I Parcial. Nombre del (de la) estudiante:

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA APLICADA MA0001 Precálculo III CICLO 2016 I Parcial Viernes 3 de febrero del 2017 Nombre del (de la) estudiante: Carné: Esta es una prueba individual constituida por tres partes: Identificación, Respuesta Corta y Desarrollo, distribuidas en dos páginas. Todas las respuestas deben aparecer en el cuaderno de examen. Para la parte de Desarrollo deben aparecer los procedimientos y justificaciones necesarias para explicar sus respuestas en su cuaderno de examen. No utilice bolígrafo de tinta roja. Si utiliza lápiz, corrector líquido o se presentan tachones se puede ver afectado en caso de una eventual apelación. Trabaje en forma ordenada y con el mayor aseo posible. No se permite el uso de calculadoras programables, graficadoras, teléfonos celulares, tabletas, computadoras u otros dispositivos tecnológicos salvo la calculadora científica. Tiempo 3 horas Puntaje total 60 puntos I Parte. Identificación (10 puntos, 1 punto cada respuesta correcta) Utilice el esbozo de la gráfica de una función f que se presenta a continuación para que determine lo que se le solicita después. Escriba en su cuaderno de examen todas las respuestas. 1. Dominio de f: 2. Ámbito de f: 3. La imagen de 17 2 : 4. Valor máximo de f: 5. Intersección con el Eje y: 6. Un punto mínimo local: 7. Un intervalo donde la gráfica es negativa: 8. Un intervalo donde la gráfica es convexa: 9. La ecuación de una asíntota: 10. Un intervalo donde la gráfica es decreciente: 1

2 II Parte. Respuesta Corta (8 puntos, 1 punto cada respuesta correcta.) Escriba en su cuaderno de examen la expresión que completa correctamente el enunciado sobre cada función. 1. Determine el dominio máximo de cada una de las funciones con codominio R, dado su criterio. a) 2 x 2 + x x b) g(x) = x3 2x 2 + x 1 3 x 2... c) h(x) = (x 1)(3x 2) 10x 2 2x... d) d(x) = ( 4x 5 2x ) Considere la función p : R R, p(x) = 2x 3 + 3x 2 + x a) La factorzación completa, en R, del criterio de p(x) corresponde a... b) Un punto de intersección de la gráfica con el eje x corresponde a Considere la función f : R { 4} R, x + 1 x + 4 a) El punto de intersección de la gráfica con el eje x corresponde a... b) El punto de intersección de la gráfica con el eje y corresponde a... III Parte. Desarrollo (42 puntos) 1. Para la función f : R { 1, 2} R, 4x3 + 2x 5 8x + 6 x 2, exprese el criterio en la forma x 2 p(x) = C(x) + R(x) (5 puntos) D(x) 2. Determine la ecuación de la asíntota oblicua para la gráfica de la función f definida en su dominio máximo y con codominio R, con 2x4 + x 3 4x 1 x 3 (5puntos) + 2x Considere la función f definida en su dominio máximo y codominio R. Racionalice y simplifique al máximo el criterio, considerando el numerador y denominador. 3 x x + 25 (x )( (7 puntos) x 1) 4. Reescriba el criterio de la siguiente función, definida en su dominio máximo y codominio R, mediante una sola fracción. 4 10x 4 + 5x x 2 + 5x 6 1 (5x + 3) 2 (7 puntos) 5. Determine la descomposición en fracciones parciales del criterio de la función h, definida en su x + 5 dominio máximo y con codominio R, tal que h(x) = (x + 3)(2x 2 (8 puntos) + 10x 1) 6. Determine los pares ordenados que representan las intersecciones con los ejes cartesianos de h :], 0] R con h(x) = 3 x 3 x (5 puntos) 7. Considere la función t : R R, t(x) = 5cx x 2 + cx 2, con c R. a) Si (7x 1) es un factor de t(x), determine el valor de c. (3 puntos) b) Se puede asegurar que (x + 1) corresponde a un factor de t(x)? (2 puntos) 2

3 Guía de Calificación Ítem Identificación Puntos 1 D f = [ 5, 4[ ] 4, 10] 1 2 A f =], 2] {3} 1 3 f( 17 2 ) = y = (0, 6) 1 6 (6, 2) 1 7 ] 5, 7,4[ { 4} 1 8 ]5, 8[ 1 9 x = ] 5, 4[ ] 2, 0[ ]5, 6[ 1 3

4 Respuesta Corta Pregunta 1 4 Puntos 1.a 2 x 2 + x x x > 0 D f = R f NUNCA se indefine 1.b g(x) = x3 2x 2 + x 1 3 x 2 x 2 g se indefine en x = 2 D g = R {2} 1.c h(x) = 10x 2 2x 0 (x 1)(3x 2) 10x 2 2x (2x)(5x 1) 0 h se indefine en x = 0 y x = 1 5 D h = R {0, 1 5 } 1.d d(x) = ( 4x 5 2x d(x) es un polinomio D d = R ) 7 d NUNCA se indefine 4

5 Respuesta Corta Pregunta 2 2 Puntos 2.a p(x) = 2x 3 + 3x 2 + x p(x) = x(2x 2 + 3x + 1) p(x) = x(2x + 1)(x + 1) (1 Solución) 2.b p(x) = x(2x + 1)(x + 1) 2x + 1 = 0 x = 0 x + 1 = 0 p(x) = 0 x = 1 2 x = 0 x = 1 x : ( 1 2, 0) ó (0, 0) ó ( 1, 0) Respuesta Corta Pregunta 3 2 Puntos 3.a x + 1 x = f(x) 0 = x + 1 x = 1 (1, 0) x 3.b x + 1 x + 4 f(0) = (0) + 1 (0) + 4 y f(0) = 1 4 ( 0, 1 ) 4 5

6 Desarrollo Pregunta 1 5 Puntos 4x3 + 2x 5 8x + 6 x 2 x 2 2x 5 + 0x 4 4x 3 + 0x 2 8x + 6 x 2 x 2 (2x 5 2x 4 4x 3 + 0x 2 + 0x + 0) 2x 3 + 2x 2 + 2x + 6 0x 5 + 2x 4 + 0x 3 + 0x 2 8x + 6 (0x 5 + 2x 4 2x 3 4x 2 + 0x + 0) 0x 5 + 0x 4 + 2x 3 + 4x 2 8x + 6 (0x 5 + 0x 4 + 2x 3 2x 2 4x + 0) (4) División 0x 5 + 0x 4 + 0x 3 + 6x 2 4x + 6 (0x 5 + 0x 4 + 0x 3 + 6x 2 6x 12) 0x 5 + 0x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 2x + 18 (2x 3 + 2x 2 + 2x + 6) + 2x + 18 x 2 x 2 Desarrollo Pregunta 2 5 Puntos 2x4 + x 3 4x 1 x 3 + 2x + 1 La diferencia entre el grado del numerador y denominador es de una unidad. Debe realizar división. (1) Reconocer procedimiento 2x 4 + x 3 + 0x 2 4x 1 x 3 + 0x 2 + 2x + 1 (2x 4 + 0x 3 + 4x 2 + 2x + 0) 2x + 1 0x 4 + x 3 4x 2 6x 1 (0x 4 + x 3 + 0x 2 + 2x + 1) (3) División 4x 2 8x 2 Asíntota Oblicua: y = 2x + 1 6

7 Desarrollo Pregunta 3 7 Puntos 1. Numerador: 3 x x + 25 (x )( x 1) ( 3 x x + 25) (x )( x 1) ( 3 x + 5) ( 3 x + 5) (( 3 x) ) (x )( x 1)( 3 x + 5) (x + 125) (x )( x 1)( 3 x + 5) 2. Denominador: (x + 125) (x )( 3 x + 5)( x 1) ( x + 1) ( x + 1) (x + 125)( x + 1) (x )( 3 x + 5)[( x) 2 (1) 2 ] (x + 125)( x + 1) (x )( 3 x + 5)(x 1) (1) F.N. (1) Multiplicar (1) Simplificar (1) F.N. (1) Multiplicar (1) Simplificar 3. (x + 125)( x + 1) (x )( 3 x + 5)(x 1) 7

8 Desarrollo Pregunta 4 7 Puntos 4 10x 4 + 5x x 2 + 5x 6 1 (5x + 3) 2 1. Factorizar: 4 2(5x 2) + 5x + 3 (5x + 3)(5x 2) 1 (5x + 3)(5x + 3) 2. Completar Denominadores: 4(5x + 3) 2 2(5x 2)(5x + 3) 2 + 2(5x + 3)(5x + 3) 2(5x + 3)(5x 2)(5x + 3) 1(2)(5x 2) 2(5x + 3) 2 (5x 2) 3. Sumar/Restar: (1) Factores. (1) Completar. 4(5x + 3)2 + 2(5x + 3) 2 (2)(5x 2) 2(5x 2)(5x + 3) 2 (1) Sumar/Restar. 4. Simplificar: 4(25x2 + 30x + 9) + 2(25x x + 9) (10x 4) 2(5x 2)(5x + 3) 2 2(25x2 + 30x + 9) (10x 4) 2(5x 2)(5x + 3) 2 50x2 60x 18 10x + 4 2(5x 2)(5x + 3) 2 50x2 70x 14 2(5x 2)(5x + 3) 2 (3) Simplificar. 2(25x2 + 35x + 7) 2(5x 2)(5x + 3) 2 3. (25x2 + 35x + 7) (5x 2)(5x + 3) 2 8

9 h(x) = 1. Separar Factores: h(x) = Desarrollo Pregunta 5 8 Puntos x + 5 (x + 3)(2x x 1) x + 5 (x + 3)(2x x 1) = A (x + 3) + Bx + C (2x x 1) 2. Completar Denominadores: h(x) = x+5 (x+3)(2x 2 +10x 1) = 3. Sumar/Restar: A(2x2 +10x 1) (x+3)(2x 2 +10x 1) + x+5 h(x) = (x+3)(2x 2 +10x 1) = A(2x2 +10x 1)+(Bx+C)(x+3) (x+3)(2x 2 +10x 1) 4. Probar Valores x + 5 = A(2x x 1) + (Bx + C)(x + 3) (1) Factores. (Bx+C)(x+3) (2x 2 +10x 1)(x+3) (1) Completar. (1) Sumar/Restar. (1) Utilizar solo numeradores. x = 3 = ( 3) + 5 = A[2( 3) ( 3) 1] = A = 2 (1) Simplificar x = 0 y A = 2 = (0) + 5 = 2 [2(0)2 + 10(0) 1] + [B(0) + C](0 + 3) = C = 21 (1) Simplificar x = 1, A = 2 y C = 21 = (1) + 5 = 2 [2(1)2 + 10(1) 1] + [B(1) + 21 ](1 + 3) = B = 4 (1) Simplificar 3. h(x) = 2 4 x + 5 (x + 3)(2x x 1) = (x + 3) + x + 21 (2x x 1) 9

10 Desarrollo Pregunta 6 5 Puntos 7.a h :], 0] R con h(x) = 3 x 3 x h(0) = 3 (0) 3 0 h(0) = 0 y : (0, 0) (1) y 7.b h :], 0] R con h(x) = 3 x 3 x 3 x 3 x = 0 (x 3 x) = 0 3 x(x 1)(x + 1) = 0 x : (0, 0) y ( 1, 0) [No utilizar: (1, 0)] (1) x (1) Factorizar (1) Descartar solución según dominio. Desarrollo Pregunta 7 5 Puntos 7.a t(x) = 5cx x 2 + cx 2 ( ) 1 3 ( ) 1 2 ( ) 1 0 = 5c c c c 7 2 = 0 54c 343 = c = 7 (1) Definición de Factor (1) Despejar 7.b t(x) = 35x x 2 + 7x 2 t( 1) = 35 ( 1) ( 1) ( 1) 2 t( 1) = t( 1) = 0 (1) Verificar (1) Definición de Factor 10