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1 Materiales producidos en el curso: Curso realizado por Escuelas Católicas del 7 de noviembre al 19 de diciembre de 2011 Título: Wiris para Matemáticas de ESO y Bachilleratos. Uso de Pizarra Digital y Proyector con Wiris. Libros digitales. Coordinador de Escuelas Católicas: Jesús Hernández Martín. Profesores del curso: José María Arias Cabezas. Catedrático de Matemáticas. Autor: Gonzalo María Rueda Colinas. Colegio Ntra. Sra. del Buen Consejo. Matemáticas II. Comunidad de Madrid. Año Septiembre. Opción A. Ejercicio 1. Calificación máxima 3 puntos. a) ( 1 punto ). Calcular los límites: b) ( 1 punto ). Calcular la integral c) ( 1 punto ). Hallar el dominio de definición de la función. Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene derivada. a) Para resolver este límite, hay que tener en cuenta que la función es una función decreciente, que tiene como asíntota horizontal el eje OX. Así pues, cuando,. En el denominador se tiene la exponencial anterior desplazada una unidad hacia la izquierda, con lo que el carácter asintótico de la función no se ve perturbado por esa traslación horizontal, así que cuando, Así pues: Por otro lado, cuando, así que la función trasladada tendrá el mismo comportamiento: b) Para buscar una primitiva de esta integral, hay que tener en cuenta que y que justamente en el numerador se tiene esa función salvo la constante 6. Por eso, se trata de una integral de tipo logaritmo neperiano con un reajuste previo de la constante: [ ] [ ]

2 c) La función f(x) estará definida para aquellos valores de x reales que cumplan que. Para resolver esta inecuación de segundo grado hay que dibujar la función cuadrática. Como el discriminante, habrá dos cortes con el eje OX: Como la función g(x) es convexa (U), se tiene que la solución a al dominio de f(x) es: y por lo tanto ( ] [ ) En cuanto a los puntos en los que la función tiene derivada, será en aquellos puntos del dominio para los que, ya que la derivada de es: expresión que tiene sentido sólo si el denominador no se anula. Por lo tanto, los puntos en los que existe la derivada es el conjunto: Ejercicio 2. Calificación máxima 3 puntos. Dados los planos y la recta se pide: a) ( 1 punto ) El punto o puntos de r que equidistan de b) ( 1 punto ) El volumen del tetraedro que forma con los planos coordenados XY, XZ e YZ. c) (1 punto ) La proyección ortogonal de r sobre el plano. a) Los puntos buscados están en la recta r, así que deberán tener por coordenadas: P(1 + 2t, -1+t, t), para valores reales del parámetro t. La segunda condición es que esos puntos tienen que equidistar de los dos planos, así que:

3 Multiplicando ambos miembros por y operando dentro de los valores absolutos: Elevando al cuadrado se eliminan los valores absolutos, con la seguridad de que no se introducen soluciones falsas, porque ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto de soluciones. También se podría haber resuelto la ecuación desdoblando la ecuación en dos: Ecuación 1: Ecuación 2: Sustituyendo los valores de t obtenidos en las coordenadas genéricas del punto P de la recta, se obtiene:

4 b) Pasamos la ecuación del plano a forma segmentaria, para saber los puntos de corte del plano con los ejes: Los cortes con los ejes X,Y,Z, son respectivamente: A(1 /2, 0, 0), B(0, 1/3, 0) y C(0, 0, 1). Los vectores a lo largo de las aristas serán: El volumen del tetraedro será entonces: [ ] c) En primer lugar calcularemos la intersección de la recta r con el plano. A ese punto lo llamaremos A. En segundo lugar, calcularemos una recta ortogonal t al plano, que pase por cualquier punto de r diferente de A. Al punto de intersección de la recta t con el plano lo llamaremos M. La recta proyección de r es la que pasa por los puntos A y M. { Para calcular la recta t, hay que tener en cuenta que como, como vector director de la recta t puede servir el vector normal del plano. Así entonces, la recta t será: {

5 { Así pues M(1-6/7, -1 3/7, /7) = M(1/7, -10/7, -5/7) La recta proyección r de r sobre el plano es la que pasa por los puntos A y M. Como vector director de r podemos utilizar el vector (1/7 13, -10/7 5, -5/7 10) = (- 90/7, -45/7, -75/7). Si multiplicamos por -7/15 se obtiene un vector más simple: (6, 3, 5). La proyección será: { Ejercicio 3. Calificación máxima 2 puntos. Calcular el rango de la matriz según los valores del parámetro a. Calculamos el determinante de orden 3: Este menor de orden 3 se anula para a = - 2. Así que se puede afirmar que: Si Si

6 Para estudiar el rango en este caso, escogemos el menor de orden 3 formado por las filas 1, 2 y 4: Ejercicio 4. Calificación máxima 2 puntos. Dada la matriz se pide: a) (0.5 puntos) Calcular el determinante de la matriz M b) (1 punto ) Hallar la matriz c) (0.5 puntos) Hallar la matriz a) b) ( ) En donde es la matriz identidad de orden 3. c) Aprovechando el apartado anterior, se agrupa el exponente 25 en grupos de 2. Es decir se hace la división euclídea de 25 entre 2: 25 =

7 Se podría deducir una expresión general para, siendo., siendo r=0,1 el resto de la división euclídea de n entre 2. Si r = 0, n es par, si n = 1, n es impar {

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