Sumario: Máquinas Secuenciales, Autómatas y Lenguajes Formales. Tema 1: Conceptos básicos (parte 1) Tema 1: Conceptos básicos

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1 Formales Tema 1: Conceptos básicos (parte 1) Holger Billhardt Sumario: Tema 1: Conceptos básicos 1. Lenguajes Formales 2. Gramáticas Formales 3. Autómatas Formales 2 1

2 Sumario: Tema 1: Conceptos básicos 1. Lenguajes Formales 1. Concepto de Lenguaje Formal 2. Operaciones sobre Lenguajes Formales (u otros conjuntos) 2. Gramáticas Formales 3. Autómatas Formales 3 Concepto de Lenguaje Formal Qué es un lenguaje? Informalmente: un lenguaje es un conjunto de palabras o sentencias formadas sobre un alfabeto Pasaremos a definirlo de manera formal. Formales 4 2

3 Concepto de Lenguaje Formal Alfabeto: Definición (Alfabeto): Conjunto finito, no vacío, de elementos. Generalmente usaremos Σ para especificar alfabetos y los elementos los denominaremos letras o símbolos. los alfabetos español, inglés, o alemán Σ 1 ={0,...,9}, 0 Σ 1 Σ 2 ={x x es un símbolo del código ASCII} Σ 3 ={(, )} Σ 4 ={1, A, 2, B} Σ 5 ={a, b, c, d} Σ 6 ={} Σ 7 =ℵ Formales 5 Concepto de Lenguaje Formal Palabras: Definición (Palabra): Sea un alfabeto Σ. Una palabra sobre Σ es una secuencia finita de las letras de ese alfabeto. La secuencia vacía representa la palabra vacía y la anotamos con λ. sobre Σ 5 ={a,b,c,d}: λ, a, b, c, d, abc, aab, dcba,... sobre Σ 1 ={0,...,9}: λ, 0, 0000, 010, 9980,... sobre Σ 3 ={(,)} λ, (, ), (), (()()), )())),... Formales 6 3

4 Concepto de Lenguaje Formal Palabras: Definición (Longitud de una palabra): Se llama longitud de una palabra x, y se representa por x, al número de símbolos que la componen. sobre Σ 5 ={a,b,c,d}: λ =0, a =1, abc =3 Formales 7 Concepto de Lenguaje Formal Operaciones con palabras: Definición (Concatenación): Sean dos palabras x e y definidas sobre el alfabeto Σ. La concatenación de x e y, denominada xy, es una palabra que contiene todos los símbolos (de derecha a izquierda) de x seguidos de los símbolos de y (de derecha a izquierda). Sean x=a 1 A 2...A n e y=b 1 B 2...B m con A i, B i Σ: xy= A 1 A 2...A n B 1 B 2...B m x =abc, y =da, definidos sobre Σ={a,b,c,d} xy=abcda ; xy = x + y =5 Formales 8 4

5 Concepto de Lenguaje Formal Operaciones con palabras: Propiedades de la concatenación: Operación cerrada: sí Si x e y están definidos sobre Σ, entonces xy está definido sobre Σ. asociativa: sí x(yz)=(xy)z Elemento nulo: λ xλ=λx=x Conmutatividad: no xy yx Formales 9 Concepto de Lenguaje Formal Operaciones con palabras: Definición (Potencia): Sea i un número natural, y x una palabra. La potencia i-ésima de x, denominada x i, es la operación que consiste en concatenarla consigo misma i veces. x =abc x 1 =abc x 2 =abcabc x 3 =abcabcabc Formales 10 5

6 Concepto de Lenguaje Formal Operaciones con palabras: Propiedades de la potencia: i, j > 0 x i+1 =xx i =x i x x i x j =x i+j Se define x 0 =λ (palabra vacía): Si i=0 x 0+1 =x 1 =x=xλ=xx 0 =λx=x 0 x Si i,j=0 x i x j =x 0 x 0 =λλ=λ=x 0 =x 0+0 Nota: λλ=λ; λx=x; λλxλ=x x i =i x Formales 11 Concepto de Lenguaje Formal Operaciones con palabras: Definición (Palabra inversa): Sea x=a 1 A 2...A n con A i Σ una palabra sobre el alfabeto Σ. Se llama palabra refleja o inversa de x, y se representa por x -1, a la palabra A n A n-1...a 1. Si x=λ entonces x -1 =λ. x =abc x -1 =cba Propiedades de la palabra inversa: x -1 = x Formales 12 6

7 Concepto de Lenguaje Formal Lenguajes Formales: Definición (Lenguaje universal): Sea Σ un alfabeto. El lenguaje universal de Σ es el conjunto formado por todas las palabras que se pueden formar con las letras de Σ. Representamos dicho lenguaje con W(Σ). Σ 1 ={a} W(Σ 1 )={λ, a, aa, aaa,...} Nota: La palabra vacía pertenece a todos los lenguajes universales de todos los alfabetos posibles. Formales 13 Concepto de Lenguaje Formal Lenguajes Formales: Definición (Lenguaje): Sea un alfabeto Σ. Un lenguaje L sobre Σ es cualquier subconjunto del lenguaje universal W(Σ). Σ 1 ={a} W(Σ 1 )={λ, a, aa, aaa,...} L 1 ={a} W(Σ 1 ) L 2 ={} W(Σ 1 ) (L 2 = ) L 3 =Σ 1 W(Σ 1 ) L 4 =W(Σ 1 ) W(Σ 1 ) L 5 ={λ} W(Σ 1 ) (Nota: L 5 L 2 ) L 6 ={λ, a, aaa, aaaaa} W(Σ 1 ) L 7 ={λ, a, aaa, aaaaa,...} W(Σ 1 ) Hay lenguajes finitos, infinitos y vacíos. Formales 14 7

8 Sumario: Tema 1: Conceptos básicos 1. Lenguajes Formales 1. Concepto de Lenguaje Formal 2. Operaciones sobre Lenguajes Formales (u otros conjuntos) 2. Gramáticas Formales 3. Autómatas Formales 15 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Unión: Definición (Unión de lenguajes): Sea el alfabeto Σ y dos lenguajes L 1 W(Σ) y L 2 W(Σ). La unión de L 1 y L 2, L 1 L 2, es un lenguaje que se define de la siguiente forma: L 1 L 2 ={x x L 1 o x L 2 }. Propiedades de la unión: Operación cerrada: L 1 W(Σ), L 2 W(Σ) L 1 L 2 W(Σ) (la unión de dos lenguajes sobre el mismo alfabeto es también un lenguaje sobre este alfabeto) Asociativa: (L 1 L 2 ) L 3 =L 1 (L 2 L 3 ) Elemento neutro: L 1, N L 1 = L 1 Que es N? Conmutativa: L 1 L 2 = L 2 L 1 Idempotencia: L L = L Formales 16 8

9 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Concatenación: Definición (Concatenación de lenguajes): Sean dos lenguajes L 1, L 2. La concatenación de L 1 y L 2, representado por L 1 L 2 (a veces por L 1.L 2 ), es un lenguaje que se define de la siguiente forma: L 1 L 2 ={xy x L 1, y L 2 }. Σ ={a,b,c} L 1 ={ab, ac, cb}; L 2 ={b, bba} L 1 L 2 ={abb,abbba,acb,acbba,cbb,cbbba} L 1 ={a, aa, aaa,...}; L 2 ={λ, b, bb, bbb,...} L 1 L 2 =? Qué pasa si L 1 o L 2 es? Propiedades de la concatenación Cerrada: L 1 W(Σ), L 2 W(Σ) L 1 L 2 W(Σ) Asociativa: (L 1 L 2 )L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) No es conmutativa: ( L 1, L 2 : L 1 L 2 =L 2 L 1 ) Elemento neutro({λ}): L 1 : L 1 {λ}={λ}l 1 =L 1 No es idempotente: ( L: LL=L) Formales 17 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Potencia de un lenguaje: Definición (Potencia de un lenguaje): La potencia i-ésima de un lenguaje L consiste en el lenguaje resultante de concatenar el lenguaje consigo mismo i veces. L i = LLL...L (i veces) Propiedades de la potencia Cerrada: L W(Σ) L i W(Σ) L i+1 = L i L = LL i (i>0) L i L j = L i+j (i,j>0) Que pasa si i, j = 0? Se define L 0 = {λ} L 0+1 = L 1 = L = {λ}l=l 0 L L 0 L 0 = {λ}{λ} ={λ}=l 0 = L 0+0 Formales 18 9

10 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Potencia de un lenguaje: L 1 = {λ,ab, ac} L 12 ={λ,ab,ac,abab,abac,acab,acac} L 13 ={λ,ab,ac,abab,abac,acab,acac,ababab,ababac, abacab,abacac,acabab,acabac,acacab,acacac} L 2 = {a, aa, aaa,...} L 22 =? L 23 =? Formales 19 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Clausura de un lenguaje Definición (Clausura positiva): La clausura positiva de un lenguaje L se define por: L + = i i=1l L ={a,aa,aaa,aaaa,...} = {a n n 1} L 2 ={ aa,aaa,aaaa,...} = {a n a m n,m 1} = {a n n 2} L 3 ={ aaa,aaaa,...} = {a n a m n 1, m 2} = {a n n 3} L + = i L={a,aa,aaa,aaaa,...} = L i=1 Σ={a,b}, Σ es un lenguaje sobre Σ, ya que Σ W(Σ) Σ + = Σ i ={a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,...} = W(Σ) - {λ} i= 1 Nota: Si λ L, entonces λ L +. Formales 20 10

11 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Definición (Clausura, Iteración o cierre): La clausura de un lenguaje L se define por: L*= i L i=0 Nota: L: λ L*, ya que {λ}=l 0. Propiedades de la clausura: Cerrada: L W(Σ) L + W(Σ), L* W(Σ) L*=L 0 ( i )= L 0 L + ={λ} L i=1l + L + =LL*= L*L Demostración? Formales 21 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Reflexión de un lenguaje Definición (Reflexión): Sea L un lenguaje. Se llama lenguaje inverso (lenguaje reflejo) de L, y se representa por L -1 al lenguaje: L -1 ={x -1 x L}. L ={ana,julio,jesus,norma} L -1 ={ana, oiluj,susej,amron} L ={a,aa,aaa,...} L -1? Propiedades de la reflexión: Cerrada: L W(Σ) L -1 W(Σ) Formales 22 11

12 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Otras operaciones clásicas de conjuntos Definición (Intersección): Sean dos lenguajes L 1 y L 2. La intersección de L 1 y L 2, L 1 L 2, es el lenguaje que se define por: L 1 L 2 ={x x L 1 y x L 2 }. Propiedades de la intersección Cerrada: L 1 W(Σ), L 2 W(Σ) L 1 L 2 W(Σ) Asociativa: (L 1 L 2 ) L 3 =L 1 (L 2 L 3 ) Conmutativa: L 1 L 2 = L 2 L 1 Idempotencia: L L=L L = Formales 23 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Otras operaciones clásicas de conjuntos Definición (Complemento): Sea L un lenguaje sobre el alfabeto Σ. El complemento de L, denotado con L(o con c(l)) es el siguiente lenguaje: ={x x W(Σ) y x L} L Propiedades del complemento Cerrada: L W(Σ) L W(Σ) W(Σ) = L =L Formales 24 12

13 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Otras operaciones clásicas de conjuntos Definición (Diferencia): Sean dos lenguajes L 1 y L 2. La diferencia de L 1 y L 2, L 1 - L 2 (o L 1 \L 2 ) es el lenguaje que se define por: L 1 - L 2 ={x x L 1 y x L 2 }. Propiedades de la diferencia Cerrada: L 1 W(Σ), L 2 W(Σ) L 1 -L 2 W(Σ) No es asociativa: ( L 1, L 2 : (L 1 -L 2 )-L 3 =L 1 -(L 2 -L 3 )) No es conmutativa: ( L 1, L 2 : L 1 -L 2 =L 2 -L 1 ) No es idempotente: L: L-L= A- =A Formales 25 Operaciones con lenguajes (u otros conjuntos) Otras leyes de las operaciones sobre conjuntos Leyes de De Morgan: L 1 L 2 = L 1 L 2 = L 1 (L 2 L 3 )= (L 1 L 2 ) ( L 1 L 3 ) L 1 (L 2 L 3 )= (L 1 L 2 ) ( L 1 L 3 ) L 1 -L 2 =L 1 = L1 L 2 Leyes de complemento: L L = L L =W(Σ) Distributividad: L =W(Σ)-L L1 L 2 L 2 L1 L2 Formales 26 13

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