Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1

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1 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 Parte I Sucesiones y Series 1. Sucesiones 1.1. Convergencia de sucesiones Trabajaremos, en general, en un espacio métrico(e, d). Una sucesión de puntos de E es una función x : N E, n x(n), donde interesa considerar sus imágenes ordenadas según los números naturales, como se indica x(1),x(2),...,x(n)... Lanotacióndelostérminos deunasucesión,asícomodeellamismaes x n =x(n) (lostérminos) y {x n } n N (lasucesión) Tambiénseconsideraráelconjuntoformadoporlostérminosdelasucesión{x n :n N} llamadocampodevariabilidad de{x n } n N No confundir la sucesión con su campo de variabilidad. La sucesión tiene infinitos términos(tantos como números naturales), mientras que su campo de variabilidad podría ser finito. Definición1 Lasucesión{x n } depuntosdee convergeal puntox E ssi para cadaε>0existen ε Ntalque n:n N ε = d(x n,x)<ε Noteque:d(x n,x)<ε x n B(x,ε).Luegolacondiciónindicaqueapartir delíndicen ε enadelante,todoslostérminosdelasucesiónestánenlabolaabierta decentroxyradioε.otambién,fueradelabolab(x,ε)sólohayunnúmerofinito de términos de la sucesión. Pararepresentarlaconvergenciadelasucesión{x n }alpuntoxseescribe lím x n=xotambiénx n x Encasoquenoexistax E satisfaciendolacondicióndeladefinición,sedice que la sucesión diverge. Queda de ejercicio probar que: a)límx n =x límx n =y = x=y(ellímite,cuandoexiste,esúnico) b) Si x es un punto de acumulación del conjunto A, entonces existe una sucesión {x n }depuntosdistintosdeatalquelímx n =x Unasucesión{x n }sediceacotada cuandosucampodevariabilidadesunconjunto acotado. Esto es, el conjunto está incluido en alguna bola abierta.

2 2 Proposición 2 Toda sucesión convergente es acotada. Dem.Sea{x n }conx n x.entoncesexisten talque n:n N d(x n,x)<1 Ahora,eligiendor=máx{1,d(x 1,x),...,d(x N 1,x)}setieneque {x n :n 1} B(x,r+1) loquemuestraquelasucesiónesacotada. Es fácil mostrar que en R la sucesiónx n = ( 1) n, n 1; es acotada yno es convergente. O sea, acotada no implica convergente. En el espacio vectorial euclídeo R k (en particular R) se tienen los conocidos teoremas sobre álgebra de límites(del cálculo). Teorema3 (EnR)Silímx n =x límy n =y,entonces a)lím(x n +y n )=x+y b)lím(c x n )=c x c)lím(x ( n y n )=x y 1 d)lím x n )= 1,siemprequex 0 x Teorema4 (EnR k )SeaX n =(x n1,x n2,...,x nk )unasucesiónenr k yx=(x 1,x 2,...,x k ) unpuntoder k.setieneentonces límx n =X j: lím x nj =x j Además,silímX n =X, límy n =Y y límc n =c,entonces lím(x n +Y n )=X+Y, lím(x n Y n )=X Y, lím(c n X n )=c X Las demostraciones de estos resultados se dejan de tarea para desarrollar en el sitio web del curso 1.2. Subsucesiones Lassubsucesionesdeunasucesión{x n } n 1 sedefinenhaciendousodeunasucesióncrecientedenúmerosnaturales{n k } k 1.Enefecto,si es una sucesión de naturales, entonces n 1 <n 2 <...<n k <... x n1,x n2,...,x nk,... esunasubsucesión delasucesión{x n } n 1 Un resultado evidente es {x n } convergeax todasubsucesión {x nk } k de {x n } n convergeax

3 3 Teorema5 TodasucesiónacotadaenR k poseeunasubsucesiónconvergente. Dem. Tarea. Teorema6 Dadaunasucesión{x n }enunespaciométricoe,elconjunto { } y E: subsucesión {x nk } con lím =y k escerradoene. Dem. Tarea 1.3. Sucesión de Cauchy Intuitivamente,cuandounasucesión{x n }convergealpuntoxenelespaciométricoe,lospuntosdelasucesiónseacercanasulímitexenlamedidaqueelíndice ncrece(d(x n,x)disminuye).podemosentenderentoncesquelostérminos,alestar cercadex,tambiéndebenestarcercaunodelotro. Esta característica de las sucesiones convergentes lleva al concepto de sucesión de Cauchy Definición7 Lasucesión{x n }depuntosdeeesunasucesióndecauchyssipara cadaε>0,existeunenteron ε talque n,m N:n N m N = d(x n,x m )<ε Queda de tarea mostrar: a) Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. b) Toda sucesión de Cauchy es acotada. c)dadaunasucesión{x n },seconsideraparacadanaturalm:b m ={x n :n m}. Se tiene entonces {x n } esdecauchy lím m d(b m)=0 donded(b m )eseldiámetrodelconjuntob m. d) Si {K n } es una sucesión decreciente de compacto en E con lím d(k n ) = 0, entonces K n estáformadoporunsolopunto. Teorema8 TodasucesióndeCauchyenR k esconvergente. Dem. Sea{x n } unasucesión decauchyenr k.segúnel ejercicioc)anterior, lím m d(b m)=0paralafamilia B m ={x n :n m}

4 4 Ahora,siseconsidera B m,laclausuradeb m, setieneunasucesióndecompactos (cerrados y acotados) que es decreciente y además lím d( B ) m = lím d(b m)=0. m m Porejerciciod),!x B m.restaprobarquelímx n =x Sea ε > 0. Existe natural N tal que m : m N = d ( B m ) < ε. Luego, d ( B N ) <ε c.q.d. p : p B N d(p,x)<ε p : p B N d(p,x)<ε n : n N = d(x n,x)<ε Definición9 Unespaciométrico(E,d)enelcualtodasucesióndeCauchyesconvergente se denomina completo. ElteoremaanteriorindicaqueelespacioR k esunespaciométricocompleto Límites superior e inferior Estosconceptossedefinenparasucesiones{x n }denúmerosreales. Previamente se precisa el comportamiento de ciertas sucesiones divergentes, que secomportandemodotalquepodemosconsiderarqueellasdivergena+ oque divergen a. Definición10 Sedicequelasucesión{x n }divergea+ (seescribex n + ) ssi dadom real,existeunnaturaln talque n:n N = x n >M Sedicequelasucesión{x n }divergea (seescribex n )ssi dadom real,existeunnaturaln talque n:n N = x n <M Elconjunto R=R {,+ }sedenominasistemaampliadodenúmerosreales. Más adelante(en otro curso) se estudiará con mayor profundidad. Por ahora lo ocuparemos sólo para precisar la siguiente idea:

5 5 Definición11 Dada una sucesión {x n } de números reales se considerará el conjunto X= { x R: {x nk } subsucesiónde {x n } talquex nk x } Se definen: Estodefinidoen R. x límsupx n =supx x límínfx n =ínfx Teorema12 Sea{x n }unasucesióndenúmerosrealesyx definidocomoarriba. Se verifica: a)x X b)six>x,entoncesexisten Ntalque n:n N x n <x c)x eselúniconúmeroquesatisfacea)yb). Dem.a)Casox =+ :elconjuntox esnoacotadoyesfácilconstruiruna subsucesión{x nk }de{x n }talquex nk +.Osea,x X Casox númeroreal:dadoε>0,existey ]x ε,x +ε[ X ( porqué?)y luegodichointervalocontieneinfinitostérminosdelasucesión{x n }.Estomuestra quex eslímitedeunasubsucesiónde{x n }yasíx X. Casox = :X={ }ynoexistelímitesubsecuencial paralasucesión. Luego, dado M R, x n > M sólo para un número finito de términos y luego x n. b)seax>x.sisesuponequex n xparainfinitostérminos,entoncesexiste y X cony x>x.contradicción. c) Queda de ejercicio. Ejercicio 1 Con respecto a los conceptos de límite superior y límite inferior, pruebe: a)paraunasucesión{x n } límx n =x límínfx n =límsupx n =x b)six n y n, n N 0,entonces límínfx n límínfy n límsupx n límsupy n Los siguientes son ejercicios donde se establecen los límites de algunas sucesiones importantes de números reales. Todas estas demostraciones deben ser entendidas.

6 Sip>0,entonces lím =0. n p Dadoε>0,bastatomarN >(1/ε) 1/p ysetiene n:n N 1 n p 0 = 1 n < 1 p N <ε p 2. Sip>0,entonces lím n p=1. Paraelcasop>1,tomamosa n = n p 1.Setieneentoncesquea n >0ypor el teorema del binomio 1+na n (1+a n ) n =p así que loquemuestraque 0<a n p 1 n líma n =0yluego lím n p=1 Para el caso p = 1 es trivial y para 0 < p < 1 se le aplica lo anterior al recíproco de p. 3. lím n Seaa n = n n 1.Setieneentoncesquea n >0yporelteoremadelbinomio luego yasí n=(1+a n ) n n(n 1) a 2 n 2 0 a n 2 n 1 (n 2) líma n =0 y lím n n α 4. Sip>0yα R,entonces lím (1+p) n =0. Seelijeunnaturalk>α.Paran>2k,setiene ( ) n (1+p) n > p k = n(n 1)...(n k+1) p k > nk p k k k! 2 k k! luego 0< n α (1+p) n < 2k k! p k nα k

7 7 yfinalmente,dadoqueα k<0 lím n α k =0 lím n α (1+p) n =0 5. Si x <1,entonces lím x n =0. Bastatomarα=0enlaparteanterior(4). 2. Series En este capítulo sólo se estudiarán series de números reales(observe que también podrían ser números complejos) Informalmente el concepto de serie nos permitirá considerar sumas de infinitos términos y en ciertas condiciones operar con ellas como si fueran sumas ordinarias con una cantidad finita de sumandos. El problema de precisar una definición de este tipo presenta ciertas dificultades como se muestra a continuación: La suma 1+( 1)+1+( 1)+1+( 1)+... puede ser interpretada al menos de dos maneras Porotrapartelasuma (1 1)+(1 1)+(1 1)+...=0 1+( 1+1)+( 1+1)+( 1+1)+...= con infinitos sumandos todos iguales a 1 no puede tener tener un valor finito. Es intuitivamente claro que cualquier número real es sobrepasado por la suma de una cantidad finita de estos términos. Para evitar estas ambiguedades es necesario definir una noción que asigne un número real(valor finito) a una suma de infinitos términos, cuando esto sea posible. Comencemos tomando los infinitos sumandos como los términos de una sucesión denúmerosrealesa 1, a 2, a 3,...,a n,...yveamosdequemaneradefinirlasuma a 1 +a 2 +a a n +...

8 Definicion de serie y convergencia Definición13 Sea{a n } n 1 unasucesióndenúmerosreales.sedefinelasucesión desumasparciales{s n } n 1 por Es decir, s 1 = a 1 s 2 = a 1 +a 2 s 3 = a 1 +a 2 +a 3... s n = a 1 +a 2 +a a n s n = Elpardesucesiones{a n },{s n }sellama seriedetérminogenerala n ysedenota n k=1 Si la sucesión de sumas parciales {s n } converge al valor S, se dice que la serie es convergente y se escribe a n =S ElnúmeroSsellamasumadelaserie.Si{s n }diverge,sedicequelaseriediverge. A continuación se ilustra, mediante unos sencillos ejemplos, el concepto de convergencia y divergencia de series Seaa n =( 1) n+1.lassumasparcialesdelaserie ( 1)n+1 son: s 1 = 1 a n a k s 2 = 1 1=0 s 3 = 1 1+1=1 s 4 = =0 Así, s 2n 1 = 1, s 2n = 0; y la sucesión {s n } es divergente. Luego la serie ( 1)n+1 esdivergente.

9 9 Seaa n = 1.Vamosaanalizarlassumasparcialesdelaserie n(n+1) a n. Eltérminogeneraldelaseriesedescomponecomoa n = 1 n 1 n+1,ylassumas parciales son: s 1 = = 1 2 s 2 = (1 1 2 )+( )=1 1 3 Luego, lím s n =1y s 3 = (1 1 2 )+( )+( )= n s n = ( 1 k 1 1 )= 1 k+1 n+1 k=1 a n =1. La serie del ejemplo anterior se denomina telescópica. Debido a la forma de las sumas parciales, se cancelan todos los sumandos salvo el primero y el último. Existen otras series que se pueden tratar de manera similar. Otra serie que puede ser estudiada directamente de la sucesión de sumas parciales eslallamadaseriegeométrica.ensuformamássimplees r n =1+r+r 2 +r r n +... El término general es a n = r n, n 0; donde r es un número real fijo y se llama razón delaserie. Parar=1,lan-ésimasumaparcialess n =n yportantolaserieesdivergente. Parar 1,lan-ésimasumaparcialtienelaforma 1+r+r 2 +r r n 1 = 1 rn 1 r de acuerdo a la fórmula deducida para la suma de n términos de una progresión 1 r geométrica.así,para r <1: líms n = lím n 1 r = 1 1 r.mientrasquepara r 1 ellímitenoexiste.porlotantolaseriegeométricaconvergesiysólosi r <1ysu suma tiene el valor r n = 1 1 r Queda de ejercicio mostrar que, en su forma más general, la serie geométrica ar n, donde a es una constante real y p 0 un entero, converge si y sólo si

10 10 r <1.Ademásparaestosvaloresder ar n = arp 1 r Veamos algunos ejemplos de series geométricas: Con razón r = 1 2 deducida da ( ) n 1 =2 2 la fórmula Para visualizar cómo las sumas parciales se aproximan del valor 2, se calculan éstas para11,21y26términosresultando ( 1 2 )n = =1, ( 1 2 )n = =1, Conrazónr= 1 π yp=6seobtienelaserie ( 1 2 )n = =1, n=6 ( ) n 1 =1, π dondeelvalordeladerechaesunaaproximacióndelvalorexactodesusuma( r6 1 r ) 2.2. Criterios de convergencia Teorema14 (CriteriodeCauchy)Sea a n unaserienumérica. ssi dadoε>0existen Ntalque m,n:m n N = m a k <ε k=n a n converge La condición de convergencia del teorema es simplemente la condición de Cauchy delasucesióndesumasparcialesdelaserie. Sienlacondicióndelteoremasetoman=m,resulta Luego se tiene dadoε>0existen Ntalque n:n N = a n <ε

11 Corolario15 a n converge líma n =0. Teorema16 Paralasseries a n y b n. a) Si existe N 0 con n N 0 : a n b n y b n converge, entonces converge b) Si existe N 0 con n N 0 : 0 a n b n y a n diverge, entonces diverge 11 a n b n Dem.Tarea:Parapartea)usecriteriodeCauchy.Parteb)sededucedea). Cuando se consideran series de términos no negativos, la sucesión de sumas parciales de la serie es una sucesión monótona creciente, luego ella es convergente si y sólo si es acotada(superiormente). Teorema17 Sea {a n } una sucesión decreciente de términos no negativos (a 1 a ).Setieneentonces: Obs.- a n converge 2 k a 2 k=a 1 +2a 2 +4a 4 +8a k a 2 k converge Dem. Consideremos la sucesión de sumas parciales de cada serie paran N:s n =a 1 +a a n parak N:t k =a 1 +2a k a 2 k siendo sucesiones crecientes, ellas convergen ssi son acotadas superiormente. Paran<2 k : s n = a 1 +(a 2 +a 3 )+(a 4 +a 5 +a 6 +a 7 )+...+(a 2 k+...+a 2 k+1 1) a 1 +2a 2 +4a a 2 k=t k lo que muestra una implicación. Paran>2 k : loquemuestralaotra. s n = a 1 +a 2 +(a 3 +a 4 )+...+(a 2 k a 2 k) 1 2 a 1+a 2 +2a k 1 a 2 k= 1 2 t k

12 1 Corolario18 Parap R: converge p>1 n p Dem.Parap 0,ladivergenciasiguedelhechoqueeltérminogeneralnotiende acero. Parap>0,seaplicaelteoremaanterior 1 n converge p donde2 1 p <1 p>1 2 k ( 1 2 kp ) = 2 k(1 p) Teorema19 (Criteriodelcuociente)Paralaserie a n a)límsup a n+1 <1 a n = laserieconverge. b)existen 0 talque n N 0 : a n+1 1= laseriediverge. a n c)silímínf a n+1 1 límsup a n+1,elcriterionodainformación. a n a n Dem.a)Seescoger conlímsup a n+1 <r<1y N a n talque n : n N = a n+1 <r Luego, = a n+1 <r a n a N+1 < r a N a n a N+2 < r a N+1 <r 2 a N... a N+n < r n a N yasílaserie a n converge,alestaracotada(desdeeltérminon+1)porunaserie geométrica convergente. b)enestecasoladivergenciasesiguedelhechoquesutérminogeneralnotiende acero. c)sepuedendardosejemplosdeseriesconlím a n+1 =1,siendounadeellas a n convergente y la otra divergente. Teorema20 (Criteriodelaraíz)Paralaserie a n,sear=límsup n a n a)r<1 = laserieconverge. b)r>1= laseriediverge. c)sir=1,elcriterionodainformación. Dem. Tarea. 12

13 Sumación parcial. Convergencia absoluta Proposición21 Dadas las sucesiones {a n }, {b n } y haciendo A n = n a k para n 0, A 1 =0,setiene: Si0 p q,entonces Dem. q 1 q a n b n = A n (b n b n+1 )+A q b q A p 1 b p q a n b n = q (A n A n 1 )b n = q A n b n q A n 1 b n = q A n b n q 1 1 A n b n+1 = q 1 A n b n q 1 A n b n+1 +A q b q A p 1 b p Teorema22 Sisetiene: a)lasucesióndesumasparcialesa n de a n esacotada, b)lasucesión{b n }esdecrecientey c) lím b n =0 entonces, a n b n converge. Dem. Se aplica criterio de Cauchy: SeaM talque n: A n <M. Seaε>0.ExistenaturalN talqueb N < ε.ahora,delaproposiciónanterior, 2M paraq p N setiene q q 1 a n b n = A n (b n b n+1 )+A q b q A p 1 b p q 1 A n (b n b n+1 ) + A q b q + A p 1 b p q 1 M (b n b n+1 )+b q +b p = 2Mb p 2Mb N <ε Observación 23 Queda de ejercicio deducir de aquí el criterio de Leibnitz para series alternadas. Definición24 Sedicequelaserie a n convergeabsolutamentessi a n converge.

14 14 En vista de la desigualdad triangular m a k k=n m a k y el criterio de Cauchy es claro que convergencia absoluta implica convergencia. Esto es, k=n Teorema25 a n converge= a n converge 2.4. Algebra de series Teorema 26 Si ca n =ca. Dem. Tarea. a n = A y b n = B, entonces (a n +b n ) = A+B y El teorema establece que dos series convergentes pueden sumarse término a términoylaserieresultanteconvergealasumadelasdosseries.paraelcasodeuna multiplicación de dos series el problema es más complicado. Dadaslaseries a n y b n sedefine n 0: c n = a 0 b n +a 1 b n a n b 0 n = a k b n k Laserie c n sellamaproductodeladosseriesdadas. Teorema27 Sisetiene: a) a n convergeabsolutamente b) a n =A, b n =B yc n = n a k b n k para,1,2,... entonces c n =A B Dem. Denotando las sumas parciales de las series consideradas A n = n a k, B n = y β n = B n B n b k, C n = n c k

15 15 se puede escribir C n = a 0 b 0 +(a 0 b 1 +a 1 b 0 )+...+(a 0 b n +a 1 b n a n b 0 ) = a 0 B n +a 1 B n a n B 0 = a 0 (B+β n )+a 1 ( B+βn 1 ) +...+an (B+β 0 ) = A n B+a 0 β n +a 1 β n a n β 0 = A n B+γ n. dondeγ n = a 0 β n +a 1 β n a n β 0 Ahora,comolímA n B=AB,bastaprobarquelímγ n =0. Porhipótesis,α= a n converge. Seaε>0.ExistenaturalN talque n:n N = β n <ε yademás γ n β 0 a n +...+β N a n N + βn+1 a n N β n a 0 β 0 a n +...+β N a n N + βn+1 an N β n a 0 β 0 a n +...+β N a n N +ε α β 0 a n + β 1 a n β N a n N +ε α Finalmente,considerandoquelaúltimasumatieneN+1términosylím a n =0, tomando lím sup a ambos lados resulta límsup γ n ε α Como el ε positivo es arbitrario se obtiene lo requerido Reordenamientos Dadaunaserie a n podemosconsiderarunabiyecciónϕ:n N, n ϕ(n)=k n,paradarorigenaunreordenamiento a kn delaserieoriginal. El problema a estudiar es cómo se comportan los distintos reordenamientos de una serie, cuando ésta converge. Quedadeejercicioverificarquelaserie ( 1) n+1 1 n = ysu 4 reordenamiento en que a dos términos positivos le sigue un negativo, convergen ambas a límites diferentes.

16 Definición28 Se dice que la serie a n converge incondicionalmente ssi todo reordenamiento de ella converge. Teorema29 Sea a n una serie no absolutamente convergente y sean α β dosnúmerosrealesextendidos.existeentoncesunreordenamiento a n consumas parcialess n talesque límínfs n=α y límsups n=β Dem.Lahipótesisindicaque a n convergey a n diverge. Sedefinen n: p n = a n +a n, q n = a n a n 2 2 Observeque,paraa n 0:p n =a n yq n =0 ;paraa n <0:p n =0 y q n = a n. Dadoque (p n +q n )= a n y (p n q n )= a n,sesiguequelasdos series pn y qn son divergentes. Sean P 1,P 2,... los términos no negativos de a n en el orden en que aparecen y Q 1,Q 2,... los valores absolutos de los términos negativos de a n también en el ordenqueaparecen.porlotantolaseries Pn y Q n sonambasdivergentes 16 (ellasdifierende p n y qn sóloentérminosnulos). Ahoraseescogensucesionesreales{α n }, {β n }talesqueα n α, β n β,α n <β n yβ 1 >0. ysedefineninductivamentelassucesiones{m n }, {k n }comoseindica: m 1,k 1 sonlosmenoresenterostalesque yluego x 1 = P P m1 >β 1 y 1 = P P m1 Q 1... Q k1 <α 1 m 2,k 2 losmenoresenterostalesque x 1 β 1 P m1 y 1 α 1 Q k1 x 2 = P P m1 Q 1... Q k1 +P m P m2 >β 2 y 2 = P P m1 Q 1... Q k1 +P m P m2 Q k Q k2 <α 2

17 17 yluego x 2 β 2 P m2 y 2 α 2 Q k2 Construimosdeestemodoelreordenamientodelaserie a n : P P m1 Q 1... Q k1 +P m P m2 Q k Q k yseverificaparalasumaparcialx n cuyoúltimotérminoesp mn ylasumaparcial y n cuyoúltimotérminoes Q kn x n β n P mn y n α n Q kn ycomop n 0yQ n 0,resultaquex n β yy n α. Habríaquehacervertambiénqueunnúmeromayorqueβ nopuedeserlímite subsecuencial de las sumas parciales de este rteordenamiento(al igual que un número menor que α). Teorema30 a n convergeincondicionalmentessi a n convergeabsolutamente. Dem. a) Suponga que a n converge absolutamente. y sea a kn un reordenamiento de la serie. Denotandos n ys n sussumasparcialesrespectivas,setiene: Dadoε>0,existenaturalN talque n,m:m n N = m Ahora,escogiendoM talque{1,...,n} {1,...,k M }resulta n:n M = s n s n <ε Estomuestraque a kn convergealmismovalorque a n. n=n a n <ε b) Si la serie converge no absolutamente, el teorema anterior muestra que existe un reordenamiento divergente. Corolario31 Si todos los reordenamientos de a n convergen, ellos convergen hacia la misma suma.