Sea Σ un alfabeto y L el lenguaje de los palíndromos sobre Σ. Sean a, b dos elementos de Σ. Se demuestra por reducción al absurdo que L no es regular:

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1 Universidad Rey Juan Carlos Grado en Ingeniería de Computadores Máquinas Secuenciales, Autómatas y Lenguajes Hoja de Problemas: Propiedades Lenguajes Regulares Nivel del ejercicio : ( ) básico, ( ) medio, ( ) avanzado. 1. ( ) Prueba que el lenguaje de los palíndromos sobre un alfabeto finito con al menos dos elementos no es regular. Sea Σ un alfabeto y L el lenguaje de los palíndromos sobre Σ. Sean a, b dos elementos de Σ. Se demuestra por reducción al absurdo que L no es regular: 1. Supongamos que L es regular. 2. Elegimos n como constante del Lema de Bombeo. 3. Sea x = a n ba n una palabra. Obviamente x pertenece a L y x > n, por tanto, siguiendo el Lema de Bombeo, si L fuese regular, x debería poder componerse de la forma x = u.v.w verificando:. a) u.v n b) v > 0 c) u.v i.w L para todo i Determinamos todas las posibles descomposiciones de x en u.v.w que cumplan las condiciones a) y b). Dado que las primeras n letras de x son a s, para cumplir a), tanto u como v sólo pueden tener letras a. Además, para cumplir la condición b), v tiene que tener por lo menos una a. Resumiendo, podemos especificar las posibles descomposiones de x que cumplan a) y b) de la sigfuiente forma: x = u.v.w = a s.a k.a t ba n (el operador. marca los 3 componentes u, v, y w). Además, se cumple s 0, k 1, t 0 y s + t + k = n. Se puede observar que no hay otra forma de descomponer x en las tres partes, cumpliendo las condiciones a) y b). 5. Podemos demostrar que ninguna de las descomposiciones encontradas en el punto 4 cumple la condición c). Para ello es suficiente encontrar para cada descomposición un número entero i 0 tal que u.v i.w no pertenece a L. En nuestro caso podemos usar i = 2. Para i = 2, se cumple u.v i.w = u.v 2.w = a s.a k.a k.a t ba n. Por s + t + k = n se cumple u.v 2.w = a n+k ba n. Teniendo en cuenta que k 1 (condición que Página 1 de 6

2 hemos establecido antes), observamos que la palabra a n+k ba n no pertenece al lenguaje (pues no es un palíndromo). Por tanto, la palabra x no se puede componer como indica el lema. Eso lleva a una contradicción que indica que nustra supoción inicial: L es regular no es correcta. Y concluimos que L no puede ser regular. 2. ( ) Demuestra o refuta la siguiente afirmación: Todo lenguaje que sea un subconjunto de un lenguaje regular es regular. El lengujae universal sobre un alfabeto es un lenguaje regular, ya que existe un autómata finito que lo acepta (de echo, este autómata sólo requiere un único estado). Por otro lado, hemos demostrado que existen lenguajes que no son regulares (por ejemplo en el ejercicio anterior), dado que qualquier lenguaje es, por definición, un subconjunto del lenguaje universal correspondiente, vemos que la afirmación no es correcta. 3. Sea Σ = {a, b, c} un lenguaje finito. Para cada una de las siguientes definiciones del lenguaje L Σ, demuestra que L no es regular: NOTA: La forma de resolver estos ejercicios es múy similar a lo que se ha especificado en el ejercicio 1. Por ello, sólo se comentan algunos detalles específicos de las soluciones. (a) ( ) L = {a n b n n 1}. Vale elegir la palabra a n b n, donde n es la constante del lema. Al dividir x en u.v.w, v sólo contiene a s. Al bombear v (por ejemplo con i = 2), la palabra que se obtiene tiene más a s que b s, por lo que no pertenece a L. (b) ( ) L = {a n b 2n n 1}. Se puede elegir la palabra a n b 2n. De nuevo, v sólo contiene a s. Al bombear v para i=2, la pabra que se obtiene contiene más a s que b s. (c) ( ) L = {a n b m 0 < n m}. Se puede elegir la palabra a n b n. De nuevo, v sólo contiene a s. Al bombear v para i=2, la pabra que se obtiene contiene más a s que b s. (d) ( ) L = {a n b m n m = 2}. Página 2 de 6

3 Se puede elegir la palabra a n b n +2. Entonces, v sólo contiene a s. Al bombear v hacia abajo (para i=0), la pabra que se obtiene contiene menos que n a s, pero mantiene las n + 2 b s. Por tanto no se cumple que la diferencia entre el número de a s y el número de b s es 2. (e) ( ) L = {a n b m c m m, n 1}. Se puede elegir la palabra x = ab n c n. En este caso, existen varios patrones de descomposición que cumplen las condiciones a) y b) del lema. Analizamos todos los caso posibles y demostramos que ninguno cumple la condición c): u.v.w = λ.a.b n c n : en este caso podemos comprobar que u.v i.w para i = 0 es λ.b n c n = b n c n que no pertenece a L. u.v.w = λ.ab k.b s c n con k +s = n: en este caso podemos comprobar que u.v i.w para i = 0 es λ.b s c n = b s c n que no pertenece a L. u.v.w = ab t.b k.b s c n con k + s + t = n y k > 0: en este caso podemos comprobar que u.v i.w para i = 2 es ab t.b k.b k.b s c n = ab n+k c n que no pertenece a L, ya que k > 0. (f) ( ) L = {a n b m a m+n m, n 1}. (g) ( ) L = {a n b m n, m 0 y n m}. (h) ( ) L = {a n b m a l m, n, l 1 y l m + n}. (i) ( ) L = {w Σ n a (w) = n b (w)}. Supongamos por reducción al absurdo que L es regular. Sea N N la constante del Lema de Bombeo. Sea x = a N b N L una palabra del lenguaje. Además, su longitud verifica x = 2N > N. Por tanto, podemos aplicar el Lema de Bombeo a esta palabra. Aplicándolo, existen tres palabras u, v, w {a, b, c} verificando: Página 3 de 6

4 uv N v > 0 x = uvw uv i w L para todo i 0. Por la forma que tiene x, y usando la propiedad primera y segunda, tenemos que necesariamente u = a j, v = a k, para j 0, k 1, j + k N. Por tanto, w = a N j k b N. Finalmente, aplicando la última propiedad para i = 0 se tendría que uv 0 w L, pero uv 0 w = uw = a j a N j k b N = a N k b N L Esta palabra a N k b N no está en L pues N k N ya que k 1. Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, por lo que se sigue que L no es regular. (j) ( ) L = {w Σ n a (w) < n b (w)}. Podemos considerar la palabra x = a n b n+1. (k) ( ) L = {w Σ n a (w) n b (w)}. Supongamos por reducción al absurdo que L es regular. Entonces su complementario: L c = { } w {a, b, c} n a (w) = n b (w) también debe ser regular. Contradicción. Como hemos demostrado anteriormente (apartado:i), L c no es regular, y por tanto L tampoco lo es. (l) ( ) L = {a n2 n 1}. (m) ( ) L = {a n! n 3}. Página 4 de 6

5 (n) ( ) L = {w 1 cw 2 w 1, w 2 Σ y w 1 = w 2 }. (ñ) ( ) L = {ww w Σ }. (o) ( ) L donde L es el lenguaje del apartado anterior. Por reducción al absurdo podemos demostrar que L no es regular: Suponemos que L es regular. Entonces,. a plicando el teorema que dice que el complemento de un lenguaje regular es regular, L debería ser regular. Pero L = L y ya hemos demostrado en el ejercicio anterior que L no es regular. Por tanto, llegamos a una contradicción que indica que la suposición L es regular. es erronea. Por tanto, L no es regular. 4. ( ) Sea Σ = {., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y sea L π Σ el lenguaje de las cadenas que son las truncaciones de la expansión decimal de π. Esto es, Demuestra que L π no es regular. L π = {λ, 3, 3., 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, 3,14159,...}. Esta demostración es más argumental. 5. ( ) Sea Σ = {a, b} un alfabeto finito, y sea L Σ el lenguaje definido por la siguiente igualdad: Es L regular? L = {xwx Σ x, w Σ, x = 2}. Sí lo es. Intenta construir el autómata. 6. ( ) Sea Σ = {0, 1} un alfabeto finito, y sea L Σ el lenguaje definido por la siguiente igualdad: L = {xwx 1 x, w {0, 1} + }. Es L un lenguaje regular? Página 5 de 6

6 Este lenguaje sí es regular. Uno podría argumentar que, por ejemplo con la palabra x = 1 n 01 n no cumple las condiciones del lema de bombeo, porque al bombear 1 s al principio (y no al final), la palabra no pertenece al lenguaje. Por ejemplo para i=2, se obtendría una palabra 1 n+k 01 n con k > 0 y esta palabra no pertenece a L. Analizando bien el lenguaje, esta palabra sí pertenece a L: podemos entender que x = 1 y w = 1 n+k 1 01 n 1 y es obvio que xwx 1 pertenece a L. En realidad, el lenguaje contiene cualquier palabra sobre 0, 1 que empieza y termina en la misma letra. Se puede crear un autómata para este lenguaje. Página 6 de 6

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