DESIGUALDADES LINEALES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES
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- María Mercedes Fidalgo Palma
- hace 7 años
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1 DESIGUALDADES LINEALES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES
2 Qué es una desigualdad lineal? Una desigualdad lineal con dos variables x y y puede escribirse en la forma: ax+by+c < 0 (puede ser también >,, ) o de la forma y < mx + b (puede ser también >,, ) donde a y b son constantes, con a y b no ambas igual a cero.
3 Qué es la solución de una desigualdad lineal? La solución de una desigualdad lineal (en x,y) consiste de todos los pares ordenados, (x, y), que satisfacen dicha desigualdad. Geométricamente, este conjunto solución corresponde a una región del plano cartesiano xy.
4 Ejemplos a) Determine si (5,1) es una solución de y > x + 3 Reemplazamos y con 1 y x con 5 para obtener 1 > (5)+3 1 > 13 Es una aseveración falsa (5, 1) NO es solución de la desigualdad original. b) Determinar si (-3,0) es una solución de 3x y < -
5 Graficar el conjunto solución de una desigualdad Ejemplo 1: Grafique el conjunto solución de y x y = x Dos puntos: (0,0) (4,4) Gráfiquemos la recta frontera La gráfica de la desigualdad es la región del plano en la que se encuentran todos los pares ordenados que hacen cumplir la desigualdad Región 1 Región
6 Graficar el conjunto de soluciones y x Ejemplo 1: (cont.) Para graficar la desigualdad: 1. Elige dos puntos, uno de cada lado de la recta (1,3) (4,1)
7 Graficar el conjunto de soluciones Ejemplo 1 (cont.) y x. Verificar que los puntos satisfacen la desigualdad. (1,3) y x sustituir en 3 1 (4,1) y x sustituir en (1,3) (4,1)
8 Graficar el conjunto de soluciones Ejemplo 1 (cont.) y x 3. Sombrear el lado donde se encuentra el par ordenado que satisface la desigualdad. Si la desigualdad es, entonces los puntos sobre la recta también pertenecen al conjunto solución (1,3) (4,1)
9 Graficar el conjunto de soluciones Graficar el conjunto solución de la desigualdad x - y 4 Solución: Usar la ecuación como punto de comienzo. Despejar la ecuación de la recta para y x - y = 4 y = 1 x - Dos puntos: (0,-) (4,0) Grafique la recta
10 Graficar el conjunto de soluciones Considere la desigualdad x - y 4 x - y = 4 y = 1 x - Elija un punto en cada región. 3 1 (0,1) (6,0)
11 Graficar el conjunto de soluciones Considere la desigualdad x - y 4 (cont.) Elegir un punto en cada región. Pruebe los puntos en la desigualdad original. (0,1) sustituir en x - y (1) 4-4 (0,1) 3 1 (6,0) sustituir en x - y (0) (6,0)
12 Graficar el conjunto de soluciones Considere la desigualdad x - y 4 (6,0) x - y 4 sustituir en 6 - (0) (0,1) (6,0)
13 Graficar el conjunto de soluciones Considere la desigualdad x - y 4, (cont.) Sombrear el lado donde se encuentra el par ordenado que satisface la desigualdad!! 3 1 (0,1)
14 Método alterno Considere nuevamente desigualdad x - y 4 Se puede trabajar directamente con la desigualdad. Primeramente, se despeja la desigualdad para y: x - y 4 - y 4 - x y 4 x y 1 X Recuerda que al dividir o multiplicar una desigualdad por un número negativo, debes cambiar la desigualdad El símbolo implica que las soluciones se encuentran en la región que está en y sobre la recta
15 Graficar el conjunto de soluciones x - 3y > -3
16 Sistemas de desigualdades lineales Un sistema de inecuaciones lineales en una variable es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales de la forma a 1 x + b 1 y < c 1 a x + b y < c a 3 x + b 3 y < c 3 o con cualquier otro signo de desigualdad, donde a 1, a,, a n y b 1, b,, b n son coeficientes lineales y c 1, c,, c n son constantes. El conjunto solución de un sistema es el conjunto de pares ordenados que satisface simultáneamente todas las desigualdades del sistema. La región del plano que contiene el conjunto solución del sistema se conoce como la región factible del sistema.
17 Resolviendo un sistema de desigualdades Ejemplo 1: Determine el conjunto solución de: x + y -1 -x + y <
18 Resolviendo un sistema de desigualdades Ejemplo 1: (continuación) x + y -1 región factible -x + y < El conjunto solución del sistema se encuentra donde las dos regiones sombreadas se intersecan, incluyendo las fronteras, si es necesario.
19 Resolviendo un sistema de desigualdades Ejemplo : Muestre el conjunto de soluciones en el plano de: -x + 3y < -6 5x + 4y < 1
20 Resolviendo un sistema de desigualdades Ejemplo : (continuación) -x + 3y < -6 5x + 4y < 1 El conjunto de soluciones del sistema se encuentra donde las dos regiones sombreadas se intersecan, NO se incluyen las fronteras.
21 Resolviendo un sistema de desigualdades Ejemplo 3: Determine el conjunto de soluciones de: x - 4y 1 4y + x 1
22 Resolviendo un sistema de desigualdades Ejemplo 3: (continuación) x - 4y 1 4y + x 1 El conjunto de soluciones del sistema se encuentra donde las dos regiones sombreadas se intersecan. (Se incluyen fronteras.)
23 Aplicaciones EJEMPLO (Inversiones) Un accionista planea invertir $30,000 en dos inversiones; A y B. La acción A está valuada actualmente en $165 y la acción B en $90 por acción. La acción A actualmente paga un dividendo de $6 por acción y la inversión B paga $5 por acción. Si el accionista requiere que la inversión le pague más de $1400 en dividendos, bosqueje la gráfica de la región permitida. SOLUCION: Existen dos inversiones: x: acciones de A que se compran y: acciones de B que se compran Ecuaciones: El valor total de las acciones que se compran no puede pasar de $30, x + 90y 30,000 El inversionista quiere ganar más de $1400 6x + 5y > 1400
24 Aplicaciones (cont.) SOLUCION: Existen dos inversiones: x: acciones de A que se compran y: acciones de B que se compran El sistema que debemos resolver es: 165x + 90y x + 5y > 1400 y 0 x 0
25 Aplicaciones (cont.) SOLUCION: Existen dos inversiones: x: acciones de A que se compran y: acciones de B que se compran El sistema que debemos resolver es: 165x + 90y x + 5y > 1400 y 0 x 0
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