1 NÚMEROS REALES. Tema 1 Números reales. Curso 2017/ El conjunto R.

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1 Tema Números reales. Curso 07/8 NÚMEROS REALES El Cálculo Innitesimal centran su trabajo en las funciones y sus propiedades. Pero para poder estudiarlas, previamente es esencial conocer con detalle las propiedades de los números reales. Posteriormente introduciremos el concepto de función real y algunas de sus propiedades más básicas, para nalizar presentando las funciones elementales con las que trabajaremos el resto de la asignatura.. El conjunto R. Podríamos decir que el Análisis Matemático está basado en el concepto de número real, al cual se ha llegado después de siglos de estudio a través de distintas clases de números: naturales, enteros, racionales e irracionales. Nosotros, sin embargo, tomaremos como punto de partida la denición axiomática de los números reales a partir de las propiedades básicas que caracterizan estos números, para después deducir otras propiedades conocidas y denir las otras clases de números... Axiomática de los números reales El conjunto de los números reales se denota por R. y está dotado de dos operaciones: La suma se representa por a + b con a, b R. El producto se representa por a b (o simplemente ab) con a, b R. Estas operaciones verican unas series de propiedades que llamamos axiomas de los números reales y que clasicaremos en tres grupos: de cuerpo, de orden y de completitud. Axiomas de cuerpo: Dados a, b, c R () Propiedad asociativa (suma/producto): a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c () Propiedad conmutativa (suma/producto): a + b = b + a a b = b a Departamento de Análisis Matemático Asignatura: Análisis Matemático

2 Tema Números reales. Curso 07/8 (3) Propiedad distributiva: a (b + c) = (a b) + (a c) (4) Existencia de elementos neutros: a R 0 R tal que a + 0 = a a R R ( 0) tal que a = a (5) Existencia de elementos opuestos o inversos a R a R tal que a + ( a) = 0 a R a R tal que a a = A partir de ahora escribiremos a b en lugar de a + ( b) y a/b en lugar de a b. En R existe una relación de orden que se denota por < (se lee menor que) y que verica las siguientes propiedades. Axiomas de orden: (6) Tricotomía: a, b R o bien a < b, o bien b < a ó a = b. (7) Transitividad: Dados a, b, c R Si a < b y b < c entonces a < c. (8) Compatibilidad de < con +: Dados a, b, c R, Si a < b entonces a + c < b + c (9) Compatibilidad de < con : Dados a, b R y c > 0 Si a < b entonces a c < b c. Se puede denir entonces las relaciones: > Mayor que: a > b si b < a. Menor o igual que: a b si a < b ó a = b. Departamento de Análisis Matemático Asignatura: Análisis Matemático

3 Tema Números reales. Curso 07/8 Mayor o igual que: a b si a > b ó a = b. Para poder expresar el décimo axioma, necesitaremos algunos conceptos previos. Dado un conjunto contenido en R, A R, decimos que b R es una cota superior de A si a b a A. Y si A tiene cota superior se dice que A está acotado superiormente. Análogamente decimos que b R es una cota inferior de A si a b a A, y en caso de existir una cota inferior de A se dice que A está acotado inferiormente. Un conjunto acotado inferior y superiormente se dice acotado. Decimos que a R es el supremo de A (y se denotará por sup A) si es la menor de las cotas superiores de A, es decir, si b es una cota superior de A entonces sup A b. Si sup A A, decimos que es máximo, representándolo como max A. Análogamente, decimos que a R es el ínmo de A (y se denotará por inf A) si es la mayor de las cotas inferiores de A, es decir, si b es una cota inferior de A entonces inf A b. Si inf A A, decimos que es mínimo, representándolo como min A. Axioma de completitud o del supremo: (0) Todo conjunto de números reales A R acotado superiormente y no vacío tiene supremo. Estas 0 propiedades le dan a R estructura de cuerpo conmutativo, ordenado y completo, y son los axiomas de R porque a partir de ellas podemos deducir todas las propiedades de R. Propiedades.. Algunas propiedades que se deducen de los axiomas de cuerpo son las siguientes Si a + b = a + c entonces b = c. En particular 0 es único y el elemento simétrico es único. Si a b = a c y a 0 entonces b = c. En particular es único y el elemento inverso es único. a 0 = 0. ( a) = a y (a ) = a. ( ) a = a y a ( b) = (a b). Departamento de Análisis Matemático 3 Asignatura: Análisis Matemático

4 Tema Números reales. Curso 07/8 Si a b = 0 entonces o bien a = 0 o bien b = 0 (o ambas). Algunas propiedades que se deducen de los axiomas de cuerpo y orden: Si a < b y c < d entonces a + c < b + d Si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a + b y 0 < a b La relación a < b es equivalente a la relación b < a Si a < b y c < 0 entonces b c < a c Si a < 0 y b < 0 entonces 0 < a b Si 0 < a < b entonces 0 < b < a Para cada a R con a 0, se tiene que a = a a > 0. En particular, > 0. Consecuencia del axioma de completitud Todo conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente tiene ínmo. Propiedades. (Caracterización de supremo e ínmo). Sea A R no vacío y sea α R. (a) α = sup A si y sólo si (b) α = inf A si y sólo si (i) α es cota superior de A. (ii) ε > 0, a A tal que α ε < a. (i) α es cota inferior de A. (ii) ε > 0, a A tal que a < α + ε... Los conjuntos N, Z y Q. Hay varios subconjuntos de R que tienen propiedades especiales que no poseen otros. Destacamos los llamados conjuntos inductivos que nos permitirán denir los números naturales, enteros y racionales. Denición.3. Un conjunto S R se dice inductivo si Departamento de Análisis Matemático 4 Asignatura: Análisis Matemático

5 Tema Números reales. Curso 07/8 () S. () Si x S, entonces x+ S. Denición.4. Un número real se dice que es natural si pertenece a todos los conjuntos inductivos de R. Es decir, N es la intersección de todos los conjuntos inductivos de R: N = S inductivo S. Observación.5. El conjunto N (con la denición anterior) es inductivo. Teorema.6 (Principio de Inducción). Si S N es un conjunto inductivo, entonces S = N Teorema.7 (Principio de Inducción, versión práctica). Consideremos la notación P (n) para denotar que cierta propiedad P es cierta para el número natural n. Entonces para demostrar P (n) para cada n N, basta demostrar P (). P (k) P (k + ). Propiedades.8. Algunas propiedades de N (consecuencia de los axiomas de R y del Principio de Inducción): Si n N, entonces n. Si n N y n entonces n N. Si n, m N entonces n + m N y n m N. Si n, m N y n < m entonces m n N. Si n N, x R y n < x < n + entonces x / N. Si n, m N y n < m entonces n + m. Teorema.9. El conjunto N no está acotado superiormente. Teorema.0 (Principio de buena ordenación). Todo conjunto no vacío de números naturales tiene un primer elemento. A partir de N podemos denir los conjuntos Z y Q. Departamento de Análisis Matemático 5 Asignatura: Análisis Matemático

6 Tema Números reales. Curso 07/8 Denición.. Se dene el conjunto de números enteros Z como Z := N {0} {x R : x N} = {x R : x N ó x = 0 ó x o N}. Se dene el conjunto de los números racionales como Q := {x R : x = p/q, p Z, q N} = {x R : x = p/q,, q Z, q 0}. Observación.. Q R pues R \ Q. A los números del conjunto R \ Q se les llama irracionales. Teorema.3 (Propiedad Arquimediana de R). Sean x, y R con x > 0. Entonces existe n N tal que y < nx. Corolario.4. Para cada x R con x > 0, existe n N tal que 0 < n < x. Teorema.5 (Densidad de Q y R \ Q en R). Entre dos números reales distintos siempre existe un número racional y uno irracional. Representación gráca de R: El conjunto R se representa con una recta, es decir, que en una recta jamos los puntos 0 y, y entonces existe una correspondencia uno a uno de R con los puntos de la recta. Figure : Recta real Representación decimal en R: Todo número real 0 x < tiene una representación decimal de la forma: x = 0.a a a 3, donde cada a i (i =,, 3, ) es uno de los números 0,,,, 8, 9. Si a partir de algún a i, una cifra o un grupo de cifras consecutivas se repite, la representación decimal se llama periódica y corresponde a números racionales; mientras que las no periódicas corresponde a números irracionales. Departamento de Análisis Matemático 6 Asignatura: Análisis Matemático

7 Tema Números reales. Curso 07/8 Denición.6 (Parte entera). Dado x R, existe un único número p Z tal que p x < p +. A tal número p se le llama Parte entera de x y se denotará, indistintamente, por E(x) ó [x]. 3 3 Figure : Función Parte Entera. Conceptos métricos y topológicos Denición.7 (Valor absoluto). El valor absoluto de un número real x se representa por x y se dene como x si x 0 x = x si x < 0. o equivalentemente como x = max{x, x}. Propiedades.8. Propiedades del valor absoluto: Para todo x, y R x 0 y x = 0 x = 0. x = x. x x x. Dado a R +, x < a a < x < a. x y = x y. Si y 0, x y = x y. Desigualdad Triangular: x + y x + y. Desigualdad Triangular inversa: x y x y. Departamento de Análisis Matemático 7 Asignatura: Análisis Matemático

8 Tema Números reales. Curso 07/8 Denición.9 (Distancia). Dados x, y R, de dene la distancia entre x e y como el número real d(x, y) = y x. Propiedades.0. Propiedades de la distancia: Para todo x, y, z R d(x, y) 0 y d(x, y) = 0 x = y. d(x, y) = d(y, x). d(x, y) d(x, z) + d(y, z). d(x, y) = d(x + z, y + z). R por tener denida una distancia se dice que es un espacio métrico. Denición. (Intervalos). Dados x, y R denimos los intervalos acotados: Intervalo cerrado: [x, y] = {a R : x a y}. Intervalo abierto: (x, y) = {a R : x < a < y}. Intervalos semiabiertos o semicerrados: [x, y) = {a R : x a < y}. (x, y] = {a R : x < a y}. Consideramos la recta real ampliada R = R {, + } donde añadimos al conjunto de los números reales dos elementos con la propiedad < x < +, x R. Entonces denimos los intervalos no acotados o semirrectas: [x, + ) = {a R : x a} (x, + ) = {a R : x < a} (, y] = {a R : a y} (, y) = {a R : a < y}. Así tenemos: (, + ) = R, (, 0) = R y (0, + ) = R +. Denición. (Conceptos topológicos). Dado a R y r R +, denimos la bola abierta de centro a y radio r como B(a, r) = (a r, a + r) = {x R : x a < r} = {x R : d(a, x) < r}. Y la bola cerrada de centro a y radio r es B(a, r) = [a r, a + r] = {x R : x a r} = {x R : d(a, x) r}. Departamento de Análisis Matemático 8 Asignatura: Análisis Matemático

9 Tema Números reales. Curso 07/8 Dado un conjunto A R, decimos que a R es un punto interior de A si existe r R + tal que a B(a, r) A. El conjunto de todos los puntos interiores de A se llama interior de A y se denota int(a). Decimos que un conjunto A R es abierto si A = int(a). Y decimos que es cerrado si su complementario A c = R \ A es abierto. Dado un conjunto A R decimos que a R es un punto de acumulación de A si r R + se tiene que B(a, r) (A \ {a}). El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se llama derivado y se denota por A. Y el conjunto A A se llama clausura, cierre o adherencia de A y se denota por A. Un conjunto A R se dice compacto si es cerrado y acotado. Observación.3. Estos conceptos denidos en R se pueden denir de forma análoga en espacios más generales como por ejemplo el espacio producto R = R R que está formado por parejas de puntos (x, y) donde x, y R. Este espacio es el conocido como plano real y que representamos grácamente con dos ejes perpendiculares: eje OX y eje OY. Igualmente podemos considerar cualquier espacio euclídeo R n = R } {{ R que se estudiará en el segundo cuatrimestre. } n veces Propiedades.4. Propiedades de los conceptos topológicos: El conjunto vacío y R son abiertos y cerrados a la vez (los únicos conjuntos con esta propiedad). La unión de conjuntos abiertos es abierto. La intersección nita de conjuntos abiertos es abierto. La unión nita de conjuntos cerrados es cerrado. La intersección de conjuntos cerrados es cerrado. Los intervalos de la forma (x, y), (, y), (x, + ) y las bolas abiertas son conjuntos abiertos. Los intervalos cerrados, bolas cerradas y conjuntos con un número nito de elementos son conjuntos cerrados. Departamento de Análisis Matemático 9 Asignatura: Análisis Matemático

10 Tema Números reales. Curso 07/8 Un conjunto A R es cerrado si y sólo si A = A. Un intervalo cerrado [x, y] y cualquier conjunto con un número nito de elementos es un conjunto compacto..3 Concepto de función real Vamos a estudiar el concepto de función con el que trabajaremos durante todo este cuatrimestre: función real de una variable real. Denición.5 (Función real). Una función real de variable real es una aplicación o regla que asocia a cada número real x de un subconjunto D de R (o de todo R) un sólo número real f(x). Se representa generalmente por las letras f, g, h,..., y. Por ejemplo: f : D R x y = f(x), es decir, que para cada x D existe un único número y R tal que y = f(x). Al conjunto D se le llama dominio de f y se denota en general por: Dom(f) = {x R : f(x) R}. El conjunto de todas la imágenes de los números del dominio de f se llama imagen o rango, y se denota por: Img(f) = {y R : x Dom(f) tal que y = f(x)}. Se llama gráca o grafo de f al conjunto: G(f) = {(x, f(x)) R : x Dom(f)}, es decir, el formado por los puntos del plano real que verican que la segunda coordenada (ordenada) es imagen de la primera (abscisa). El dibujo de G(f) representado en el sistema de referencia formado por los ejes de abscisa (OX) y de ordenada (OY ) es la representación gráca de f. Ejemplos.6. f(x) = 3x, tiene como representación gráca una recta con Dom(f) = Img(f) = R. Departamento de Análisis Matemático 0 Asignatura: Análisis Matemático

11 Tema Números reales. Curso 07/8 y 3x 5 y x 5 x Figure 3: Grácas de las funciones f y g del Ejemplo.6 g(x) = x + 5, tiene como representación gráca una hipérbola con Dom(g) = R \ {}, Img(g) = x R \ {}. Denición.7 (Igualdad de funciones). Decimos que dos funciones f y g son iguales si: Dom(f) = Dom(g), f(x) = g(x), x Dom(f) = Dom(g). Operaciones con funciones: Dadas dos funciones f : Dom(f) R y g : Dom(g) R, denimos las siguientes operaciones: Suma: Diferencia: Producto: Cociente: f + g : Dom(f) Dom(g) R x (f + g)(x) = f(x) + g(x) f g : Dom(f) Dom(g) R f g : Dom(f) Dom(g) R f/g : D R x (f g)(x) = f(x) g(x) x (f g)(x) = f(x) g(x) x (f/g)(x) = f(x) g(x), donde D = Dom(f) Dom(g) \ {x Dom(g) : g(x) = 0}. Departamento de Análisis Matemático Asignatura: Análisis Matemático

12 Tema Números reales. Curso 07/8 Denición.8 (Composición de funciones). Dadas dos funciones f : Dom(f) R y g : Dom(g) R, denimos la función compuesta: g f : D R x (g f)(x) = g(f(x)), donde D = {x Dom(f) : f(x) Dom(g)}. En general, la composición de funciones no tiene la propiedad de conmutatividad, g f f g, de hecho la existencia de una de las composiciones no implica la de la otra. Ejemplo.9. Sea f(x) = x y g(x) = x, de forma que Dom(f) = R y Dom(g) = [0, + ). Entonces la composición f g(x) = x tiene dominio Dom(f g) = Dom(g). En cambio g f(x) = x y Dom(g f) = {x R : x /}..3. Tipos de funciones Denición.30 (Monotonía). Dada una función f y un subconjunto A Dom(f) decimos que f es monótona creciente en A si para cada x, y A con x y, se tiene que f(x) f(y). monótona decreciente en A si para cada x, y A con x y, se tiene que f(x) f(y). El crecimiento o decrecimiento será estricto si las desigualdades anteriores son estrictas. Denición.3 (Simetría). Una función f decimos que es par si para cada x Dom(f), se tiene que x Dom(f) y, además, f( x) = f(x); es decir, es simétrica respecto al eje OY. impar si para cada x Dom(f), se tiene que x Dom(f) y, además, f( x) = f(x); es decir, es simétrica respecto del Origen de Coordenadas O = (0, 0). periódica con periodo p R si para cada x Dom(f) se tiene que x + p Dom(f) y, además, f(x) = f(x + p), es decir, la gráca de f es la reiteración sucesiva de la gráca en un intervalo de longitud p. Denición.3 (Acotación). Dada una función f y un subconjunto A Dom(f) decimos que f está Departamento de Análisis Matemático Asignatura: Análisis Matemático

13 Tema Números reales. Curso 07/8 acotada superiormente en A si el conjunto f(a) := {f(x) : x A} está acotado superiormente, es decir, si M R tal que f(x) M x A acotada inferiormente en A si el conjunto f(a) está acotado inferiormente, es decir, si m R tal que f(x) m x A. acotada si lo está superior e inferiormente. En este caso la gráca está comprendida entre las rectas (horizontales) y = m e y = M. Denición.33 (Biyección). Dada una función f y un subconjunto A Dom(f) decimos que f inyectiva en A si a puntos distintos corresponden imágenes distintas, es decir, si x, y Dom(f) con x y, se tiene que f(x) f(y), o equivalentemente, para cada x, y Dom(f) con f(x) = f(y) se tiene que x = y. Grácamente equivale a que toda recta horizontal corte a la gráca de la función a lo sumo en un punto. sobreyectiva si todo numero real es imagen de algún punto del dominio, es decir, si para cada y R existe x Dom(f) tal que f(x) = y. Grácamente equivale a que toda recta horizontal corte a la gráca de la función al menos en un punto. biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, es decir, para cada y R existe un único x Dom(f) tal que y = f(x). Grácamente equivale a que toda recta horizontal corte a la gráca de la función exactamente en un punto. Denición.34 (Función inversa). Dada una función inyectiva f, se dene la función inversa de f y se denota por f, como: f : Img(f) R y f (y) = x : f(x) = y, x Dom(f). Es decir, que se verica que (f f)(x) = x para cada x Dom(f) y que (f f )(y) = y para cada y Dom(f ) = Img(f). Departamento de Análisis Matemático 3 Asignatura: Análisis Matemático

14 Tema Números reales. Curso 07/8 Observación.35. Si f es una función inyectiva y (a, b) es un punto de la gráca de f (es decir, f(a) = b), entonces la función f está denida y su gráca pasa por el punto (b, a) (es decir, f (b) = a). Por tanto es fácil comprobar que las grácas de f y f son simétricas respecto de la recta y = x. Ejemplos.36. Veamos algunos ejemplos de funciones: f(x) = 3x. Sabemos que su gráca es una recta (ver gura 3). Es estrictamente creciente. No es par, ni impar, ni periódica. No está acotada ni inferiormente, ni superiormente en su dominio, R. Es biyectiva, y al ser inyectiva tiene función inversa f (x) = x+ 3. Como se puede ver en la siguiente gura (gura 4) las grácas son simétricas respecto a la recta y = x. y x 3 y 3x Figure 4: Gráca de la función f(x) = 3x y su inversa f (x) = x +. 3 f(x) = x. Dom(f) = R, Img(f) = {x R : x 0}. Si representamos grácamente la función f tenemos la gráca de la gura 5. f es estrictamente decreciente en (, 0) y estrictamente creciente en (0, + ). Es una función par, simétrica respecto al eje 0Y. Está acotada inferiormente porque x R, f(x) 0. No es inyectiva en su dominio, ni sobreyectiva, luego no tiene inversa. Pero si restringimos la función f a R +, f = f R +, es decir, evaluada sólo en números positivos ( f(x) = f(x), x R + ), entonces sí sería inyectiva y existe la inversa f (x) = x (ver gura 5). f(x) = x. Dom(f) = Img(f) = {x R : x 0}. Es una función estrictamente creciente cuya gráca se encuentra en el primer cuadrante. No es función par, ni impar. Es inyectiva pero no sobreyectiva. Su inversa ya sabemos que es la función f (x) = x con dominio {x R : x 0}. Departamento de Análisis Matemático 4 Asignatura: Análisis Matemático

15 Tema Números reales. Curso 07/8 g(x) = x 3. Dom(g) = R, Img(g) = R. Es estrictamente creciente e impar. Es biyectiva y tiene función inversa g (x) = 3 x (ver gura 5). y x y x y x 3 y 3 x Figure 5: Grácas de las funciones f(x) = x, g(x) = x 3, f (x) = x y g (x) = 3 x. f(x) = x. Dom(f) = R, Img(f) = {x R : x 0}. Función estrictamente decreciente en (, 0) y estrictamente creciente en (0, + ). Es par y no inyectiva, luego no tiene inversa en todo su dominio. y x Figure 6: Gráca de la función f(x) = x. Departamento de Análisis Matemático 5 Asignatura: Análisis Matemático

16 Tema Números reales. Curso 07/8.4 Funciones elementales.4. Funciones polinómicas Son aquellas denidas mediante un polinomio de la forma: f(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0, donde a i R, i = 0,,, n, y n N. Estas funciones tienen como dominio Dom(f) = R, pero la imagen dependerá de su denición. n = 0 Funciones constantes: f(x) = a. Img(f) = {a} y su gráca es una recta horizontal de ecuación y = a. No es inyectiva ni sobreyectiva. n = Funciones anes: f(x) = ax + b. Img(f) = R y su gráca es una recta de ecuación y = ax + b que pasa por el punto (0, b) y tiene pendiente a (a = tan(α), donde α es el ángulo de inclinación de la recta sobre el eje OX. Sabemos que si a > 0 la recta es creciente, y si a < 0 la recta es decreciente. El valor b se llama ordenada en el origen porque nos indica dónde corta al eje OY. Si b = 0, f(x) = ax se llama función lineal, siendo su gráca una recta que pasa por el origen de coordenadas. n = Funciones cuadráticas: ( ( f(x) )) = ax + bx + c. Su gráca es una parábola con eje de simetría b b vertical y vértice a, f. La monotonía e imagen dependerán del valor de a: a a > 0: f decrece en (, b a a < 0: f crece en (, b a b ) y crece en ( b, + ). Img(f) = {x R : x a a }. b ) y decrece en ( b, + ). Img(f) = {x R : x a a }..4. Funciones racionales Son aquellas denidas como cociente de dos polinomios: f(x) = P (x) Q(x) = a nx n + a n x n + + a x + a 0 b m x m + b n x n + + b x + b 0, donde a i, b j R, i =,,, n, j =,,, m, y n, m N. El dominio Dom(f) = R\{x R : Q(x) = 0}, es decir, todo R excepto un número nito de puntos. Departamento de Análisis Matemático 6 Asignatura: Análisis Matemático

17 Tema Curso 07/8 Números reales. Quizás la función racional más conocida es la de proporcionalidad inversa f (x) =, x cuya grá ca es una hipérbola de asíntotas los ejes coordenados. ax + b mx + n x = n/m. En general, la grá ca de una función racional del tipo horizontal la recta y = a/m y asíntota vertical la recta f (x) = es una hipérbola de asíntota.4.3 Funciones radicales De nición.37 (Raíz enésima). Sea x R y n N. Se de ne la raíz n-ésima (positiva) de x como el supremo del conjunto Ax,n = {y R : y n < x}. Observación.38. Es evidente que si n es par y x < 0, entonces Ax,n =, luego no se puede de nir la raíz n-ésima de un número negativo, para n par. Si x < 0 y n es impar, se puede de nir la raíz n-ésima negativa como el ín mo del conjunto Bx,n = {y R : x < y n } y es fácil comprobar que, en este caso, n x = n x. En estas condiciones, las funciones radicales son las que se pueden expresar como f :A R R: El dominio A depende del índice de la raíz, n x, n N A=R si n es impar A = [0, + ) si n es par. f (x) = En ambos casos, la función radical es estrictamente creciente en su dominio e inyectiva. La inversa de f (x) = n x es el polinomio f (x) = xn La función radical más conocida es (con dominio f (x) = + x [0, + ) en el caso en que que, junto con su simétrica n sea par). g(x) = x, trazan una grá ca que es una parábola de eje horizontal. f H xl x 3 - gh xl - x Figure 7: Grá cas de las funciones potenciales Departamento de Análisis Matemático 7 f (x) = x y g(x) = x. Asignatura: Análisis Matemático

18 Tema Números reales. Curso 07/8.4.4 Funciones exponenciales Denición.39 (Potencia en base a). Dado x R y a > se dene la potencia a x como sigue: Si x = n N Si x = m n con m Z y n N a x = a n = a (n)... a. a x = a m n = n a m. Si x = n con n N a x = a n = a n. Si x = 0, a 0 =. Si x R \ Q a x = sup{a r : r Q, r < x}. Si 0 < a <, a x = ( a) x; y si a =, entonces a x =. Propiedades.40. Algunas propiedades de la exponenciación. Para cada a, b > 0 y cada x, y R (a b) x = a x b x. a x a y = a x+y. (a x ) y = a x y. Si x < y entonces a x < a y si a > y a y < a x si 0 < a <. En estas condiciones, se dene la función exponencial en base a > 0 como f(x) = a x. Es una función estrictamente monótona e inyectiva, con Dom(f) = R e Img(f) = R + (excepto cuando a = ). Si 0 < a < es decreciente. Si a = es constante. Si a > es creciente. En cálculo es especialmente relevante la función exponencial en base e, un número irracional que se dene mediante un límite, y cuya representación decimal aproximadamente es.788. ( e = lim + n. n + n) Departamento de Análisis Matemático 8 Asignatura: Análisis Matemático

19 Tema Curso 07/8 Números reales. 3 ax, a> x ax, 0<a< Figure 8: Grá cas de las funciones exponenciales f (x) = ax..4.5 Funciones logarítmicas La función exponencial que llamaremos Dom(f ) = Si ax (a > 0, a 6= ) es inyectiva y por tanto tiene de nida una función inversa función logarítmica en base R+ y para todo 0 < a <, f x R+, f (x) = y a donde y denotaremos como: y R es decreciente. f (x) = loga x. y es el único real tal que a Si a >, f Por tanto = x. es creciente. 4 3 loga H xl, a > loga H xl, 0<a< -3-4 Figure 9: Grá cas de las funciones logarítmicas Departamento de Análisis Matemático 9 f (x) = loga x. Asignatura: Análisis Matemático

20 Tema Números reales. Curso 07/8 Propiedades.4. Algunas propiedades del logaritmo: a > 0, a, x, y R log a = 0 y log a a =. log a (x y) = log a x + log a y. ( ) x log a = log y a x log a y. log a (x y ) = y log a x. Si 0 < x < y entonces log a x < log a y si a > y log a y < log a x si 0 < a <. Hay dos bases para los logaritmos que se usan frecuentemente: en base 0 y en base e. En el último caso se llama logaritmo neperiano y se denota ln (o simplemente log). Fórmula del cambio de base: Para todo a, b > 0, a, b, y x R + log a x = log b x log b a..4.6 Funciones trigonométricas o circulares Estas son las funciones seno, coseno y tangente que a un número x R le asignan las razones trigonométricas del ángulo de x en radianes. Denición.4 (Funciones seno y coseno). Dado x R +, existe un único punto P en el círculo unidad tal que la distancia medida en sentido antihorario desde el (, 0) a lo largo de la circunferencia es igual a x. Entonces las coordenadas de P denen el sen x y cos x de forma que P = (cos x, sen x). Recordemos que π es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. Es decir, en el círculo unidad (radio ) la longitud de la circunferencia es π. En este caso, para x = π/ (un cuarto de la circunferencia), tenemos que sen x = y cos x = 0. Si x = π (mitad de la circunferencia) tenemos que sen x = 0 y cos x =. Si x > π (la longitud de la circunferencia), entonces se considera más de una vuelta completa al círculo para trazar el arco desde (, 0) hasta P. Si x = 0, sen x = 0 y cos x =. Si x < 0 entonces se traza el arco en el sentido horario y de igual manera existe un único punto P en el círculo cuya distancia desde (, 0) es igual a x. Departamento de Análisis Matemático 0 Asignatura: Análisis Matemático

21 Tema Números reales. Curso 07/8 Sen x P x Cos x Figure 0: Representación del seno y coseno de un número x en el círculo unidad. De esta forma a todo x R se le asocia un punto P y las funciones seno y coseno quedarían bien denidas. De esta denición podemos deducir las siguientes propiedades y representar sus grácas. Propiedades.43. Algunas propiedades del seno y coseno: El dominio de ambas funciones son R. sen x y cos x, x R, por lo que la imagen de ambas funciones es [, ]. La función seno es impar, y la función coseno es par. Ambas funciones son periódicas de periodo π. Ninguna es inyectiva en todo su dominio, pero sí lo son si nos restringimos a un intervalo de longitud π. sen(x + π ) = cos x y cos(x + π ) = sen x. sen x + cos x =. Fórmulas de la suma: Departamento de Análisis Matemático Asignatura: Análisis Matemático

22 Tema Números reales. Curso 07/8 sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y cos(x + y) = cos x cos y sen x sen y. Fórmulas del ángulo doble: sen(x) = sen x cos x cos(x) = cos x sen x. cos x = + cos(x) sen x = cos(x). 3 3 Figure : Grácas de las funciones seno y coseno. Denición.44 (Otras funciones trigonométricas). Se denen las funciones tangente, secante, cosecante, cotangente: tan x = sen x cos x sec x = cos x cosec x = sen x cotan x = tan x = cos x sen x Las grácas de estas funciones muestran sus propiedades. Denición.45 (Funciones trigonométricas inversas). Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las funciones seno, coseno y tangente restringidas a un intervalo donde sean inyectivas. Se considera la función seno en el intervalo [ π/, π/] donde es inyectiva, y su función inversa es el arco seno, arcsen x, con dominio [, ]. La función arco coseno, arccos x, es la inversa de la función coseno en el intervalo [0, π]. Y para la función tangente se considera también el intervalo [ π/, π/], de forma que su inversa es la función arco tangente, arctan x. Ver gura 3. Departamento de Análisis Matemático Asignatura: Análisis Matemático

23 Tema Números reales. Curso 07/8 4 Tan x 4 Sec x Cosec x 4 Cotan x Figure : Grácas de las funciones tangente, secante, cosecante y cotangente. Arcsen x Arccos x Arctan x Figure 3: Grácas de las funciones trigonométricas inversas. Departamento de Análisis Matemático 3 Asignatura: Análisis Matemático

24 Tema Curso 07/8 Números reales..4.7 Funciones hiperbólicas Son funciones de nidas a partir de la función exponencial Seno hiperbólico: Coseno hiperbólico: Tangente hiperbólica: senh x = ex como sigue: ex e x. cosh x = ex + e x. tanh x = ex e x. ex + e x 4 coshhxl senhhxl tanhhxl Figure 4: Grá cas de las funciones hiperbólicas. Departamento de Análisis Matemático 4 Asignatura: Análisis Matemático