos Series geométricas Series aritmético-geométricas Series del tipo Stirling Series de factoriales Palabras Clave Autoevaluación Problemas

17 Índice de guras 1.1. Valor absoluto Polinomios de grado 0 y grado Polinomios de grado 2, 3 y Puntos en el plano y gráca de la función Criterio de la recta vertical Funciones a trozos Funciones f(x) = x 2 y g(y) = ± x Función y su inversa Función monótona Funciones acotadas Simetría de funciones Función periódica Triángulo rectángulo Triángulo rectángulo y círculo de radio Funciones seno y coseno Funciones ondulatorias Funciones tangente y cotangente Funciones secante y cosecante Funciones trigonométricas inversas Coordenadas cartesianas y polares Función exponencial Función logaritmo Funciones hiperbólicas Funciones hiperbólicas inversas xxi

18 xxii ÍNDICE DE FIGURAS 3.1. Límite por aproximación Límite de una función en un punto Límites laterales distintos Límite no nito Límite oscilando Función continua Función continua Función no continua Función continua por la derecha Discontinuidad evitable Discontinuidad inevitable Discontinuidad esencial Asíntota vertical Asíntota vertical doble Asíntota horizontal Asíntota horizontal doble Asíntotas vertical y horizontal Asíntota oblicua Asíntotas vertical y oblicua Teorema de Bolzano Teorema de los valores intermedios Teorema de los valores extremos Pendiente de una recta Ecuación de la recta Recta tangente Interpretación geométrica de la derivada Continuidad y derivabilidad Gráca de la inversa y su derivada

19 xxii ÍNDICE DE FIGURAS 5.1. Función creciente, decreciente Tangentes a la función Crecimiento de la función Máximos y mínimos locales Extremos locales y absolutos Puntos críticos Extremo en valor absoluto Teorema de Rolle Teorema del Valor Medio Concavidad y convexidad Función cóncava y convexa Punto de inexión Función con 2 puntos de inexión Criterio de las r 1 derivadas nulas Representación gráca de una función Familia de primitivas Área limitada por la curva Aproximación al área por rectángulos Área limitada por 2 curvas Área limitada por 2 curvas que no se cortan Área limitada por 2 curvas que se cortan Área limitada por 2 curvas que se cortan en 3 puntos Teorema del valor medio para la integral Integral impropia de primera especie Campana de Gauss Dominio de una función de dos variables Representación en 3D Curvas de nivel

20 xxiv ÍNDICE DE FIGURAS 7.4. Proyecciones en el plano Paraboloide Entornos Bola 3D Coordenadas cartesianas y polares Interpretación geométrica de la derivada Punto de silla Región cuadrada Regiones verticales y horizontales Región de integración vertical Región de integración horizontal Región triangular Cambio de variables Corona circular