FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS 1. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN Q.

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1 FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS CON APLICACIONES EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL JORGE ALFONSO HERNÁNDEZ Profesor Titular de Matemática Facultad de Ciencias Económicas Universidad de El Salvador Condominio Jardines de Altamira, Edificio 3, Apartamento 13, Mejicanos, San Salvador, El Salvador, Centro América. Teléfono s: Casa ( Móvil ( Correo electrónico: 1. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN Q. Cuando se estudia el álgebra elemental se tiene como uno de sus contenidos La factorización de polinomios, en la cual se plantean algunos casos de factoreo o fórmulas que indican como, dado un polinomio que tiene una forma específica puede epresarse como el producto de dos o más factores diferentes de uno, en esta ocasión se menciona n los siguientes: La diferencia de dos Cuadrados : a b ( a + b( a b La diferencia de dos Cubos 3 3 : a b ( a b( a + ab + b La suma de dos cubos 3 3 : a + b ( a + b( a ab + b Pero, qué hay de la suma de dos cuadrados?; es decir: a + b? Muy poco o nada se dice al respecto, en los libros de álgebra elemental se afirma que no se puede factorizar sin que se obtenga factores irracionales, ya que a + b es primo; esto es, que solo es divisible por el mismo y uno, tales afirmaciones pueden llevar a pensar que todas

2 las sumas de dos cuadrados no se pueden factorizar, en el Es por esta razó n que se escribe lo siguiente: TEOREMA 1.1: Sea la suma de dos cuadr a d os a + b donde a, b Q y sea c ab, si c es una epresión racional; es decir, c ab es una raíz eacta entonces a + b se puede factoriz a r como a + b ( a + c + b( a c + b. DEMOSTRACION: + b a + ab ab b ya que ab ab 0 a + a + ab + ab + b ab ya que ab + ab ab y ley conmutativa de la suma a + ab + ab + b c ya que por hipótesis c ab ( a + ab + ( ab+ b c ley asociativa de la suma a( a + b + b( a + b c ley distributiva del producto sobre la suma ( a + b( a + b c ley distributiva del producto sobre la suma ( a + b( a + b ( a + b c + ( a + b c c ya que ( a + b c ( a + b c 0 [( a + b( a + b ( a + b c] + [( a + b c c ] ley asociativa de la suma ( a + b[ a + b c] + c[ a + b c] ley distributiva del producto sobre la suma ( a + b + c[ a + b c] ley distributiva del producto sobre la suma ( a + c + b( a c + b Ley conmutativa de la suma.

3 Así tenemos que: Si c ab Q a + b ( a + c + b( a c + b Ejemplo 1.1 Factorizar Tenemos que: + 81 ( + Entonces surge la pregunta: 9 Se podrá factorizar aplicando el teorem a 1.1? Con el propósito de obtener una respuesta tomamos: a b 9 y c ab ( ( De este modo tenemo s que "c" es una raíz eacta quiere decir que si se puede factorizar aplicando el teore ma 1.1. Así, sustituyen d o: a, b 9 y c 6 en a + b ( a + c + b( a c + b Obtene mo s lo siguiente: + 81 ( + 9( APLICANDO LA FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL. Ejemplo.1 Calcular la derivada de

4 Tenemos la función: factorizaremos el cuadradas de los sumandos: en donde + 9 numerador tomando las raíces Así c ( ( De donde obtenemos que: + 81 ( + 9 ( y al sustituirlo en la función queda: f ( + 9( ( + 9 Y al simplificar se obtiene: Derivando esta última epresión tenem os que: f '( 6 ( 3 f '( ( 3 3. FACTORIZANDO LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN EL CÁLCULO INTEGRAL. Para calcular la integral de una función tenemos varias formas de hacerlo, aplicando los diferentes métodos de integración, integrales inmediatas, integración por cambio de variable, por partes, etc. También podemos simplificar la función, si es posible, antes de aplicar los métodos de integración y de esta manera facilitar el cálculo de su integral Ejemplo 3.1 Calcular d. 6

5 Tenemos la integral d 6 numerador obtenemos: en donde al factorizar el (6 (6 6 d 6 d 6 (6 6 d C Donde C es la constan te de integración d 3 + C 6 5. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN R. En la primera parte se planteó la factorización de aquellas sumas de dos cuadrad os la cuales cumplen que: ab sea una raíz eacta, es decir, que ab pertenezca al conjunto de los números racionales, nótese que el ser una raíz eacta garantiza su eistencia. Cuando tomamos la suma de dos cuadrados en el conjunto de los númer o s reales, la condición de que ab sea una raíz eacta, ya no es necesaria, no importa que el resultado sea irracional; es decir, que ab Q', pero sí hay que garantizar su eistencia en el conjunto de los númer o s reales.

6 Teníamos que: C ab C ( ab ab C ab, sí ab 0 ab ab, sí ab < 0 Observemo s que cuando ab < 0, la epresión ab, no eiste en el conjun t o de los número s reales, pero cuan do ab 0, entonces ab si eiste en el conjunto de los númer os reales; esto es: Sí ab 0 entonces ab R. Pero Cuando es que se cumple que: ab 0? Cuando a > 0 b > 0 ó bien cuando a < 0 b < 0. Así pode m os escribir lo siguiente: Teorema 5.1: Sea la suma de dos cuadrados a + b, con a, b R, sí ab 0 entonces la suma de dos cuadrados se puede factorizar como: a + b ( a + ab + b ( a ab + b. Demostración: + b a + 0 b Sumand o cero, ya que a + 0 a a + a + ab ab + b Ya que ab ab 0. a + ab + b ab Propiedad conmutativa de la suma. a + ab + ab + b ab Ya que ab ab + ab ( a + ab + ( ab + b ab Ley asociativa de la suma. ( a + b + b ( a + b ab a Ley distributiva del producto sobre la suma.

7 ( a + b ( a + b ab Ley distributiva del producto sobre la suma. ( a + b ab Ya que a. a a ( a + b + ( a + b ab ( a + b ab ab Ya que ( a + b ab ( a + b ab 0 ( a + b + ( a + b ab] [ ( a + b ab + ab] [ Ley ( a + b [ a + b + ab] ab [ a + b + ab] Ley distributiva ( a + b ab [ a + b + ab] Ley distributiva ( a + ab + b ( a ab + b Ley conmutativa asociativa Por lo tanto tenemos que: ( a + ab + b ( a ab b Sí a, b R ab 0 a + b + Ejemplo 5.1 Factorizar +. Tenemos que + + Tomand o a y b tenemos que: ( + ( ( + ( ( ( + + ( + + ( + ( + + ( +

8 Como debe de cumplirse que ab 0; es decir, 0 0. ( + + ( + para 0. + A continuación se muestran algunos ejemplos en el cálculo de derivadas. Ejemplo 5. Calcular la derivada de la función Factorizando el numerador de f tenemos que: ( ( Luego derivando obtene m o s: f '( 1 5(10 1/ f '( Ejemplo 5.5 Calcular la derivada de la función Factorizando el numerador de f tenemos que: ( + 0 0(

9 + 0 0 Luego derivando obtene m o s: f '( 1+ 10(0 1/ f '( Observemo s algunos ejemplos en el cálculo de integrales. + 9 Ejemplo 5.6 Calcular d + 9 Tenemos la integral d en donde factorizando el numerador tenemos: + 9 ( ( 6 d d ( 6 d 1 3/ + C d 1 3/ + C 3 6

10 6. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS BICUADRADOS. En las secciones 1 y 5 hemos estudiado la factorización de la suma de dos cuadrados, en el conjunto de los números racionales y reales, respectivame n te. Ahora tomaremos el caso en que tengamos la suma de dos bicuadrados, es decir, el caso en que tengamos epresiones cuadráticas elevadas al cuadra d o, esto es: ( a + ( b a + b Corolario 6.1: Sean a, b Ry a + b una suma de dos bicuadrados entonces la suma de dos bicuadrados puede factorizarse como: a + b ( a + ab + b ( a ab + b Demostración: a + + b ( a ( b ya que ( a a ( b b ( a + a b + b ( a a b + b Por el teorema 5.1 con a b 0 ( a + ab + b ( a ab + b a, b R Ya que a b 0 se cumple a, b R Por lo Tanto: a + b ( a + ab + b ( a ab + b a, b R

11 Ejemplo 6.1 Factorizar + y. Tenemos + y en donde toman d o a b y obtenemos: + y ( + y + y ( y + y Ejemplo 6. Calcular la derivada de la función Tenemos la función 6 en donde factorizando + + el numerador tenemos que: ( + + ( Luego derivando obtene m o s: f '( 81 Ejemplo 6.6 Calcular d 9

12 81 Tenemos la integral d 9 en donde factorizando el 81 numerador tenemos: d 9 (9 (9 3 9 d (9 3 d C d C 9 7. LA FACTORIZACIÓN DE n a + b n PARA n PAR. En las secciones anteriores se ha estudiado la factorización de las epresiones a + b y a + b, en esta sección estudiaremos la factorización de n n a + b para N n y n par. n n Teorema 7.1 Sea la epresión algebraica a + b con n N y n par entonces n n a + b se puede factorizar como: n n m m m m m m m m a + b ( a + a b + b ( a a b + b para a m b m 0 y n m. Demo stración:

13 Tenemos la epresión n n a + b en donde como n es par, se puede escribir de la forma n m con m en el conjunto de los númer os naturales. Así n n m m a + b a + b ( m a + ( b m Luego aplicando el teore ma 5.1 tenemo s: m m m m m m m m ( a + a b + b ( a a b + b para a m b m 0 n n m m m m m m m m a + b ( a a b + b ( a a b + b + para n m y a m b m 0 Ejemplo 7.1 Factorizar y. Para la epresión y tenem os que n 0 (10 en donde tomando m 10 tenemo s que: y ( + ( y 10 ( y y ( y 10 + y 10 ( y y ( 5 5 y 10 + y y ( + y + y ( y + y 8. FACTORIZACIÓN DE m a + b n PARA m y n PARES.

14 Ahora trataremos el estudio de la generalización de la factorización de la suma de dos cuadrados, es decir, la factorización de la epresión m n a + b con m y n números naturales pares. Teorema 8.1 Sea la epresión algebraica m n a + b con m, N n y m, n pares entonces m n a + b se puede factorizar como: m n p p q q p p q a + b ( a + a b + b ( a a b + b para m p, n q y a p b q 0. Demostración: q Tenemos la epresión m n a + b en donde como m y n son pares, se pueden escribir de la forma: m p n q con p q en el conjunto de los números naturales. Así m n a + b a p + b q ( p a + ( b q Luego aplicando el teore ma 5.1 tenemo s: p p q q p p q q ( a + a b + b ( a a b + b para a p b q 0 + para m p, m n p p q q p p q q a + b ( a a b + b ( a a b + b n q a p b q 0 Ejemplo 8.1 Factorizar y.

15 Para la epresión y tenem os que: m 16 (8 n 8 (1 En donde toman d o p 8 q 1 tenem os que: y 8 1 ( + ( y 8 ( y y ( 8 1 y 1 + y 8 ( + 7 y y ( 7 y 1 + y y ( + y + y ( y + y Ejemplo 8. Factorizar y. Para la epresión y tenem os que: m 0 (0 n 60 (30 En donde toman d o p 0 q 30 tenemo s que: y 0 30 ( + ( y ( + y + y ( y + y ( + y + y ( y + y

16 y ( + y + y ( y + y 30

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