GUÍA DOCENTE CURSO: DATOS BÁSICOS DE LA ASIGNATURA DISTRIBUCIÓN HORARIA DE LA ASIGNATURA SEGÚN NORMATIVA DATOS DEL PROFESORADO

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1 GUÍA DOCENTE CURSO: DATOS BÁSICOS DE LA ASIGNATURA Asignatura: Cálculo Diferencial e Integral Código de asignatura: Plan: Grado en Matemáticas (Plan 2010) Año académico: Ciclo formativo: Grado Curso de la Titulación: 2 Tipo: Obligatoria Duración: Primer Cuatrimestre DISTRIBUCIÓN HORARIA DE LA ASIGNATURA SEGÚN NORMATIVA Créditos: 12 Horas totales de la asignatura: 300 UTILIZACIÓN DE LA PLATAFORMA VIRTUAL: Apoyo a la docencia DATOS DEL PROFESORADO Nombre Carmona Tapia, José Departamento Dpto. de Matemáticas Edificio Edificio Científico Técnico III Matemáticas e Informática (CITE III) 1 Despacho 400 Teléfono (institucional) jcarmona@ual.es Recursos Web personales Web de Carmona Tapia, José

2 ELEMENTOS DE INTERÉS PARA EL APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA Justificación de los contenidos La asignatura Cálculo Diferencial e Integral proporciona una introducción a estas dos ramas de la matemática que tienen numerosas aplicaciones en otros campos de la ciencia. Es conveniente que un matemático maneje con soltura las funciones reales de varias variables reales, sepa calcular límites y derivar parcialmente, aplique correctamente los teoremas de la función inversa e implícita, calcule extremos libres y condicionados, y sepa integrar y aplicar la integración a problemas geométricos. El estudiante podrá aplicar las herramientas que proporcionan estas dos materias a problemas planteados en otras asignaturas. Materia con la que se relaciona en el Plan de Estudios Esta asignatura forma parte del módulo de Análisis Matemático y de la materia sobre Cálculo Diferencial e Integral y Funciones de Variable Compleja. Está relacionada con las asignaturas Análisis Matemático, Análisis Vectorial y Análisis Complejo, así como con las materias Ecuaciones Diferenciales, Probabilidad y Estadistica así como Topología y Geometría Diferencial. Conocimientos necesarios para abordar la Asignatura Se recomienda haber cursado el módulo Matemáticas. Requisitos previos recogidos en la memoria de la Titulación Ninguno. COMPETENCIAS Competencias Generales Competencias Trasversales de la Universidad de Almería Conocimientos básicos de la profesión Capacidad para resolver problemas Comunicación oral y escrita en la propia lengua Trabajo en equipo Competencias Básicas Comprender y poseer conocimientos Aplicación de conocimientos Capacidad de emitir juicios Capacidad de comunicar y aptitud social Habilidad para el aprendizaje Competencias Específicas desarrolladas CB1 Adquirir y comprender los conocimientos matemáticos básicos CB2 Saber aplicar los conocimientos matemáticos básicos CB3 Saber construir y emitir juicios CB4 Adquirir la capacidad de transmisión y comunicación de ideas CB5 Habilidades de aprendizaje CE1 Comprender y utilizar el lenguaje matemático CE2 Conocer las demostraciones rigurosas en matemáticas CE3 Capacidad para realizar analogías CE4 Capacidad de abstracción CE5 Saber resolver problemas matemáticos CE6 Capacidad de análisis CE7 Saber utilizar herramientas informáticas en el ámbito matemático OBJETIVOS/RESULTADOS DEL APRENDIZAJE Conocer el espacio real de dimensión N como espacio vectorial, espacio prehilbertiano, espacio normado, espacio métrico y espacio topológico. Manejar con soltura la acotación y la convergencia de sucesiones en el espacio euclídeo real N-dimensional. Conocer los conceptos de continuidad y límite de funciones entre espacios euclídeos reales de dimensión finita y las relaciones entre ellos. Conocer la conservación de los conjuntos conexos y compactos por medio de aplicaciones continuas. Conocer las aplicaciones lipschitzianas y las aplicaciones lineales continuas. Conocer la propiedad de diferenciabilidad de funciones entre espacios euclídeos reales de dimensión finita y sus relaciones con la continuidad, las operaciones algebraicas y la composición de funciones (regla de la cadena). Conocer la propiedad de derivabilidad de una función según un vector y, en particular, la derivabilidad parcial, así como su relación con la

3 diferenciabilidad. Expresar matricialmente la diferencial de una función diferenciable y la regla de la cadena. Conocer el significado geométrico de la diferencial, y saber calcular el hiperplano tangente, el vector gradiente y los conjuntos de nivel. Conocer condiciones suficientes de diferenciabilidad y saber qué son las funciones de clase C1. Conocer el concepto de derivada parcial de orden superior y las funciones de clase CN. Saber aplicar los teoremas de Schwarz y Young para calcular las derivadas parciales cruzadas de una función. Conocer la fórmula de Taylor y controlar el error que se produce en una función al aproximar mediante el polinomio de Taylor aplicando la fórmula infinitesimal del resto. Conocer y saber aplicar en casos concretos las condiciones necesarias y suficientes para que un punto sea extremo relativo de una función y saber decidir si se trata de máximos o mínimos. Conocer el concepto de difeomorfismo y algunos ejemplos. Aprender los teoremas de las funciones inversa e implícita y saber aplicarlos en ejercicios. Conocer las dos definiciones equivalentes de variedad diferenciable del espacio euclídeo real de dimensión N (ceros de una función y subespacio localmente difeomorfo a abiertos de un espacio euclídeo) y saber reconocer variedades y el valor de su dimensión. Saber calcular los espacios tangente y normal a una variedad en un punto. Conocer y saber aplicar en casos concretos las condiciones necesarias y suficientes para que un punto sea extremo relativo condicionado de una función sobre una variedad y saber decidir si se trata de máximos o mínimos. Saber calcular los extremos absolutos de una función continua en un conjunto compacto. Conocer las sucesiones y series de funciones, en particular las series de potencias y sus distintos tipos de convergencia. Conocer la integral de Lebesgue y sus aplicaciones geométricas al cálculo de áreas y volúmenes.

4 PLANIFICACIÓN Temario CÁLCULO DIFERENCIAL TEMA 1.- EL ESPACIO RN El espacio vectorial RN. El producto escalar euclídeo. Norma y distancia en RN. Ángulo y ortogonalidad en RN. Topología en RN. Nociones topológicos y métricas en RN (conjunto cerrado; topología relativa; interior, exterior y frontera de un conjunto; adherencia, acumulación y puntos aislados de un conjunto; conjunto acotado y conjunto compacto). Sucesiones en RN (sucesión convergente; sucesión acotada; sucesión de Cauchy). TEMA 2.- FUNCIONES CONTINUAS Funciones de varias variables. Continuidad. Continuidad y composición de funciones. Continuidad y operaciones algebraicas. Carácer local de la continuidad. Continuidad global. Límite funcional. Límite en el infinito y divergencia. Límite funcional y operaciones algebraicas. Carácter local del límite funcional. Límite funcional y continuidad. Cálculo de límites por coordenadas polares. Teorema de Weierstrass. Continuidad uniforme. Condición de Lipschitz. TEMA 3.- FUNCIONES DIFERENCIABLES Diferenciabilidad. Carácter local de la diferenciabilidad. Diferenciabilidad y continuidad. Regla de la cadena. Diferenciabilidad y operaciones algebraicas. Derivabilidad de una función vectorial de variable real. Derivabilidad según un vector y derivabilidad parcial. Diferenciabilidad y derivabilidad según un vector. Matriz jacobiana. Expresión matricial de la diferencial. Expresión matricial de la regla de la cadena. Hiperplano tangente. Vector gradiente. Condiciones suficientes de diferenciabilidad. TEMA 4.- TEOREMA DE TAYLOR. EXTREMOS LIBRES Derivadas parciales de orden superior. Derivadas parciales cruzadas. Funciones de clase Cn. Teorema de Taylor. Polinomio y resto de Taylor. Fórmula infinitesimal del resto. Extremos relativos. Condición necesaria de extremo relativo de una función diferenciable. Matriz hessiana y forma cuadrática asociada. Condición necesaria de extremo relativo de una función de clase C2. Condición suficiente de extremo relativo de una función de clase C2. TEMA 5.- TEOREMAS DE LA FUNCIÓN INVERSA Y DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA Difeomorfismos. Teorema de diferenciación de la función inversa. Teorema de la función inversa. Teorema de la función implícita. TEMA 6.- VARIEDADES DIFERENCIABLES. EXTREMOS CONDICIONADOS Variedades diferenciables en RN. Espacio tangente y espacio normal a una variedad en un punto. Extremos relativos condicionados. Condición necesaria de extremo relativo condicionado. Condición suficiente de extremo relativo condicionado. Cálculo de extremos absolutos. CÁLCULO INTEGRAL TEMA 7.-SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES Sucesiones de funciones. Convergencia puntual. Convergencia uniforme. Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme e integrabilidad. Series de funciones. Convergencia puntual y absoluta de series de funciones. Convergencia uniforme de series de funciones. Test de la mayorante de Weierstrass. Series de potencias. Desarrollos en series de potencias. TEMA 8.- INTEGRAL MÚLTIPLE Medida e integración de Lebesgue. Propiedades de las funciones integrables. Teorema de la convergencia monótona. Teorema de la convergencia dominada. Integrales reiteradas. Teorema de Fubini. Integral doble de una función acotada en un conjunto acotado. Integral triple. Aplicaciones geométricas de la integral. Recintos de integración. Cambio de variable en la integral múltiple. Metodología y Actividades Formativas Actividades Formativas: Clase magistral participativa, Resolución de problemas, Sesiones de evaluación, Realización de ejercicios; Metodologías Docentes: Clase magistral participativa, Clases teórico-prácticas, Elaboración y exposición de trabajos, Tutorías, Trabajo autónomo o en grupo. Actividades de Innovación Docente

5 PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN DE LAS COMPETENCIAS Criterios e Instrumentos de Evaluación El sistema de evaluación tendrá en cuenta el seguimiento continuo del alumno a lo largo del cuatrimestre en el que se imparte la asignatura y la nota obtenida en el examen de la correspondiente convocatoria oficial (febrero y septiembre). El peso específico de cada uno de estos factores en la nota final es el siguiente: Seguimiento continuo: 30% (en septiembre la nota será la obtenida en febrero) Examen oficial: 70% El seguimiento continuo vendrá dado por la nota obtenida en las sesiones de evaluación realizadas a lo largo del cuatrimestre dependiendo del desarrollo de la asignatura. Mecanismos de seguimiento Asistencia a tutorías Alta y acceso al aula virtual Entrega de actividades en aula virtual

6 BIBLIOGRAFÍA Bibliografía recomendada Básica Antonio Jiménez Vargas. Apuntes de Cálculo Diferencial e Integral. BOMBAL F., RODRÍGUEZ L. y VERA G.. Problemas de Análisis Matemático. Tomos 1, 2 y 3.. A.C CARMONA, J., FACENDA J. A. y FRENICHE F. J.. Ejercicios de Cálculo Diferencial de varias variables. Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Sevilla FACENDA J. A. y FRENICHE F. J.. Integración de funciones de varias variables. Pirámide MAZÓN, J.M.. Cálculo Diferencial: Teoría y problemas. McGraw-Hill Complementaria Otra Bibliografía ABIA J. A., GARCÍA J. y MARIAJUAN C.. Cálculo diferencial en IR N. Teoría y ejercicios. Publicado por los autores (1998).. Publicado por los autores BESADA M., GARCÍA F. J., MIRAS M. A. y VAZQUEZ C.. Cálculo de varias variables. Cuestiones y ejercicios resueltos.. Prentice Hall CASTILLO F.,. Análisis Matemático II. Ed. Alhambra FERNÁNDEZ J. A.. Análisis Matemático II. Topología y Cálculo Diferencial. Tecnos FERNÁNDEZ J. A. y SÁNCHEZ E.. Ejercicios y complementos de Análisis Matemático. Tomo II. Tecnos GALINDO F., SANZ J. y TRISTAN L. A.. Guía práctica de Cálculo Diferencial infinitesimal en varias variables. Thomson José Carmona Tapia. Presentación y resumen de resultados de Cálculo Diferencial e Integral. LARSON, R.E., HOSTETLER, R. P. y EDWARDS, B. H.. Cálculo y Geometría Analítica (volumen II). McGraw-Hill MARSDEN, J. E. y HOFFMAN M. J.. Análisis Clásico Elemental. Addison Wesley Iberoamericana RODRÍGUEZ, L.. Cálculo Infinitesimal II. Funciones de varias variables. Ejercicios de autocomprobación. (2 tomos). UNED RODRÍGUEZ, L. y PERÁN, J.. Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial.. UNED Bibliografía existente en el Sistema de Información de la Biblioteca de la UAL Puede ver la bibliografía existente en la actualidad en el Sistema de Gestión de Biblioteca consultando en la siguiente dirección: DIFERENCIAL E INTEGRAL DIRECCIONES WEB