Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. (x + 3) x = 1 x = 3

Transcripción

1 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. de 6 a) Escribe la epresión analítica de esta función. b) Observa la gráfica y di el valor de los siguientes ites: f (); f (); f () 8 4 ( + ), Ì a) f () = 3 4, > 8 +@ 4 5 b) f () f () = 4; f () = @ Representa las funciones: a) y = + 3 b) y = log ( + 3) a) y = + 3. Estudiamos la parábola y = + 3: Cortes con los ejes = 0, y = 3 y = = 0 = = Vértice y = ( ) + ( ) 3 = 4 Su representación es: = = 3 y = + 3 y = Así, los valores positivos quedan igual, y para los negativos tomamos sus opuestos. b) y = log ( + 3) 8 Dom = ( 3, +@) 5 Hallamos algunos puntos y vemos que: log ( + 3) y Su gráfica es: 5 3

2 BLOQUE II Análisis Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. de 6 3 La epresión analítica de esta función es del tipo: y = a + b a) Cuáles son los valores de a y de b? b) Di cuáles son sus asíntotas. c) Es discontinua en algún punto? a) a = 3; b = 4 b) Asíntota vertical: = 4 Asíntota horizontal: y = 3 c) Es discontinua en = 4, punto en el que no está definida la función. 4 Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones: a) y = ln ( ) b) y = cos c) y = a) (, +@) b) Á c) 0] 5 Halla la recta tangente a la curva y = + 5, que es paralela a la recta + y + 3 = 0. Pendiente de + y + 3 = 0: m = El valor de la derivada en el punto de tangencia debe ser igual a. f () = + 5 f'() = = 8 = 3 f (3) = = 6 8 Punto de tangencia: P(3, 6) Ecuación de la recta tangente buscada: y = 6 ( 3) 8 y = 9 6 Halla los puntos singulares de f () = Con ayuda de las ramas infinitas, di si son máimos o mínimos y representa la función. f () = f'() = f'() = = ( + 4) = 0 = 0 8 f (0) = 5 = 8 f () = = = 8 f ( ) = =

3 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 3 de 6 Los puntos singulares son (0, 5), (, ) y (, ). Ramas infinitas: Máimos: (, ) y (, ) Mínimo: (0, 5) 8 +@ ( ) ( ) Con las funciones f () = e y g() = hemos obtenido, por composición, estas otras: p() = e 4 ; q() = e ; r () = Epresa las funciones p, q y r a partir de f y g. p() = ( f g)() q() = ( g f )() r () = ( g g)() Calcula el ite de la función f () = en los siguientes casos: a) 8 3 b) 8 0 c) 8 +@ d) ( 3)( + ) ( + ) f () = = ( 3) 3 a) +@ b) 0 c) +@ 3 b si < 9 En la función: f () = 3 si = + 9 si > a) Calcula b para que tenga ite en =. b) Después de hallar b, eplica si f es continua en =. 3 b si < a) f () = 3 si = + 9 si > Para que tenga ite en =, debe cumplirse: f () = f () 8 f () = 3 b = 6 b f () = + 9 = b = 5 8 b = 8 +

4 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 4 de 6 b) Para que sea continua en =, debe ser f () = f (). 8 f () = 3 f () = 3 = 5 Como f ()? f (), f no es continua en = Halla la derivada de las siguientes funciones: ln 5 a) f () = b) f () = ( + ) c) f () = ln ( + 3 ) d) f () = + e) f () = e sen f)f () = + ln 8 70 a) f'() = b) f'() = c) f'() = ( + ) sen d) f'() = e) f'() = e + cos f) f'() = + ( ) ( )( + 3) 4 + Un capital de invertido en fondos de inversión, se supone que va a variar según la siguiente función: C = 3,5 + 0,04t 0,00t donde t es el tiempo que dura la inversión, en meses, y C es su valor en ese instante, en miles de euros. a) En qué momento conviene sacar el capital para que su valor sea máimo? b)si no se hace a su debido tiempo, en qué momento lo que queda es igual al capital inicial? c) Si nos descuidáramos y dejáramos la inversión indefinidamente, en qué momento nos quedaríamos sin nada? a) Será cuando se anule la derivada. C(t) = 3,5 + 0,04t 0,00t C'(t) = 0,04 0,00t 0,04 C'(t) = 0 8 0,04 0,00t = 0 8 t = 0,00 = 0 meses b) Nos pregunta para qué valor de t? 0 es C(t) = 3,5. 3,5 = 3,5 + 0,04t 0,00t 0,04 0 = t(0,04 0,00t) 8 t = 0,00 = 40 meses c) C(t) = 0 0 = 3,5 + 0,04t 0,00t 8 t 40 ± ( 40) 4 ( 3 500) 40t = 0 8 t = = 8,44 meses A partir de t = 83 meses, no tendríamos nada.

5 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 5 de 6 Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las funciones siguientes: a) y = 3 b) y = 4 a) f () = 3 8 f'() = 3 ; 3 = = 0 = Estudiamos el signo de f' para saber dónde crece y dónde decrece la función: f crece en ) «(, +@). f decrece en (, ). f' > 0 f' < 0 f' > b) f () = 8 f'() = = + 4 f'() = 0 8 = 0 No tiene solución. f' es positiva para cualquier valor de. f es creciente en todo su dominio: Á {0} 3 En la función y = estudia: a) Las asíntotas y la posición de la curva con respecto a ellas. b) Los máimos y los mínimos relativos. c) Representa su gráfica. y = a) Asíntotas verticales: = 0 8 =, = 3 Posición de = Posición de = 3 = +@ f () f () 8 +@ 3 Asíntota horizontal: 8 ±@ = 8 y = Posición: 8 +@ f () > f () <

6 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 6 de 6 b) Máimos y mínimos: ( 4 + 3) ( 4) f'() = = ( 4 + 3) ( 4 + 3) c) f'() = = 0 = 0 8 f (0) = 0 8 P(0, 0) es mínimo relativo = 8 f ( ) = 3 8 Q (, 3) es máimo relativo. 3 4 Cuál de estas funciones tiene asíntota oblicua? a) y = b) y = + c) y = Hállala y sitúa la curva con respecto a ella Tiene asíntota oblicua y = = +. La asíntota es y =. Posición: 8 +@ curva > asíntota curva < asíntota 5 Calcula a y b de modo que la función y = 3 + a + b tenga un punto singular en (, ). Si y = 3 + a + b tiene un punto singular en (, ), la curva pasa por ese punto y su derivada es igual a 0 en él. (, ) é (, f ()) 8 = 3 + a + b 8 a + b = 7 f'() = 0 en = 8 f'() = 3 + a 8 0 = 3 + a 8 + a = 0 a + b = 7 8 a =, b = 7 + a = 0 La función es y =