FUNCIONES I UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ESCUELA DE MATEMÁTICA DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA MA 0001 PRECÁLCULO

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ESCUELA DE MATEMÁTICA DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA MA 0001 PRECÁLCULO FUNCIONES I Daniel Mena González Kattia Rodríguez Ramírez

2 Índice general 1. Análisis de gráficas 1 2. Función Polinomial Raíces y factores de funciones de grado mayor o igual a tres Acercamiento al Cálculo Función Racional Fracciones algebraicas racionales División de polinomios y fracciones parciales Acercamiento al Cálculo Función Radical Racionalización Acercamiento al Cálculo I

3 Capítulo 1 Análisis de gráficas En este capítulo interesa realizar el estudio de la gráfica de una función real a partir de su representación en el sistema de coordenadas cartesianas, a partir de la lectura y análisis de la gráfica, en cuanto al dominio, ámbito, imagen, preimagen, coordenadas de intersección con los dos ejes, ecuación de la asíntota vertical, horizontal u oblicua, intervalos donde la función es constante, estrictamente creciente y estrictamente decreciente, puntos máximos, puntos mínimos, intervalos donde la función es convexa (concavidad hacia arriba) o cóncava (concavidad hacia abajo), puntos de inflexión, signo de la función (mayor o menor que cero, mayor o menor que un número dado). A continuación se enuncian algunas definiciones básicas, además en el esquema de la figura 1 se presentan algunos contenidos prácticos respecto al tema que ayudan a realizar el estudio de la gráfica de una función real. Definición 1 Dada una función real f : D f R si ]x 1, x 2 [ D f tal que a, b ]x 1, x 2 [ donde a < b si: f(a) < f(b) se dice que f es una función estrictamente creciente en ]x 1, x 2 [ f(a) > f(b) se dice que f es una función estrictamente decreciente en ]x 1, x 2 [ Definición 2 Dada una función real f : D f R si ]a, b[ D f tal que x ]a, b[ si: f(x) > 0 se dice que f es una función positiva en ]a, b[ f(x) < 0 se dice que f es una función negativa en ]a, b[ 1

4 2 Funciones reales Figura 1. Estudio de la gráfica de una función (Elaborado por uno de los autores)

5 Funciones reales 3 Ejemplo 1. Considere el trazo de la gráfica de la función real f y determine el dominio, puntos de intersección con los ejes, ámbito, una preimagen de 1, el conjunto donde f es estrictamente creciente y constante, el máximo de f, un punto máximo y mínimo local, un intervalo donde f es cóncava, el punto de inflexión y la ecuación de la asíntota vertical. f : D f R Solución Para dar respuesta a los distintos ítemes consultados, se considera la teoría expuesta anteriormente. ] a. Dominio:, 7 [ [ 3, + [ 2 b. x : ( 3, 0), ( 1, 0), (1, 0) c. y : (0, 1) d. Ámbito: ], 1] {2} e. Una preimagen de 1: 2 f. Conjunto f estrictamente creciente: ] 2, 0[ g. Conjunto donde f es constante: ]2, + [ h. El valor máximo de f es: 2 i. Un punto máximo local es: (0, 1) j. Un punto mínimo local es: ( 2, 1) k. Un intervalo donde f es cóncava: ] 1, 2[ l. El punto de inflexión es: ( 1, 0) m. Ecuación de la asíntota vertical: x = 7 2

6 4 Funciones reales Cabe destacar que cuando se pregunta por conjunto se refiere al mayor intervalo real que cumple la condición dado. Ejemplo 2. Considere el trazo de la gráfica de la función real h y determine el dominio, puntos de intersección con los ejes, ámbito, signo de una imagen, el conjunto donde f es estrictamente decreciente, punto mínimo local, un intervalo donde f es convexa, y la ecuación de la asíntota oblicua. h : D h R Solución Para dar respuesta a los distintos ítemes consultados, se considera la teoría expuesta anteriormente. a. Dominio: R {1} b. x : ( 1, 0) c. y : (0, 2) d. Ámbito: R e. Signo de la imagen de 123: negativo f. Conjunto f estrictamente decreciente: ]1, 2. 8[ g. Un punto mínimo local es: (2. 8, 4. 97) h. Un intervalo donde f es convexa: ], 1[ i. Ecuación de la asíntota oblicua si la pendiente es 1: y = x + 1

7 Funciones reales 5 Ejercicios 1. I. De acuerdo con la información de cada gráfica responda, en los espacios delineados, lo solicitado. 1. f : D f R 2. h : D h R Dominio: Dominio: x : x : y : y : Ámbito: Ámbito: Una preimagen de 1: Imagen de 4: Conjunto f estrictamente decreciente: Conjunto h estrictamente creciente: Conjunto solución f(x) > 0 : Conjunto solución h(x) > 2: Intervalo donde f es cóncava: Ecuación asíntota vertical: Intervalo donde h es convexa: Ecuación asíntota horizontal: Conjeture: Hacia donde tienden los valores de f(x) cuando x se aproxima a 2 por la izquierda o derecha? El comportamiento de los valores de f(x) cuando x se aproxima a 3 por la izquierda o derecha. Si la función f es continua en el intervalo [ 5, 2] y en el [ 7, 5]?

8 6 Funciones reales 3. p : D p R 4. m : D m R Dominio: Dominio: x : x : y : y : Ámbito: Ámbito: Imagen de 4: Una preimagen de 3: Un intervalo donde p es decreciente: Un intervalo donde m es creciente: Conjunto solución p(x) < 0 : Conjunto solución m(x) > 0: Intervalo donde p es convexa: Intervalo donde m es convexa: Ecuación asíntota vertical: Ecuación asíntota oblicua si la pendiente es 1: Ecuación asíntota horizontal: Valor numérico de p( 2) p(4): Conjeture: Hacia donde tienden los valores de p(x) cuando x se aproxima a 3 por la izquierda o derecha? Ecuación asíntota vertical: Valor numérico de 3m(10): Conjeture: Qué sucede a los valores de m(x) cuando x se aproxima a 6 por la izquierda o derecha?

9 Funciones reales 7 Cabe destacar que el signo de una función se puede responder a partir del trazo de la gráfica como se trabajó en los ejemplos anteriores, pero también a partir del criterio de la función lo cual se explica en la siguiente sección. Ejercicios Complementarios Determinar a partir de la gráfica de la función f: i. Dominio ii. Ámbito iii. Intersecciones con los ejes iv. Intervalos de monotonía. Puntos máximos y mínimos (locales, absolutos) v. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexión. vi. Ecuaciones de las asíntotas (si corresponde) viii. Signo de la función (f(x) < 0, f(x) > 0) b. a.

10 8 Funciones reales c. d.

11 Funciones reales 9 e. f. g.

12 10 Funciones reales

13 Capítulo 2 Función Polinomial Muchos fenómenos que se presentan a su alrededor están modelados por algunas funciones reales, este capítulo se dedicará a una de ellas la función polinomial; donde, se mencionan algunos contenidos algebraicos necesarios para trabajar con este tipo de función como técnicas de factorización, teorema del factor, del residuo y división sintética. Una función polinomial se define como f : R R, f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ; donde a n,..., a 0 R, a n 0 y los exponentes de la variable x son números naturales Las funciones polinomiales se pueden clasificar según el grado de la variable, por ejemplo: Función constante f : R R, f(x) = a 0 Función lineal f : R R, f(x) = a 1 x + a 0, con a 1 0 Función cuadrática f : R R, f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0, con a 2 0 Función cúbica f : R R, f(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, con a 3 0 Si el criterio de la función es de grado mayor o igual que cuatro las funciones se pueden nombrar como función de cuarto orden y así sucesivamente. Aparte de conocer el nombre de las funciones es importante conocer el trazo de la gráfica para algunas funciones básicas, las coordenadas de intersección con los ejes, así como el ámbito. Ejemplo 3. A continuación se muestran las gráficas de ciertas funciones polinomiales, observe su trazo y responda la información solicitada en cada caso. 11

14 12 Funciones reales 1. g : R R, g(x) = x 2. h : R R, h(x) = x 2 x : x : y : y : Ámbito: Ámbito: 3. k : R R, k(x) = x 3 4. m : R R, m(x) = x 4 x : x : y : y : Ámbito: Ámbito: Cuando al criterio de las funciones básicas se le aplican algunas transformaciones las coordenadas de intersección con los ejes cambian, y se necesitan de algunos procedimientos algebraicos para poder determinar éstas si no se cuenta con el trazo de la gráfica.

15 Funciones reales 13 Ejemplo 4. A continuación se muestran algunos ejemplos de funciones reales con sus respectivas gráficas, observe su trazo y responda la información solicitada en cada caso. 1. f : R R, f(x) = 3 2 x 5 2. h : R R, h(x) = x2 + 3 x : x : y : y : 3. g : R R, g(x) = x p : R R, p(x) = x x : x : y : y :

16 14 Funciones reales Ahora bien, si en un ejercicio se da el criterio de la función pero no su representación gráfica, conviene conjeturar acerca del contenido matemático que puede utilizar para determinar las coordenadas de intersección con los ejes: a. Eje x b. Eje y Por ejemplo, para determinar las coordenadas de intersección de la gráfica del item 2, 3 y 4 del ejemplo 2 con los ejes coordenados puede utilizar alguna de las técnicas de factorización para escribir el criterio de la función de forma factorizada, de ahí que es importante estudiar algunas de esas técnicas (ver figura 1). Figura 1. Técnicas de factorización 1 1 Elaborado por uno de los autores

17 Funciones reales 15 Ejemplo 5. Considere las funciones dadas, factorice el criterio y determine los puntos de intersección con el eje x. a. h : R R, h(x) = x b. g : R R, g(x) = x 3 1 c. p : R R, p(x) = x Solución Como el criterio de la función h y g están formados por polinomios que constan de dos términos se aplica la técnica de diferencia de cuadrados y diferencia de cubos, de acuerdo con la información de la figura 1. a. h : R R, h(x) = x Al determinar la raíz cuadrada de cada uno de los términos del binomio el criterio de la función h se reescribe como: h(x) = 3 x 2 h(x) = ( 3 x ) ( 3 + x ) Ahora, se iguala el criterio a 0 y se resuelve la ecuación para determinar los puntos de intersección eje x. 0 = ( 3 x)( 3 + x) 0 = 3 x o 0 = 3 + x Aplique el teorema: a b = 0 a = 0, b = 0 x = ± 3 x : ( 3, 0 ), ( 3, 0 ) b. g : R R, g(x) = x 3 1 Al determinar la raíz cúbica de cada uno de los términos del binomio el criterio de la función g se reescribe como: g(x) = x 3 1

18 16 Funciones reales g(x) = (x 1) (x 2 + x + 1) Ahora, se iguala el criterio a 0 y se resuelve la ecuación para determinar los puntos de intersección eje x. 0 = (x 1) (x 2 + x + 1) Aplique diferencia de cubos 0 = x 1 o 0 = x 2 + x + 1 Aplique el teorema: a b = 0 a = 0, b = 0 x = 1, dado que el trinomio x 2 + x + 1 tiene < 0 y no tiene ceros reales. x : (1, 0) Es importante aclarar aquí que para estas dos funciones la calculadora cuenta con el módulo de resolución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. A continuación se muestra la ruta a seguir: Tecla MODE Tecla 5 (EQN) Tecla 3 (ax 2 + bx + c = 0) o Tecla 4 (ax 3 + bx 2 + cx + d = 0) Se introduce cada coeficiente numérico seguido de la tecla = Se oprimie la tecla = y se muestran las raíces o soluciones c. p : R R, p(x) = x El criterio de la función p corresponde a una suma de binomios de grado 4 y al observar su gráfica se concluye que sólo interseca al eje y, lo cual podría interpretarse como que el polinomio no se factoriza; sin embargo, resulta esto no puede generalizarse puesto que, la técnica de completar el cuadrado (que se analizará en la segunda parte del curso) permite obtener su factorización con dos factores cuadráticos irreducibles. Lo anterior se refiere a que p(x) = ( x x + 1 ) ( x 2 2 x + 1 ) Ejercicios 2. I. Reescriba los criterios de las funciones dadas con dominio y codominio R de forma factorizada y escriba los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes coordenados, si existen. a. f(x) = x 2 5 b. g(x) = x 5 + x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 2 c. h(x) = 3x 2 + 5x 2

19 Funciones reales 17 d. p(x) = x 4 9 Hasta el momento las funciones que se han trabajado tienen por criterio un polinomio de grado uno, dos o cuatro; a continuación se presentan algunos polinomios de grado mayor o igual que tres para determinar los puntos de intersección de la gráfica de una función con el eje x, para ello se requiere aplicar otros contenidos los cuales se explican en el siguiente apartado Raíces y factores de funciones de grado mayor o igual a tres Para determinar las coordenadas de intersección con el eje x de la gráfica de una función cuyo criterio es un polinomio de grado mayor o igual a tres puede aplicar la técnica de factorización usando división sintética, pero antes es necesario hacer referencia a dos teoremas. Teorema del residuo: Teorema Si un polinomio P (x) se divide por un binomio de la forma x b, con b R el residuo de la división es P (b) Ejemplo 6. Si el criterio de la función f : R R, (x 3) determine el residuo de esta división. f(x) = 2x 3 7x 6 se divide por el binomio Solución Si se aplica el teorema anterior el residuo se obtiene al evaluar la función en x = 3, es decir determinar f(3), así que f(3) = 2 (3) f(3) = 27 Teorema del factor: Teorema Un polinomio P (x) tiene un factor de la forma x b, con b R sí y sólo si P (b) = 0

20 18 Funciones reales Ejemplo 7. Para la función p : R R, p(y) = 2y 3 5y 2 y + 6 determine si las expresiones y + 2, y + 1 son factores del criterio de la función p. Solución Si se aplica el teorema del factor, al evaluar p( 2) y p( 1) se debe obtener 0, es decir, se busca verificar que p(y) p(y) y que tengan como residuo cero, así que y + 2 y + 1 p( 2) = 2 ( 2) 3 5 ( 2) 2 ( 2) + 6 p( 2) = 28 Como p( 2) 0 y + 2 no es un factor de p(y) p( 1) = 2 ( 1) 3 5 ( 1) 2 ( 1) + 6 p( 1) = 0 Como p( 1) = 0 y + 1 si es un factor de p(y) Ejemplo 8. Para la función f : R R, f(x) = 2x 3 x 2 13x 6 determine si x = 1 2 de f(x). es una raíz Solución Al aplicar los teoremas anteriores se debe evaluar f x = 1 2 es una raíz de la f(x): ( ) 1 f = 2 2 ( ) 1 f = 0 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) y si el residuo es cero esto significa que x = 1 es una raíz o cero de la función, además se puede afirmar que el par ordenado ( ) 2 1 2, 0 es una intersección de la gráfica de la función con el eje x. Por otro lado, se tiene que x + 1 es un factor del criterio. 2

21 Funciones reales 19 Ejemplo 9. Para la función g : R R, g(y) = y 3 4y 2 + ky k + 6 con k R una constante si se sabe que y + 2 es un factor de g(y) determine el valor de la constante k y el criterio de la función g. Solución Como y + 2 es un factor de g(y) al aplica el teorema del factor esto significa que g( 2) = 0: g( 2) = ( 2) 3 4 ( 2) 2 + ( 2) k k = 18 3k 18 = 3k 6 = k Luego, al sustituir el valor de k = 6 en el criterio de la función se obtiene g(y) = y 3 4y 2 6y+12 Ahora bien, conociendo los dos teoremas ( del residuo y del factor), hace falta enunciar el procedimiento de la división sintética para factorizar o para determinar las raíces del criterio de una función. El procedimiento de la división sintética se fundamenta en que si b es una raíz o un cero de un polinomio en una variable entonces (x b) es una factor del polinomio y por ende un factor de la factorización completa del criterio de la función. La división sintética es un método abreviado en donde se trabaja con los coeficientes numéricos del polinomio y se utilizan las operaciones aritméticas de multiplicación y suma. Para determinar el valor de b que hace cero a una función polinomial f : R R, f(x) = a n x n +a n 1 x n a 2 x 2 +a ( 1 x+a 0 ; con a n,..., a 0 Z, a n 0 donde el grado de n 1 hay c que determinar los cocientes entre los divisores del término constante (a 0 ) del polinomio con d) los divisores del coeficiente del término de mayor exponente (a n ), llamado coeficiente principal. A este resultado se le conoce como teorema de las raíces racionales. Para realizar este procedimiento el criterio de la función debe estar ordenado en forma descendente. Ejemplo 10. Para la función g : R R, g(x) = 2x 3 x 2 13x 6 determine los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados, si existen. Solución Para determinar el par ordenado de intersección con el eje y basta con determinar la imagen de 0, dado que es un elemento del dominio de la función:

22 20 Funciones reales g(0) = 2 (0) 3 (0) g(0) = 6 y : (0, 6) Para determinar el par ordenado de intersección de la gráfica de la función con el eje x se utiliza la división sintética, teorema del residuo y del factor, para ello hay que determinar todos los divisores del coeficiente de grado cero (término constante) y los divisores del coeficiente principal en el criterio de la función g(x) = 2x 3 x 2 13x 6. Los divisores de 6 son {±1, ±2, ±3, ±6} Los divisores de 2 son {±1, ±2} Las posibles raíces o ceros racionales son { ±1, ±2, ±3, ±6, ± 1 } 2, ±3 2 Cabe indicar{ que las posibles raíces racionales enteras son {±1, ±2, ±3, ±6} y las racionales no enteras son ± 1 } 2, ±3 2 Realice la división sintética con cada una de las posibles raíces racionales, aquella donde el residuo de la división sea cero significa que ya tiene un cero de la función Note que x = 1 no es un cero de la función porque el residuo es 18 y no 0 Esto implica que debe continuar probando hasta determinar los ceros de la función, si es que los hay Note que x = 2 es un cero de la función g porque el residuo es 0 Busque si la función tiene otros ceros, para ello puede continuar con división sintética o bien analizar el de la expresión 2x 2 5x 3 que es el polinomio resultante después de realizar la primera división donde el residuo es cero x = 3 es otro cero de la función g porque el residuo es 0 Luego, se obtiene la expresión 2x + 1 y el valor que la hace cero es x = 1 2 ( ) 1 x son ( 2, 0), (3, 0) y 2, 0

23 Funciones reales 21 Ejemplo 11. Para la función p : R R, p(x) = x 4 +7x 3 +17x 2 +17x+6 determine la factorización completa del criterio y las coordenadas de intersección de la gráfica con el eje x. Solución Para determinar la factorización del criterio de la función se utiliza división sintética, el teorema del residuo y del factor, por eso hay que determinar todos los divisores del coeficiente de grado cero (6) y los divisores del coeficiente principal (1) para la función. Los divisores de 6 son {±1, ±2, ±3, ±6} Los divisores de 1 son {±1} Las posibles raíces o ceros racionales son {±1, ±2, ±3, ±6} Realice la división sintética con cada una de las posibles raíces racionales, aquella donde el residuo de la división sea cero significa que ya tiene un cero de la función x = 1 es un cero de p porque el residuo es 0 y x + 1 es un factor Continúe probando hasta determinar otros ceros de la función, si es que los hay x = 2 es otro cero de la función porque el residuo es 0 y el factor es x + 2 Busque si la función tiene otros ceros, para ello puede seguir haciendo uso de división sintética o puede analizar el de la expresiónx 2 + 4x + 3 que es el polinomio resultante después de realizar la segunda división donde el residuo es cero. Observe los factores de p(x) p(x) = x 4 + 7x x x + 6 p(x) = (x + 1)(x + 2)(x 2 + 4x + 3) p(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 1)(x + 3) como el > 0 puede usar inspección para factorizar el trinomio cuadrático Luego, la factorización completa para el criterio de la función es p(x) = (x + 1) 2 (x + 2)(x + 3)

24 22 Funciones reales Para determinar las coordenadas de intersección de la gráfica de la función con el eje x, basta con determinar las preimagenes de 0, así se tiene que 0 = (x + 1) 2 (x + 2)(x + 3) 0 = x = x = x + 3 Aplique el teorema: a b = 0 a = 0, b = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x son ( 3, 0), ( 2, 0) y ( 1, 0) Ejercicios 3. I. Considere las funciones dadas en su máximo dominio y codominio R reescriba los criterios de las funciones en forma factorizada, y determine los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje x. a. f(x) = x 2 (x + 2) 5(x + 2) b. g(x) = 4x 3 4x 3 x + 1 c. h(x) = 3x 4 4x 3 2x 2 5x + 2 d. p(x) = (x 3 + 8) 4(x + 2) II. Considere las funciones con dominio y codominio R, determine si la expresión dada es un factor de la función. a. f(x) = x 3 + 5x 2 + 6x + 8, (x 4) b. g(x) = 2x 4 x 3 + x 2 2x 6, (2x 3) III. Para la función p : R R, p(m) = 2m km2 3km + 9 con k R una constante, si se sabe que m = 3 es una raíz de p(m) determine el valor de la constante k y el criterio de la función p. IV. Para la función r : R R, r(x) = x 4 7x compruebe si x = 3 es un cero de la función, y determine los puntos de intersección de la gráfica de la función p con los ejes coordenados, si existen.

25 Funciones reales 23 Ejercicios Complementarios Factorice completamente el criterio de las funciones dadas con dominio R. a. f(x) = x 4 + 2x 3 x 2 b. P (x) = 14x x 3 c. g(x) = 4x 3 3x + 1 d. h(x) = 6x x e. j(t) = (t 3 125) (t 5) 3 5t 3 (t 5) f. m(x) = 9x 4 63x x 5 + 4x x g. Q(x) = x 2 (x 5) + 4(x 2 5) h. M(t) = (t + 1) 3 + (t 3) 3 Factorización con sustitución Considere el criterio de la función k(x) = x x Note que no es una función polinomial pero si se realiza una sustitución el criterio puede tomar la apariencia de una polinomial. Observe que x 4 3 = x y usando la propiedad de potencias y mn = (y m ) n = (y n ) m entonces se ( ) 2. tiene a conveniencia x 4 3 = x 2 3 Al reescribir el criterio se obtiene k(x) = ( ) 2 x x se evidencia que la expresión x 2 3 es t = x 2 3. está repetida en dos términos, por ello la sustitución que se hace

26 24 Funciones reales Con lo anterior se obtiene una nueva función con criterio Cuál es la factorización de este nuevo criterio? q(t) = t 2 13t + 36 Por lo tanto, el criterio de la función k se puede expresar como k(x) = ( )( ) 2. Factorice el criterio de la función definida por s(x) = 3(x + 4) 2 + (x + 4) 2 haciendo una sustitución. Puede resolverse el ejercicio de otra forma? 4. Determine el criterio de una función polinomial f que satisfaga las condiciones dadas. Utilice el teorema del factor. a. Grado 4; coeficiente de x 4 es 1; ceros 2, ±1, 4 b. Grado 3; ceros 4, 3, 0; f( 2) = Si el criterio de la función T está dado por T (x) = x 3 8x + m y tiene como factor al polinomio x + 3, determine el valor de m. 6. Determine el o los valores de k R para que el residuo de la división entre f(x) = 3x 2 4kx + 1 y d(x) = x + 3 sea 20. Las funciones f y d se consideran definidas en su dominio máximo y codominio R 7. Si f(x) = x 2 3x 1 se divide por d(x) = x c, c R, se tiene que el residuo es 3. Determine el o los valores de c 8. Considere la función P definida por P (y) = y 4 (3 + k)y 3 + (2 + 3k)y 2 2ky, con k R una constante. a. Verifique que 0 y k son ceros de P (y). b. Determine la factorización completa de P (y) c. Determine los otros ceros de P (y) 9. Determine los puntos de intersección con los ejes de las gráficas de las siguientes funciones dado su criterio y con dominio R a. P (x) = 8 x 3 b. F (t) = 5t 4 7t 2 + 2

27 Funciones reales 25 c. T (x) = x 4 12x x 2 64x d. G(t) = 1 4 (t 2)2 (t + 2) 2 e. R(x) = x 4 9x 2 f. S(t) = 1 t Acercamiento al Cálculo En el curso de Cálculo para determinar el límite al infinito de criterios de funciones formadas por el cociente de funciones polinomiales se utiliza la técnica de obtener un factor del criterio de la función polinomial que no es común a todos los términos del mismo. De hecho, el factor es la potencia mayor de la variable del polinomio. A continuación se muestra cómo proceder con el criterio de la función q(x) = x 3 + x 2 3x + 1: 1. El factor que se desea obtener es x 3 2. El otro factor se obtiene dividiendo cada término con el factor x 3 ( x 3 3. Se tiene que q(x) = x 3 + x2 x 3 x 3x 3 x + 1 ) 3 x 3 4. Como paso final se simplifica y el criterio toma la apariencia q(x) = x 3 ( x 3 x x 3 ) Ejemplo 12. Calcular el límite dado por x 3 + x 2 3x + 1 lím x x Solución Para calcular el límite se utiliza lo explicado en este apartado. x 3 + x 2 3x + 1 lím x x ( x x 3 x + 1 ) = lím 2 x ( 3 x x ) x 2 x ( 1 + 1x 3x + 1x ) = lím 2 3 x x 2 = +

28 26 Funciones reales Nota: una expresión como 1 lím es igual a cero cuando x tiende a ±. x x Ejercicios 4. Escriba el criterio de cada función como producto de dos factores tal y como se realizó en el ejemplo anterior. a. M(x) = 6x 2 12x x3 b. N(x) = 3x 2 + 4x + 5 c. Q(x) = 2x 4 3x 2 + 1

29 Capítulo 3 Función Racional Este capítulo se dedicará al estudio de algunas características de la función racional en cuanto a su gráfica, dominio, asíntotas, intersecciones con los ejes; además, se mencionan algunos contenidos algebraicos necesarios para trabajar con este tipo de función como simplificación, suma y resta de fracciones algebraicas racionales, división de polinomios, y fracciones parciales. Una función racional se define como f : R {x R/ Q(x) = 0 } R, polinomios f(x) = P (x) Q(x) donde P (x), Q(x) son Es importante notar que el máximo dominio de una función racional está formado por el conjunto de los números reales menos los valores que hacen cero al denominador; es decir, hay que determinar las restricciones al resolver una ecuación que depende del grado del polinomio del denominador. Ejemplo 1. Para las siguientes funciones dadas determine el máximo dominio de cada una de ellas. a. h : D h R, h(x) = 2 x 3 b. g : D g R, g(x) = c. p : D p R, p(x) = Solución 1 4x x 3 1 Hay que buscar las restricciones para cada una de la funciones. 27

30 28 Funciones reales a. Para la función h hay que resolver x 3 = 0 x = 3 D h = R {3} b. Para la función g hay que resolver 4x 2 25 = 0 x 2 = 25 2 x = ± 5 2 D g = R { 5 2, 5 } 2 c. Para la función p hay que resolver x 3 1 = 0 x 3 = 1 x = 1 D p = R {1} Es importante conocer el trazo de la gráfica para la función estándar racional, y las coordenadas de intersección con los ejes, así como el ámbito de la función. Ejemplo 2. A continuación se muestra la gráfica de una función racional, observe su trazo y responda la información solicitada en cada caso. Justifique sus respuestas. f : D f R, f(x) = 1 x Dominio : x : y : Ámbito:

31 Funciones reales 29 Como pudo observar en el ejemplo 2, el trazo de la gráfica de esta función racional no interseca a los ejes. Justifique este resultado. Para determinar las coordenadas de intersección de la gráfica de la función con el eje x, hay que resolver la ecuación: Ejemplo 3. 0 = P (x) Q(x) P (x) = 0, con Q(x) 0 Determine los puntos de intersección de la gráfica de la función g : R {3} R, g(x) = x3 2x x 3 con los ejes coordenados si existen. Solución a. x : (x, 0), para la función g hay que resolver 0 = x3 2x x 3 0 = x 3 2x, con x = x ( x 2 ) ( x + 2 ) Aplique: factor común y diferencia de cuadrados 0 = x 0 = x 2 0 = x + 2 Aplique el teorema: a b = 0 a = 0, b = 0 x = 0 x = 2 x = 2 x son ( 2, 0 ), (0, 0), ( 2, 0 ) b. y : (0, y) Note que ya la obtuvo anteriormente pues (0, 0) es también intersección con eje y Además, la gráfica de una función racional puede presentar asíntotas verticales, horizontales u oblicuas (algunas veces llamada inclinada). La gráfica de la función del ejemplo 2, g : R {0} R, g(x) = 1 tiene asíntota vertical y x horizontal, cuyas ecuaciones están dadas por: x = 0 (valor que hace cero al denominador del criterio de la función) y y = 0 (dado que no existe la imagen de 0). Para determinar si una recta de la forma x = c es una asíntota vertical de la gráfica de la función racional determine si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

32 30 Funciones reales Definición 3 las imágenes de la función tienden a ± (toman valores infinitamente pequeños o grandes) cuando el valor de x tiende a c + (se lee c por la derecha) y esto es que x toma valores cercanos a c pero mayores, o a c (se lee c por la izquierda), es decir, que x toma valores cercanos a c pero menores. Una recta de la forma y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función racional cuando: Definición 4 las imágenes de la función tienden a b cuando el valor de x tiende a ± Una recta de la forma y = mx + b es una asíntota oblicua de la gráfica de la función racional si: Definición 5 las imágenes de la función tienden o se aproximan a las imágenes de la recta y = mx+b cuando el valor de x tiende a ± Ejemplo 4. A continuación se muestran las gráficas de ciertas funciones racionales, observe su trazo y responda la información solicitada en cada caso.

33 Funciones reales 31 g : D g R, g(x) = x + 1 h : D h R, h(x) = x2 2x + 1 x + 1 Dominio : Dominio : x : x : y : y : Ámbito: Ecuación Asíntotas: Ámbito: Ecuación Asíntotas: k : D k R, k(x) = 1 x 2 m : D m R, m(x) = x x + 2 Dominio : Dominio : x : x : y : y : Ámbito: Ecuación Asíntotas: Ámbito: Ecuación Asíntotas:

34 32 Funciones reales Después de estudiar algunas gráficas de funciones racionales cabe preguntarse qué contenidos matemáticos puede utilizar para reescribir el criterio de la función de la izquierda (ver cuadro 1) como el de la derecha? Para ello considere las funciones en su máximo dominio y con codominio R: i(x) = (x 3) x(x 3)(2x + 1) i 1 (x) = 1 x(2x + 1) h(r) = r3 + r 2 25r 25 r 2 25 h 1 (r) = r + 1 p(x) = 3 2x 2 x + 1 p(x) = x + 3 2x(x + 1) q(a) = a2 2a + 1 a + 1 q(a) = a a + 1 m(t) = 3t 9 t 2 t 2 m(t) = 5 t t + 1 Cuadro 1. En este curso el estudiante debe ser capaz de expresar el criterio de una función racional en forma simplificada, mediante una sola fracción, mediante fracciones más simples los cuales se estudiarán en los siguientes apartados Fracciones algebraicas racionales Para simplificar el criterio de una función racional o para reducir dos o más criterios de una función formados por fracciones algebraicas racionales se utiliza el concepto de simplificación y el de suma y resta de fracciones algebraicas racionales. Para ello analice la información del esquema de la figura 2.

35 Funciones reales 33 Figura 2. Operaciones con expresiones algebraicas racionales 1 Ejemplo 5. Simplifique al máximo el criterio de las siguientes funciones. a. f : R R, f(x) = x 3 8 2x 2 + 4x + 8 b. g : R { 3, 3 } R, g(x) = x 3 x 2 3 Solución Para simplificar los criterios de las funciones compruebe si se puede aplicar alguna técnica de factorización y aplique alguno de los procedimientos enunciados en el esquema de la figura 2. a. Note que no hay ningún valor de x que haga cero al denominador de la función f, por eso el dominio de la función es R x 3 8 f(x) = 2x 2 + 4x Elaborado por uno de los autores

36 34 Funciones reales f(x) = (x 2)(x2 + 2x + 4) 2(x 2 + 2x + 4) f(x) = (x 2) 2 Factorice por: diferencia de cubos y factor común Aplique la ley de cancelación Por lo tanto, el nuevo criterio de la función simplificado corresponde a f 1 : R R, f 1 (x) = x 2 2 b. Note que la función g si se evalúa en x = 3, x = 3 su resultado tiene cierta forma, observe: g(x) = x 3 x 2 3 g( 3 3 3) = ( ) g( 3) = 0 0 Esta expresión se conoce con el nombre de forma indeterminada Esto significa que g( 3) no está definida, en el trazo de la gráfica de la función no existe el par ordenado ( 3, g( 3) ) lo que aparece es un agujero (ver figura 3). Esta forma indeterminada se estudia con detalle en la parte de límites en el curso de Cálculo. Además, en este caso la gráfica de la función g tiene una asíntota vertical x = 3 y la ecuación de la asíntota horizontal es y = 0 Al evaluar la función g en x = 3 se tiene Figura 3. g(x) = x 3 x 2 3 g( 3) = 3 3 ( 3 ) 2 3 g( 3) = 2 3 0

37 Funciones reales 35 Como el criterio de la función tiene por denominador 0 esto indica que al acercarse a x = 3 por la izquierda o por la derecha las imágenes tienden a o respectivamente, por lo que x = 3 es la única asíntota vertical. Luego de analizar el comportamiento de la función se aplica alguna de las técnicas de factorización para simplificar el criterio de la función g y eliminar la forma indeterminada 0 0. g(x) = x 3 x 2 3 g(x) = x 3 ( x 3 ) ( x + 3 ), con x 3 g(x) = 1 ( x + 3 ) La cual corresponde a una nueva función g 1 : R { 3 } R, g 1 (x) = 1 ( x + 3 ) Donde su gráfica corresponde al trazo de la figura 4 y no aparece el agujero. Figura 4. Ejemplo 6. Reescriba el criterio de las siguientes funciones mediante una sola fracción y determine su dominio máximo. a. p : D p R, p(x) = 3 2x 2 x + 1 b. g : D g R, g(x) = x 1 x 2 7x x + x 2

38 36 Funciones reales Solución Para poder simplificar los criterios de las funciones hay que aplicar los procedimientos enunciados en el esquema de la figura 2. a. p(x) = 3 2x 2 x + 1 p(x) = p(x) = p(x) = 3(x + 1) 2 2x 2x(x + 1) 3x + 3 4x 2x(x + 1) 3 x 2x(x + 1) Se determina el mínimo denominador común Se homogenizan las fracciones Se realizan las operaciones en el numerador Se simplifica Para determinar el máximo dominio note que la función p está formada por la resta de dos funciones racionales y hay que utilizar la siguiente definición: Definición Considere las funciones f : D f R y g : D g R donde (f g) (x) = f(x) g(x), (f g) : D f D g R La definición anterior indica que para determinar el máximo dominio de una resta de funciones hay que hallar el dominio de cada una de las funciones involucradas y luego buscar la intersección entre ellos. Así que: p(x) = 3 2x 2 x + 1 donde p 1(x) = 3 2x y p 2(x) = 2 x + 1 Luego, D p1 = R {0} D p2 = R { 1} p : R {0} R { 1} R, p(x) = x + 3 2x(x + 1) p : R { 1, 0} R, p(x) = x + 3 2x(x + 1)

39 Funciones reales 37 b. g(x) = g(x) = g(x) = x 1 x 2 7x x + x 2 x 1 (x 4)(x 3) + 2 x(x 4) (x 1) x + 2 (x 3) x(x 4)(x 3) g(x) = x2 x + 2x 6 x(x 4)(x 3) g(x) = x 2 + x 6 x(x 4)(x 3) Se factoriza los denominadores Se homogenizan las fracciones Se realizan las operaciones en el numerador Se simplifica Como la función g está formada por la suma de dos funciones racionales para determinar el máximo dominio hay que utilizar: Definición Considere las funciones f : D f R y g : D g R donde (f + g) (x) = f(x) + g(x), (f + g) : D f D g R Al aplicar la definición anterior se tiene: g(x) = x 1 x 2 7x donde g 4x + x 2 1 (x) = x 1 x 2 7x + 12 y g 2(x) = 2 4x + x 2 Así, D g1 = R {3, 4} D g2 = R {0, 4} g : R {3, 4} R {0, 4} R, g(x) = g : R {0, 3, 4} R, g(x) = x 2 + x 6 x(x 4)(x 3) x 2 + x 6 x(x 4)(x 3) Ejemplo 7. Considere la función t : R R, t(x) = x 3 + 5x. Simplifique al máximo el criterio de la t(x + h) t(x) función T, definida en su dominio máximo y codominio R, con T (h) = h Solución Primero note que la expresión t(x + h) corresponde a la imagen de x + h en la función t, es decir, t(x + h) = (x + h) 3 + 5(x + h).

40 38 Funciones reales Por otro lado, (x + h) 3 corresponde a un binomio de Newton (producto notable), cuyo desarrollo corresponde a x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3. Los binomios de Newton ( ± ) n, n N, n 2 se pueden desarrollar con la ayuda del triángulo de Pascal, el cual permite determinar los coeficientes numéricos, donde el valor n indica el nivel en el triángulo. Las potencias para cada término están determinadas así: la mayor potencia es n y las restantes van en forma descendente, además si considera cada expresión p q se debe cumplir que p + q = n Retomando el ejercicio, se tiene que T (h) = t(x + h) t(x) h = (x + h)3 + 5(x + h) (x 3 + 5x) h = x3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 + 5x + 5h x 3 5x h

41 Funciones reales 39 = 3x2 h + 3xh 2 + h 3 + 5h h = h(3x2 + 3xh + h 2 + 5), h 0 h = 3x 2 + 3xh + h Ejercicios 1. I. Simplifique al máximo los criterios de las funciones en su máximo dominio y codominio R. Además, determine la ecuación de la asíntota vertical para el ítem a y b así como los valores de x donde el trazo de la gráfica de la función presenta agujeros. a. h(x) = r3 + r 2 25r 25 (r 5)(r 2 + r) b. g(x) = x 3 x 3 27 c. g(h) = G(x + h) G(x) h si G(x) = 2 x 2 II. Determine el máximo dominio de los criterios de las funciones con codominio R. a. f(x) = 3x x x 4 b. g(x) = x + 2 x + 2 x x + 3 x 2 III. Reescriba los criterios de las funciones dadas mediante una sola fracción. a. f(x) = 2x x + 2 x x 2 4 b. g(x) = x + 2 x 2 2x 1 x + x + 3 x 2 IV. Determine los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes coordenados para los criterios de las funciones dadas. a. f(t) = t3 t 2 2t t + 2 b. g(u) = 1 u u

42 40 Funciones reales Para trabajar ejemplos de criterios de funciones como los indicados en el cuadro 1 (q y m ) es necesario aplicar otros contenidos los cuales se explican a continuación División de polinomios y fracciones parciales En Cálculo al trabajar con criterios de funciones racionales algunas veces conviene expresarlos mediante fracciones más simples lo cual se logra utilizando la división de polinomios o bien fracciones parciales. También es posible determinar la ecuación de asíntotas horizontales y oblicuas empleando la division de polinomios. Dado el criterio de una función f(x) = P (x) se tienen dos casos: Q(x) a. Si el polinomio del numerador tiene el grado mayor o igual al polinomio del denominador se realiza una división de polinomios para reescribir el criterio como f(x) = C(x) + R(x) Q(x), donde C(x) es el resultado del cociente y R(x) es el residuo. En algunos casos hay que verificar si la fracción R(x) puede descomponerse en fracciones parciales. Conviene recordar el procedimiento a seguir para realizar la Q(x) división: 1. El dividendo (numerador del criterio de la función) y el divisor (denominador del criterio de la función) deben estar ordenados en forma descendente (del mayor exponente de la variable al menor), de no ser así se completa con un cero la expresión que falte. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer monomio del divisor y el resultado que se obtiene será el primer término del cociente. 3. Se multiplica el resultado del paso 2 por el divisor y se coloca debajo del dividendo para proceder a realizar la resta. Para ello tome en cuenta que se deben cambiar los signos al restar un polinomio de otro. 4. El resultado de la resta es el nuevo dividendo con el cual vamos a repetir los pasos 2 y La división concluye hasta que el grado del polinomio obtenido en el residuo sea menor que el grado del polinomio del cociente. b. Si el grado del polinomio Q(x) es mayor que el de P (x) y el polinomio Q(x) puede factorizarse con algún factor de la forma: (px + q) n donde el polinomio lineal es irreducible, o

43 Funciones reales 41 (px 2 + qx + r) m donde el polinomio cuadrático es irreducible. El proceso para expresar el criterio de una función como f(x) = 4x en f(x) = x 2 x x + 7 recibe el nombre de x 1 descomposición en fracciones parciales. Conviene explicitar el procedimiento a seguir para realizar la descomposición en fracciones: 1. Factorizar completamente el polinomio del denominador del criterio de la función. 2. Determinar qué tipo de factores se han obtenido en el paso 1: Lineales y todos distintos (x, x a) Potencias de lineales [(x a) 2 ] Cuadráticos y todos distintos [(ax 2 + b), (cx 2 + bx + d)] Potencias de cuadráticos [(ax 2 + b) 2 ] Combinación de los tipos [x, (x b), (x a) 2,...] 3. A cada factor le corresponde una fracción en la descomposición de la expresión original: Si el factor es lineal (con o sin potencia), el numerador es una constante: A, B,..., ; por ejemplo: f(x) = A x + B (x a) Si el factor es cuadrático (con o sin potencia), el numerador es una Ax + B expresión lineal: Ax + B ; por ejemplo: f(x) = (ax 2 + bx + c) En el caso de los factores con potencias colocar tantas fracciones como potencias menores o iguales hayan del factor: A f(x) = (ax + b) + A 2 1 (ax + b) +... A k 1 2 (ax + b) + A k k 1 (ax + b) k 4. Luego, se iguala el criterio de la función dada con las fracciones del paso 3, para determinar los valores de las constantes, para ello es necesario homogenizar las fracciones, agrupar términos semejantes y aplicar ciertos conocimientos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Ejemplo 8. Para la función p : R {1} R, p(x) = 19x2 10x 3 + x 5 14x + 6 x x expresar el

44 42 Funciones reales criterio en la forma p(x) = C(x) + R(x) Q(x). Solución Para dar respuesta al ejercicio hay que utilizar el procedimiento de división de polinomios porque el grado del numerador es mayor que el del denominador. p(x) = 19x2 10x 3 + x 5 14x + 6 x x p(x) = x5 + 0x 4 10x x 2 14x + 6 x 2 2x + 1 Ordenar en forma descendente x 5 +0x 4 10x 3 +19x 2 14x +6 x 2 2x + 1 x 5 2x 4 x 3 x 3 + 2x 2 7x x 4 11x 3 +19x 2 14x +6 2x 4 4x 3 2x 2 0 7x 3 +17x 2 14x +6 7x 3 14x 2 +7x 0 3x 2 7x +6 3x 2 +6x 3 0 1x +3 p(x) = x 3 + 2x 2 7x x + 3 x 2 2x + 1 Realizar la división de polinomios Ejemplo 9. Considere la función f : R { 1} R, f(x) = x2 x. Determine la ecuación de la x + 1 asíntota oblicua. Solución Es importante destacar que se sabe que existe dicha recta pues los polinomios difieren en uno sus grados y el de grado mayor está en el numerador Se procede a realizar la división

45 Funciones reales 43 Por lo tanto f(x) = x2 x x + 1 = x x + 1 La ecuación de la asíntota oblicua es y = x 2 Observe la gráfica de la función de f: x 2 x x + 1 x 2 x x 2 2x 2x +2 2 La justificación de este procedimiento se basa en que para valores muy grandes o muy pequeños de x en f (se dice tiende a ± ), las imágenes respectivas tienden a aproximarse a las imágenes en la recta y = x 2. Por ejemplo, si x = 100 se tiene que f(100) = y evaluando en la recta y = = 98 Adicionalmente, se puede determinar que la gráfica tiene una asíntota vertical con ecuación x = 1 ya que es la restricción de la función y su criterio no se simplifica. Ejemplo 10. Considere la función f : R {1} R, f(x) = asíntota horizontal. x3. Determine la ecuación de la x 3 1 Solución Es importante destacar que se sabe que existe dicha recta pues los polinomios tienen el mismo grado Se procede a realizar la división

46 44 Funciones reales Por lo tanto f(x) = x3 x 3 1 = x 3 1 La ecuación de la asíntota horizontal es y = 1 Observe la gráfica de la función de f: x 3 x 3 1 x En forma similar al ejemplo anterior, para valores muy grandes o muy pequeños de x en f (se dice tiende a ± ), las imágenes respectivas tienden a aproximarse a las imágenes en la recta y = 1. Por ejemplo, si x = 100 se tiene que f( 100) = ( 100) y en la recta y = 1 ( 100) 3 1 Además, la gráfica tiene una asíntota vertical con ecuación x = 1 ya que es la restricción de la función y su criterio no se simplifica. Ejemplo 11. Para la función h : R {0, 1} R, h(x) = 2x2 x + 1 x(x 1) 2 función en fracciones más simples. Solución expresar el criterio de la Para dar respuesta al ejercicio hay que utilizar el procedimiento de descomposición en fracciones parciales porque el grado del numerador es menor que el del denominador. Además, el denominador del criterio de la función está factorizado con factores lineales y uno de ellos con potencia, así que para resolver el ejercicio se aplica el procedimiento #3 y #4 para fracciones parciales. h(x) = 2x2 x + 1 x(x 1) 2 2x 2 x + 1 = A x(x 1) 2 x + B x 1 + C (x 1) 2 Hay tres fracciones por la cantidad de factores

47 Funciones reales 45 2x 2 x + 1 x(x 1) 2 2x 2 x + 1 x(x 1) 2 2x 2 x + 1 x(x 1) 2 = A (x 1)2 + Bx(x 1) + Cx x (x 1) 2 = Ax2 2Ax + A + Bx 2 Bx + Cx x (x 1) 2 = (A + B)x2 + ( 2A + B + C)x + A x (x 1) 2 Se homogeniza el miembro de la derecha Se realizan operaciones Se agrupan términos semejantes Ahora, para que dos fracciones algebraicas racionales sean iguales basta con igualar los numeradores pues los denominadores son los mismos, así que 2x 2 x + 1 = (A + B)x 2 + ( 2A + B + C)x + A (1) Se igualan los coeficientes numéricos de ambos polinomios y se forman las siguientes ecuaciones 2 = A + B (2) 1 = 2A B + C (3) 1 = A (4) Luego, al sustituir A = 1 en la ecuación (2) se obtiene 1 = B Al sustituir A = 1, B = 1 en la ecuación (3) se obtiene 2 = C Por lo tanto, la descomposición del criterio de la función en fracciones más simples corresponde a: h(x) = 2x2 x + 1 x(x 1) 2 h(x) = 1 x + 1 x (x 1) 2 Conviene indicar que no siempre las ecuaciones que quedan se resuelven tan fácil como las de este ejemplo, por eso para determinar los valores de las constantes A, B,... también se hace asignando valores a la variable, ya que la identidad (1) es cierta para cualquier valor de x en particular los valores que hacen cero a cada uno de los factores del denominador.

48 46 Funciones reales Ejercicios 2. I. Considere las siguientes funciones reales, determine cuál o cuáles de ellas pueden descomponerse en la forma p(x) = C(x) + R(x), C(x) 0, justifique su respuesta. Q(x) a. q : R { 1} R, q(x) = 1 x + 1 b. r : R { 2, 2} R, r(a) = 2a + 7 a 2 4 c. p : R {2, 3} R, p(a) = a2 3a a 2 5a + 6 II. Para las funciones dadas exprese el criterio en la forma p(x) = C(x) + R(x), C(x) 0. Q(x) a. q : R { 1} R, q(x) = x2 2x + 1 x + 1 b. r : R { 7, 7 } R, r(a) = a3 3a 2 + a + 4 a 2 7 III. Determine la descomposición en fracciones parciales del criterio de cada función. a. m : R { 1, 2} R, m(t) = 3t 9 t 2 t 2 b. f : R {1} R, f(t) = t (t 1)(t 2 + t + 1) IV. Determine la ecuación de cada asíntota de la gráfica de las siguientes funciones. a. m : R { 3, 4} R, m(x) = 2x2 + 3 x 2 x 12 b. m : R {0} R, m(x) = x4 2x x 3 + x 2 + x

49 Funciones reales 47 Ejercicios Complementarios Reescriba el criterio de la función f de la forma f(x) = C(x) + R(x), C(x) 0 con C, Q, R Q(x) polinomios, en caso de ser posible y determine la ecuación de las asíntotas, según corresponda. En algunos casos utilizar división sintética.considere las funciones definidas en su respectivo dominio. a. f(x) = 2x4 x 3 3x 2 + 7x 12 x 2 3 b. f(x) = 9x + 4 2x 5 c. f(x) = 5x4 + 3 x 3 3x + 9 d. f(x) = 7x + 2 2x 2 x 4 e. f(x) = 3x3 5x 2 4x 8 2x 2 + x f. f(x) = 3x5 6x x + 2 g. f(x) = 27x4 9x 3 + 3x 2 + 6x + 1 x h. f(x) = 4x3 6x 2 + 8x 3 2x 1 2. Simplifique al máximo el criterio de la función. En algunos casos necesita realizar operaciones con expresiones algebraicas racionales. a. f(x) = x2 25 x ; D f = R {5} b. g(x) = x x2 x 4 + 2x 3 ; D g = R { 2, 0} { c. h(x) = 5x3 + 9x 2 7x x x 3 ; D h = R 2, 1 } 5 d. t(x) = 12x 2x x 2 + x + 5 { } 1 x ; D t = R 2, 0 e. m(t) = t2 + 1 t 2 t3 6t t 2 t 2 ; D m = R { 1, 2} f. p(u) = 1 u u u ; D p = R { 2, 0, 2}

50 48 Funciones reales g. P (h) = h. T (h) = q(x + h) q(x) ; si q(x) = x 2 3x y D P = R {0} h j(x + h) j(x) ; si j(x) = 1 h x y D 3 T = R {0}, x 0 3. Determine la descomposición en fracciones parciales del criterio de las funciones. Considere cada función definida en su respectivo dominio. a. T (u) = b. F (x) = 8u 1 (u 2)(u + 3) x + 34 x 2 4x 12 c. G(t) = 2t2 t + 1 t 2 (t 1) 2 d. M(x) = 16x + 16 x(x 4)(x 2 + 4) e. P (u) = 4u3 u u 29 2u 3 u 2 + 8u 4 f. A(x) = 5x3 3x 2 + 7x 3 (x 2 + 1) 2 g. H(x) = h. J(t) = 6t 1 t 3 (2t 1) 2x 2 x + 7 (x 6)(x 2 + x + 5) 4. Determine los puntos de intersección con los ejes de la gráfica de las siguientes funciones dado su criterio. a. f(t) = t3 3t t 2 + 3t + 2 b. g(x) = 3 7x 2 9 3x + 1 c. p(t) = 3 t t 4 5t + 4 t 2 16 d. j(x) = ( ) 2 x 2x x + 1 x Descubra y comente el error del siguiente ejercicio cuya indicación es: Descomponer en fracciones parciales el criterio de la función T. T (x) = x2 + 1 x(x 1) Primero se tiene que T (x) = x2 + 1 x(x 1) = A x + B x 1 Luego realizando la suma de fracciones T (x) = x2 + 1 x(x 1) = A x + B x 1 Igualando los numeradores de las fracciones obtenemos x = A(x 1) + Bx = A(x 1) + Bx x(x 1)

51 Funciones reales 49 Sustituyendo x = 0 y x = 1 en la ecuación anterior se concluye que A = 1 y B = 2 Entonces la descomposición es T (x) = x2 + 1 x(x 1) = 1 x + 2 x 1 Corroborando si se realizó correctamente el procedimiento se nota que Dónde se cometió un error? 1 x + 2 x 1 = (x 1) + 2x x(x 1) = x + 1 x(x 1) T (x) 3.3. Acercamiento al Cálculo La división de polinomios está íntimamente relacionada con dos contenidos del curso de Cálculo: asíntota oblicua e integración. Cuando se trabaja el tema de integración se enseña un método denominado fracciones parciales el cual se trabajó en este capítulo. x 4 + 2x 3 + 6x x + 6 Ejemplo 12. Resolver la integral dx. x 3 + 2x 2 + x Solución Se inicia realizando la división de polinomios para obtener x 4 + 2x 3 + 6x x + 6 x 3 + 2x 2 + x x 4 + 2x 3 + 6x x + 6 Así dx = x 3 + 2x 2 + x = x + 5x2 + 20x + 6 x 3 + 2x 2 + x x + 5x2 + 20x + 6 x 3 + 2x 2 + x dx La fracción resultante de la división se descompone en fracciones parciales obteniendo Finalmente 5x x + 6 x 3 + 2x 2 + x = 6 x + 1 x (x + 1) 2 x + 5x2 + 20x + 6 x 3 + 2x 2 + x dx = x + 6 x + 1 x (x + 1) dx 2 Hasta el punto anterior corresponde a los procedimientos algebraicos aplicados al criterio de la función y lo que sigue es propiamente la aplicación del concepto de integral indefinida

52 50 Funciones reales

53 Capítulo 4 Función Radical Otra función que conviene estudiar es la función radical, para ello se presenta algunas características acerca del dominio, representación gráfica, intersecciones con los ejes; además, se hace referencia al contenido de racionalización necesario para simplificar el criterio de una función formado por el cociente de expresiones radicales en el numerador, en el denominador o ambos de la fracción. Una función radical se define como f : D f R, f(x) = n P (x) donde P (x) es un polinomio y n N {1} Es importante notar que el máximo dominio de una función radical depende del índice n de la expresión: Si n es un número par el máximo dominio de la función son todos los números reales que cumplen P (x) 0, es decir hay que resolver una inecuación que depende del grado del polinomio. Para efectos de este curso, determinar los valores x que satisfacen P (x) 0 corresponde a determinar el signo positivo o cero de la función P Si n es un número impar el máximo dominio de la función es R. Ejemplo 1. Para las siguientes funciones dadas determine el máximo dominio de cada una de ellas. a. h : D h R, h(x) = 6x 12 b. g : D g R, g(x) = 5 3x 5 c. p : D p R, p(x) = 4 3 8x d. m : D m R, m(x) = x 2 2x

54 52 Funciones reales Solución Hay que determinar el índice de cada expresión radical, para el ejercicio a, c, d el índice es un número par de ahí que se resuelve una inecuación para el dominio de la función, pero en el item b el máximo dominio de la función es R por tratarse de un índice impar. a. Para la función h hay que resolver 6x x 12 x 2 D h = [2, + [ c. Para la función p hay que resolver 3 8x 0 3 8x 0 8x 3 8x x 3 8 D p = ], 3 ] 8 Note que el coeficiente de la variable tiene signo Observe el cambio que se realizó al signo de la desigualdad d. Para la función m hay que hallar el conjunto solución de P (x) = x 2 2x Como P es una función cuadrática, el discriminante brinda información valiosa para determinar el dominio de m Note que = ( 2) = 56, indicando que no hay raíces reales para la función y por ende no se factoriza el criterio. Otro elemento importante es que a = 1, con lo cual la gráfica es convexa (cóncava hacia arriba) Lo anterior permite asegurar que la función siempre toma valores positivos, para todo x R y se puede corroborar con la gráfica de P