Repaso: Identificar la gráfica de cada ecuación.

Transcripción

1 Repaso: Identificar la gráfica de cada ecuación.

2 1.2 Funciones y grafícas Presentación 2 MATE 3002

3 Correspondencias entre conjuntos La idea de una correspondencia: A cada persona le corresponde una fecha de nacimiento Cada libro en la biblioteca le corresponde un número de páginas En cada caso existen dos conjuntos, D e I Ej. D = personas I = fechas de nacimiento y una regla de correspondencia, R, que le asigna a cada elemento en D un elemento de I.

4 Otro ejemplo de una correspondencia Ejemplo: Dueños de automóviles: Conjunto A: personas Conjunto B: tipos de carro Dominio: el conjunto de todas las personas que son dueños de al menos un carro. Rango: Conjunto de todo tipo de automóvil que le pertenece a alguna persona. Regla de correspondencia: a A «es dueño de un auto de marca» b B

5 Otro ejemplo de una correspondencia Sea D el conjunto de toda persona que es padre o madre Sea I el conjunto de todas las personas. Sea la regla de correspondencia R: x D es padre o madre de y I

6 Función Se define una función, f, desde D a R como una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de D exactamente un elemento, y, de R : x 1 x 2 x 3 y 2 y 1

7 Concepto de Función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos. El primer conjunto se llama dominio, y el segundo conjunto se llama rango, campo de valores, alcance o imagen. Cada elemento del dominio corresponde a exactamente un elemento del campo de valores. Es importante notar que NO cualquier correspondencia entre dos conjuntos es una función.

8 Determinar si los ejemplos anteriores de correspondencias representan funciones. x D es padre o madre de y I a A «es dueño de un auto de marca» b B A cada persona le corresponde una fecha de nacimiento No es una función. No es una función Si es una función Si es una función

9 Ejemplo Determine la siguiente correspondencia es una función. a Esta correspondencia es una función porque cada elemento del dominio corresponde a exactamente un elemento del rango o campo de valores. Nota: La definición de función permite que diferentes elementos del dominio correspondan a un mismo elemento del campo de valores.

10 Ejemplo (continuación) Determine si la siguiente correspondencia es una función. b. Helen Mirren Jennifer Hudson Leonardo DiCaprio Jamie Foxx The Queen Blood Diamond Dreamgirls The Departed Esta correspondencia NO ES una función ya que un elemento del dominio, (Leonardo DiCaprio) está pareado con más de un elemento del campo de valores (Blood Diamond and The Departed).

11 Relación Cuando la regla de correspondencia entre un dominio y un rango se describe como un conjunto de pares ordenados, se conoce como una relación binaria. Ejemplo: {(9, 5), (9, 5), (2, 4)} El dominio es el conjunto formado por la primera coordenada de cada punto: {9, 2}. El campo de valores es el conjunto formado por la segunda coordenada de cada punto: : { 5, 5, 4}. Esta relación NO representa una función ya que el elemento 9 del dominio corresponde a dos valores distintos del campo de valores.

12 Ejemplo (continuación) Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores. b. {( 2, 5), (5, 7), (0, 1), (4, 2)} ES una función. Ninguno de los pares ordenados tiene la misma coordenada en la primera posición asignada a diferentes coordenadas en la segunda posición. Dominio: el conjunto de primeras coordenadas { 2, 5, 0, 4}. Campo de valores: el conjunto de segundas coordenadas: {5, 7, 1, 2}.

13 Ejemplo (continuación) Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores. b. {( 5, 3), (0, 3), (6, 3)} Dominio: { 5, 0, 6}. Campo de valores: {3}. ES una función. La definición de función permite que más de un elemento del dominio corresponda a un mismo elemento del campo de valores.

14 Ejemplo gráfico de una relación Nombre los pares ordenados de la grafica. Enumere los miembros del dominio D ={1, 4, 5, 7, 13, 14, 15, 19, 20} Enumere los miembros del rango. R ={1, 4, 8, 10, 12, 13} Representa una función? No, a 19 le corresponden dos valores en el rango. {(1,1), (4,8), (5,10), (7,4), (13,10), (14,1), (15,1), (19,10), (19,13), (20,12)}

15 Ejemplo matemático de una función Las ecuaciones se pueden utilizar para describir relaciones binarias y funciones. Ej. y = ½ x + 1 Algunos pares ordenados que representan soluciones de la ecuación son: x y y = ½ x + 1 es una función? Si, por que a cada valor de x sólo le corresponde UN valor de y.

16 Notación de funciones Los valores de entrada (miembers del dominio) se sustituyen por x en la ecuación. Los valores de salida (miembros del rango) son los valores resultantes. Cuando una ecuación representa una función usamos una notación especial. f (x) se lee f de x, o f en x, o el valor de f en x. Por ejemplo: f(x) = ½ x + 1; Cuando evaluamos una función: f(4) = ½(4) + 1 = 3

17 Ejemplo Para f(x) = 2x 2 x + 3, determinar cada uno de los siguientes valores. a. f (0) b. f ( 7) c. f (5a) d. f (a 4) a. f (0) f (0) = 2(0) = = 3 b. f ( 7) f ( 7) = 2( 7) 2 ( 7) + 3 = = 108 Copyright 2009 Pearson

18 Gráficas de funciones Trazamos las gráficas de funciones igual que trazamos las gráficas de ecuaciones. 1. Hallamos los pares ordenados (x, y), o (x, f (x)) 2. Localizamos los puntos 3. Completamos la gráfica uniendo los puntos con una curva que sigue el mismo patrón.

19 Ejemplo Trazar la gráfica de f (x) = x 2 5. x f (x) (x, f (x)) 4 ( 3, 4) 1 ( 2, 1) 4 ( 1, 4) 5 (0, 5) 4 (1, 4) 1 (2, 1) 4 (3, 4)

20 Ejemplo Use la gráfica de g (x) =½ x 2 3 para identificar los siguientes valores de la función a. f (4) b. f ( 1) a. Localice el valor de 4 sobre el eje horizontal. b. Mover verticalmente hacia la gráfica de la función. c. Finalmente, moverse horizontalmente para identificar el valor de salida. f (4) = 5

21 Ejemplo Use la gráfica de g (x) =½ x 2 3 para identificar los siguientes valores de la función b. f ( 1) a. Localice el valor de -1 sobre el eje horizontal. b. Mover verticalmente hacia la gráfica de la función. c. Finalmente, moverse horizontalmente para identificar el valor de salida. f (-1) = - 2.5

22 Prueba de la línea vertical Si es posible dibujar una línea vertical que cruce una gráfica más de una vez, entonces la gráfica NO representa una función.

23 Ejemplo Indique cuáles de la siguientes gráficas (a) - (c) (en rojo) son gráficas de funciones? Si. No. No.

24 Ejemplo (cont.) Indique cuáles de la siguientes gráficas (d) - (f) (en rojo) son gráficas de funciones? No. Si. Si. En la gráfica (f), ( 1, 1) pertenece a la gráfica, pero ( 1, 2) NO pertenece a la gráfica.

25 Hallar el dominio de una función Si las entradas y salidas de una función, f, son números reales y la regla de correspondencia se da con una fórmula, entonces el dominio es el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida (produce un número real) si al sustituir un valor en la expresión, NO se produce un número real, decimos que la expresión NO está definida para ese valor, y el valor NO pertenece al dominio de la función.

26 Ejemplo Evaluar la función en los valores dados y determinar si los valores dados pertenecen al dominio de la función. a. f (1) b. f (3) f (x) 1 x 3 a. f (1) f (1) Como f (1) está definido, 1 está en el dominio de f. b. f (3) f (3) Como división entre 0 NO está definido, f (3) no existe y, 3 NO está en el dominio de f.

27 Ejemplo Evaluar la función en los valores dados y determinar si pertenecen al dominio de la función o no. a. h (2) h x = 3x2 x + 7 x 2 h 2 = 3(2) = = 17 0 Como h (2) NO está definido, 2 no pertenece al dominio de h.

28 Ejemplo Describir el dominio de: h x = 3x2 x + 7 x 2 Como 2 es el único valor que hace que el denominador sea igual a cero, 2 es el único número real no pertenece al dominio de h. Describimos el dominio: 1. Consiste de todos los números reales excepto R 2 3., 2 2, (notación de intervalo)

29 Ejemplo Trace la gráfica de y = x 1 Identifique el dominio y rango. Determine si es la gráfica de una función. x y (x, y) NE NE NE 0 (1, 0) 1 (2, 1) 2 (5, 2) 3 (10, 3) La gráfica pasa la prueba de la línea vertical.

30 Ejemplo Trace la gráfica de Identifique el dominio y rango. Determine si es la gráfica de una función.. f ( x) x 4 x y (x, y) 6 NE 4 0 (-4, 0) Range = [0, ) -3 1 (-3, 1) 0 2 (0, 2) 5 3 (5, 3) Domain = [ 4, )