MatemáticaDiscreta&Lógica 1. Conjuntos. Aylen Ricca. Tecnólogo en Informática San José 2014

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1 MatemáticaDiscreta&Lógica 1 Conjuntos Aylen Ricca Tecnólogo en Informática San José

2 CONJUNTOS.::. Definición. Según el diccionario de la Real Academia Española la acepción matemática de conjunto es Totalidad de los entes matemáticos que tienen una propiedad común, y según el diccionario de Webster, la definición de set (conjunto, en inglés) se podría traducir como Una colección abstracta de números o símbolos. Intuitivamente. Un conjunto debe ser una colección bien definida de objetos. Estos objetos se llaman elementos y se dice que son miembros del conjunto. bien definido implica que para cualquier elemento que consideremos, podemos determinar si está en el conjunto observado. Más adelante veremos que la definición de conjunto debe restringirse aún más para evitar problemas. Tecnólogo en Informática San José

3 CONJUNTOS.::. Definición. Podemos definir un conjunto por extensión (enumerando todos sus elementos entre llave) o por comprensión (nombrando alguna propiedad conocida que cumplan todos sus elementos, tomados a partir de otro conjunto conocido). A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} - Conjunto definido por extensión. A = {x : N 1 < x < 5} - Conjunto definido por compresión. En el caso de la definición por compresión se debe especificar el conjunto de dónde se seleccionarán los elementos que satisfacen la propiedad, en este caso N. Decimos que este conjunto es el universo, y lo denotamos como U. Nota. Es imposible definir por extensión un conjunto infinito. Tecnólogo en Informática San José

4 CONJUNTOS.::. Pertenencia y Cardinalidad. Para un conjunto A, escribiremos: si x es un elemento de A. si y no es miembro de A. Para cualquier conjunto finito A, A denota el número de sus elementos y se conoce como el cardinal, o tamaño, de A. Tecnólogo en Informática San José

5 CONJUNTOS.::. Igualdad e Inclusión. Valiéndonos de la idea de pertenencia, podemos definir: Igualdad Inclusión Teorema: Demostración: Tecnólogo en Informática San José

6 CONJUNTOS.::. Definiciones. Aspectos a tener en cuenta: No permitiremos que nuestros conjuntos tengan elementos repetidos (multiconjuntos). El orden de los elementos no será relevante, las colecciones donde el orden de los elementos sí es relevante se denominan listas. Conjunto Vacío: Es el único conjunto que no contiene elementos. Se denota: Subconjunto: C es subconjunto de C cuando cada elemento de C es un elemento de C. Lo notamos: Subconjunto Propio: C es un subconjunto propio de C cuando cada elemento de C es un elemento de C, y existe un elemento en C que no es elemento de C. Lo que notamos: Tecnólogo en Informática San José

7 CONJUNTOS.::. Definiciones. Igualdad: Dos conjuntos C y C son iguales si cada uno de ellos es subconjunto del otro. Conjunto Potencia: El conjunto potencia de un conjunto A, que se denota P(A), es el conjunto de todos los subconjuntos de A, es decir: Sea: tenemos subconjuntos posibles. En general, para cualquier conjunto finito A con A tiene subconjuntos y Tecnólogo en Informática San José

8 CONJUNTOS.::. Operaciones de Conjuntos. Unión: Intersección: Diferencia: Diferencia simétrica: Sean Los conjuntos S y T son disjuntos o mutuamente disjuntos si Tecnólogo en Informática San José

9 CONJUNTOS.::. Complemento. Complemento: Para un conjunto con el complemento de A, que se denomina está dado por: Para cualquier universo U y cualquier conjunto tenemos que Definición. Para el complemento (relativo) de A en B, que denotamos B - A, está dado por: Tecnólogo en Informática San José

10 CONJUNTOS.::. Producto Cartesiano. Producto Cartesiano: Diremos que los elementos de son pares ordenados, y dados dos elementos y diremos que: Si A y B son finitos: A x B = A. B Aunque generalmente no ocurre que A x B = B x A, tendremos que A x B = B x A. Podemos extender la definición del producto cartesiano para más de dos conjuntos. Si entonces el producto (de orden n) de se denota con: y es igual a Tecnólogo en Informática San José