Unidad 1 Lenguajes Formales

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1 Unidad 1 Lenguajes Formales 1. INTRODUCCION El lenguaje es una secuencia de fonemas o símbolos que forman sílabas, palabras, frases, párrafos, capítulos, novelas, libros, bibliotecas...que tiene una sintaxis (fonética o ortografía) que tiene una gramática (reglas de concatenación y construcción de palabras para formar frases) (que tiene un estilo (forma de unir frases para generar textos)) Lenguajes formales serán meramente conjuntos de secuencias de símbolos (cuya construcción se consigue con una gramática formal). 2. ALFABETOS Y LENGUAJES 2.1 ALFABETO Un alfabeto es un conjunto finito no vacío de símbolos. Ej. 1 = {0, 1} 2 = {a, b} 3 = {na, pa, bra, la} 4 = {<HTML>,</HTML>,<BODY>,</BODY>,...} 5 = { } 6 = {a, ab, aab} 2.2 PALABRA Una secuencia finita de símbolos de un alfabeto es una palabra sobre dicho alfabeto. Ej. 1 : 0, 1, 00, 01, 11, 000, : a, aa, abb, ababa 3 : napa, palabra 6 : a, ab, aab, aaab, abab Escribimos la palabra vacía, es decir, la palabra que no contiene ningún símbolo, como λ. El símbolo λ no pertenece a ningún alfabeto, pero si al meta alfabeto, Σ Longitud de una palabra sobre un alfabeto es el número de símbolos que contiene.

2 Ej. 1 : w = 0 w = 1 w = w = 7 2 : w = a w = 1 w = ababa w = 5 3 : w = napa w = 2 w = palabra w = 3 6 : w = ab w = 2 w = aab w = 1 ó w = 2?? Dependiendo del alfabeto puede resultar difícil dividir una palabra en sus símbolos. Si se puede dividir todas las palabras sobre un alfabeto solamente de una manera en sus símbolos, se llama tal alfabeto libre. Solemos usar solamente alfabetos libres. La longitud de la palabra vacía es cero, λ = 0 Universo del Alfabeto El conjunto de todas las palabras que se pueden formar sobre un alfabeto más la palabra vacía se llama el universo del alfabeto W( ). W( ) = { λ } υ {w w es palabra sobre } Σ (Σ) λ es palabra de cualquier universo, (Σ). La cardinalidad del universo es infinito (pero contable o enumerable) Si el alfabeto es libre, escribimos Σ* por W(Σ). Concatenación Podemos concatenar palabras, entonces sean w, v y u palabras en Σ. w.v = wv es decir, usamos el. como símbolo de concatenación, pero muchas veces obviamos de él (igual como se suele hacer con el de la multiplicación). λw = w = wλ, es decir, λ se comporta como el elemento neutro (o elemento de intentidad) respecto a la concatenación. w.v = w + v w.v v.w, en general, es decir, la concatenación no es conmutativa. (w.v).u = w.(v.u) para cualquier palabras w, v y u es decir, la concatenación es asociativa (usamos las paréntesis como metasímbolos). Prefijos y sufijos Si xy = w, llamamos x prefijo de w e y sufijo de w.

3 Dado que λw = w y wλ = w, λ es por lo tanto prefijo y sufijo (trivial) de cualquier palabra, y w es prefijo y sufijo trivial de si mismo. Si x es prefijo de w entonces x w. Si y es sufijo de w entonces y w. Potencia Si concatenamos siempre la misma palabra w, obtenemos potencias de w. Sea w una palabra para IN se define: =. = >0 Por tanto las siguientes afirmaciones son verdaderas: w.w = w 2, w.w.w = w 3, w..... w=w i, i IN = {0, 1, 2, } i - veces w 1 = w w 0 =λ w i = i w w 0 = λ = 0 = 0 w = w 0 w m+n = w m.w n w m+n = (m + n) w = m w + n w = w m + w n Reflexión La reflexión de una palabra w (o la palabra reversa) es w R tal que: = =. =. Donde: ( ) = w = w R λ = λ R Igualdad de cadenas si w y z son palabras, se dice que w es igual a z, si tienen la misma longitud y los mismos símbolos en la misma posición. Se denota w=z. Subcadenas Una cadena w es una subcadena o subpalabra de otra cadena z si existen las cadenas x e y para las cuales z=xwy.

4 2.3 LENGUAJE Un lenguaje es cualquier subconjunto del universo sobre algún alfabeto, es decir, L (Σ), o también L Σ. Ej. Lenguajes triviales L = es el lenguaje vacío (que no contiene ninguna palabra), L = 0 L = { λ } es el lenguaje que solamente contiene la palabra vacía, L = 1 Estos lenguajes son independientes del alfabeto y por eso son lenguajes sobre cualquier alfabeto. Sea Σ = {a, b} L1 = { λ, a, b} L2 = {a n b n / n IN}, es decir, el lenguaje que contiene todas las palabras con un número de as seguidos por el mismo número de bs. L3 = { w Σ }, es decir, palíndromos de longitud par. L4 = { / n IN } Si L < para un lenguaje L Σ, entonces se llama L lenguaje finito. Operaciones sobre/con lenguajes, sean L, L1, L2, L3 Σ lenguajes (igual para W(Σ ) Unión: ={ ó } Intersección: Conmutatividad: L 1 U L 2 = L 2 U L 1 Asociatividad: (L1 υ L2) υ L3 = L1 υ (L2 υ L3) Idempotencia: L υ L = L Operación con : L = L = L Operación con Σ : L Σ = Σ = Σ L ={ }

5 Propiedades (unos ejemplos): Conmutatividad: L1 L2 = L2 L1 Asociatividad: (L1 L2) L3 = L1 (L2 L3) Idempotencia: L L = L Operación con : L = = L1 Operación con Σ : L Σ = L = Σ L Complemento: ={ Σ } Reglas de DeMorgan: ( ) = ( ) = Diferencia: ={ } = Σ = (Σ ) Concatenación:. ={ = } Potencia: No Conmutatividad: L 1.L 2 L 2.L 1 Operación con : L1. = =.L1 Operación con {λ}: L1.{λ} = L1 = {λ}.l1 = { }. = >0

6 Cero Potencia: L 0 = {λ} Clausura positiva: Clausura (de Kleene): = = = = = { } Σ = Reflexión (o inverso): ={ } Homomorfismo: Sean Σ,Γ dos alfabetos. Sea : Σ Γ una función que asigna a cada símbolo de Σ una palabra sobre Γ. Podemos ampliar la función a un homomorfismo : Σ Γ, es decir, una función que asigna a cada palabra sobre Σ una palabra sobre Γ, con (λ) = λ (w ) = (w) ( ) 3.4 LENGUAJES REGULARES Los lenguajes regulares sobre un alfabeto dado son todos los lenguajes que se pueden formar a partir de los lenguajes básicos, { λ }, {a} a Σ, por medio de las operaciones de unión, concatenación y estrella de Kleene. Definición. Sea un alfabeto. El conjunto de los lenguajes regulares sobre se define recursivamente como sigue: 1., { λ }, {a} a Σ, son lenguajes regulares sobre Σ. Estos son los denominados lenguajes regulares básicos.

7 2. Si y son lenguajes regulares sobre Σ, también lo son ( ó ),. ( ó ) ( ) son lenguajes regulares. 3. Ningún otro lenguaje sobre Σ es regular. Obsérvese que Σ y Σ son lenguajes regulares sobre Σ. Ej. Sea Σ = {a, b}. Los siguientes son lenguajes regulares sobre Σ. El lenguaje de todas las palabras que tienen exactamente una a: = {b}* {a} {b}* El lenguaje de todas las palabras que comienzan con b: = {b} {a, b} * El lenguaje de todas las palabras que contienen la cadena ba: = {a, b}* {ba} {a, b}* ({a} {b}*) {a}. [({a}* {b}*). {b}]* 3.5 AUTÓMATAS FINITOS Un autómata es un Modelo abstracto de una máquina con memoria interna primitiva. Se puede considerar a un computador como una máquina de este tipo. En general se trata de un modelo matemático, representado con recursos formales (que se especificarán posteriormente), y que puede emplearse para representar o simular el funcionamiento de un sistema real, que puede ser electrónico o computacional o de otro tipo. Esto es muy útil, ya que posteriormente al diseño formal, se puede implementar en forma sencilla por medio de un programa escrito en cualquier lenguaje de programación. Los sistemas que se pueden representar por medio de este modelo matemático contienen una única entrada y una sola salida, y son todos aquellos en los que no basta con conocer el valor de la entrada para conocer la salida. En este caso, existe un parámetro muy importante, llamado estado actual del sistema, y que en combinación con la entrada, ambos sí determinan una salida bien definida. En una Máquina de Estado Finito, ocurre lo que se conoce como una Transición, una acción que consta de tres partes. Consiste en que al llegar un símbolo de entrada, el modelo responda primero con la producción de un símbolo en la salida y posteriormente

8 (pero de manera inmediata) exista un cambio a un nuevo estado. Dicha transición es la unidad de operación en una Máquina de Estado Finito. Es muy importante que primero se produzca la salida, antes del cambio de estado. En este modelo se presentan dos funciones, de las mismas dos variables: Símbolo de salida = f (estado actual, símbolo de entrada) = g. // Función g. Estado siguiente = f (estado actual, símbolo de entrada) = f. // Función f. Veamos un ejemplo, como si la Máquina fuera una "caja negra": En la Máquina de la figura anterior supondremos, para ejemplificar, que si la entrada es una a, y el estado actual fuese B, la salida sería un 0. Sin embargo, si el estado actual fuese D, por ejemplo, la salida podría ser 1, aún con la misma entrada a. Se recalca que se emplea este modelo para SIMULAR todos aquellos sistemas en los que la salida no es función exclusiva de la entrada, sino también de un estado o situación actual implícita en el mismo. EJEMPLOS SENCILLOS DE APLICACIONES DE MÁQUINAS DE ESTADO FINITO: 1 Máquina para venta de refrescos. Ya que el estado actual (cantidad de dinero que se ha depositado en ella) junto con la entrada actual (la moneda que se está depositando en cada momento) determinan la salida que el aparato entrega (nada, cambio, refresco, refresco y cambio). La misma moneda produce diferentes salidas. 2 Cajero automático. Ya que la entrada (tarjeta, PIN, botón) debe combinarse con una correcta serie de transiciones por los estados (espera usuario, espera PIN, espera requisición de servicio, etc.) para que se pueda obtener la salida deseada (billetes, impresiones de estado de cuenta, etc.). La entrada "solicito Bs 100" en el estado "espera PIN " no produce el efectivo requerido. 3 Circuitos secuenciales digitales.

9 Ya que en los circuitos de este tipo, es necesario conocer el potencial o voltaje que guardan ciertos puntos dentro de los mismos (es decir, los estados) para que en combinación con los valores de los bits de entrada, se conozcan los de salida. En un simple flip-flop, se requiere de conocer el estado del mismo para saber qué salida presenta. 4 Juegos de combate. Al simular una pelea, se debe considerar que las entradas (golpes, agresiones, recuperaciones) en combinación con el estado (nivel de energía del peleador) determinan el efecto que se manifestará como salida (tambalearse, caerse, cansarse, ser noqueado, etc.). Autómatas finitos deterministas (AFD) Un AFD es una máquina de estados que tiene acceso a una secuencia de símbolos de entrada (mediante una cabeza lectora) Un AFD se encuentra en cada momento en un estado determinado y puede transitar a otro estado. Para ello se realizan los siguientes pasos: o Se lee la cinta y se avanza la cabeza lectora o En función del símbolo leído y del estado actual, el autómata transita a otro estado. Un AFD para el procesamiento cuando no le quedan más símbolos en la entrada. La parada puede ocurrir en un estado marcado como final o uno que no esté marcado como final. Salida binaria Definición. Un autómata finito determinista (AFD) es una quíntupla =<,Σ,,, > Donde: Q es un conjunto finito y no vacío de estados, es decir, 0 < Q < 1. Σ es un alfabeto (sabemos que Σ) es una función de transición: : Σ ; (, )= Es decir si el autómata se encuentra en el estado q y lee el símbolo pasa al estado p es el estado inicial. es el conjunto de estados finales. Podemos pensar de un autómata como un dispositivo que lee desde una cinta con símbolos y que realiza cambios de estados internamente: Generalmente se asocia con cada autómata un grafo dirigido, llamado diagrama de transición de estados. Cada nodo del grafo corresponde a un estado. El estado inicial se indica mediante una flecha que no tiene nodo origen. Los estados finales se representan con

10 un círculo doble. Si existe una transición del estado e i al estado e j para un símbolo de entrada a, existe entonces un arco rotulado a desde el nodo e i al nodo e j ; es decir que (e i, a) = e j, se representa en el diagrama: Ej. Un AFD que acepta el lenguaje: M = ({q0, q1, q2}, {a,b,c},, q0, {q2}) a. Función de transición:,,,, b. Diagrama de Transición de Estados (Grafo dirigido) c. Matriz de transición a b c q 0 q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 Ej. Un AFD que acepta las cadena de 0s y 1s donde los números de ceros y unos es par: Entonces M = ({q0, q1, q2, q3}, {0, 1},, q0, {q0}) Cómo describimos cómodamente? a. Función de transición:, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 b. Diagrama de Transición de Estados (Grafo dirigido) 0 1 0

11 1 q1 q2 q0 1 0 c. Matriz de transición 0 q3 1 Observamos: Q < y Σ <, entonces podemos hacer una tabla con los estados como filas y con los símbolos como columnas: Determinista significa que no tenemos opción ninguna para elegir, es una función. Si es una función total llamamos el autómata completo, es decir, existe en cada estado para cada símbolo una transición. Para definir el lenguaje aceptado por un AFD ampliamos la función a una función * para que trabaje sobre palabras: *: Σ* *, *, *(,, Σ, w Σ* es decir, * refleja el movimiento de la cabeza de lectura del autómata, o en otras palabras, * marca el camino que se está yendo en el autómata para aceptar la palabra. Un autómata finito determinista, Σ,,, acepta una palabra Σ, donde es la ampliación de la función de transición.