DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLE TRIGONOMÉTRICOS

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1 X DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLE TRIGONOMÉTRICOS Para integrales de la forma ± ± ( ) ( ) p ± a ± b d, en donde p() es un polinomio en el numerador o en el denominador (según tome el eponente el valor de + o de - ), mientras que el binomio (± a ± b ) es una raíz cuadrada que puede ir también en el numerador o en el denominador, se debe hacer el cambio de variable siguiente: para el radical hacer el cambio a + b a b b tan t a () b sec t a () b a b sen t () a 4

2 Esta técnica de integración consta de tres grandes pasos: PASO : PASO : PASO : Hacer el cambio de variable que le corresponda conforme al radical que aparezca y efectuar las operaciones algebraicas necesarias para que desaparezca el radical, con lo cual la integral original se transforma en una integral trigonométrica. Realizar la integral trigonométrica que resultó en el paso anterior. Regresar a la variable original, para lo cual: a) Se despeja la función trigonométrica del cambio de variable hecho inicialmente; b) se construye un triángulo rectángulo congruente con la función trigonométrica anterior y se calcula el tercer lado por el teorema de Pitágoras, el cual siempre va a ser la raíz cuadrada original. De allí se deducen los valores de las demás funciones trigonométricas que hayan aparecido en la integración (en el paso ); c) se sustituyen los equivalentes de dichas funciones trigonométricas en el resultado de la integración del paso. Ejemplo : Integrar 4 9 d Solución: Esta integral es de la forma mencionada al principio de este capítulo, ya que el polinomio es (en el denominador) y el radical de la forma a b aparece en el numerador, en donde a 4 b 9 a b le corresponde, conforme a la tabla de la página 4, el cambio de variable (), es decir, debe hacerse 48

3 PASO : Sea de donde y además d sect tant sect dt 9 sec t 4 sustituyendo en la integral original: 9 4 sec t 9 tant sect dt d 4 sect 4 9 9sec t 9 ( sec t ) 9 tan t dt tan t dt y como sec t tan t : 9tan t tant dt ( tant) tant dt tan t dt 49

4 Hasta aquí está realizado el paso. Obsérvese que se eliminó la raíz cuadrada y la integral original se convirtió en una integral trigonométrica. El paso consiste en resolver esta integral trigonométrica que resultó del paso. PASO : ( ) tan t dt sec t dt sec t dt tan t t + c dt Hasta aquí está resuelta la integral trigonométrica, pero en términos de la variable t que no es la original. El paso consiste en regresar a la variable original. PASO : a) El cambio de variable original fue sect. Despejando de aquí la función trigonomé- trica resulta que sect b) Para construir un triángulo rectángulo congruente con esa función trigonométrica debe tenerse en cuenta que las funciones trigonométricas solamente se sacan a ángulos, por lo tanto, si se tiene la secante de t, implica que t es el ángulo. Además, como la función secante es la hipotenusa entre el cateto adyacente, se deduce que es la hipotenusa y que es el cateto adyacente. Ver el triángulo rectángulo de la figura 0.. t figura 0. 50

5 El tercer lado, en este caso el cateto opuesto a t, se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras, el cual es siempre la raíz cuadrada origi- nal, 4 9 (figura 0.). Recordando que el resultado de la integración fue tan t t + c, del triángulo de la fi- gura debe deducirse el valor de la tangente de t (cateto opuesto entre cateto adyacente), o sea t figura tant 4 9 y de aquí mismo se obtiene que t arctan 4 9 aunque también del cambio de variable original, t arc sec c) Sustituyendo en el resultado de la integración trigonométrica: 4 9 tant t + c arc sec + c 5

6 4 9 d 4 9 arc sec + c COMPROBACIÓN: di 8 d

7 Ejemplo : Integrar d 5 4 Solución: Esta integral es de la forma mencionada al principio de este capítulo, ya que el polinomio es (en el numerador) y el radical de la forma b a aparece en el denominador, en donde a 4 b 5 a b 5 le corresponde, conforme a la tabla de la página 4, el cambio de variable (), es decir, debe hacerse PASO : Sea de donde y además d 5 5 sen t cos t dt 5 sen t 4 sustituyendo en la integral original: d sen t cost dt sen t 4 5

8 sen t cos t dt sen t sen t cos t dt ( sen t) y como sen t cos t : sen t cos t dt cos t 5 8 5cos t sen t cos t dt 5 8 sen t dt Hasta aquí está realizado el paso. Obsérvese que se eliminó la raíz cuadrada y la integral original se convirtió en una integral trigonométrica. El paso consiste en resolver esta integral trigonométrica que resultó del paso anterior. PASO : 5 5 sen t dt 8 8 ( ) cos t dt dt 8 cos t dt u t du dt 54

9 5 5 dt cos t ( dt) t 6 cosu du 5 5 t 6 senu + c 5 5 t 6 sent + c Hasta aquí está realizada la integral trigonométrica; sin embargo, como el regreso a la variable original requiere la construcción de un triángulo rectángulo en el que el ángulo sea la variable t, debe convertirse la función de ángulo doble ( sen t ) a una de ángulo simple a través de igualdades trigonométricas. Para este caso, como sen t sen t cos t, entonces el resultado final de la integración trigonométrica debe escribirse como 5 t 5 6 ( sentcost) 5 5 t sent cost 6 6 Hasta aquí está resuelta la integral trigonométrica, pero en términos de la variable t que no es la original. El paso consiste en regresar a la variable original. PASO : 5 a) El cambio de variable original fue sen t Despejando de aquí la función trigonomé- trica resulta que 55

10 sen t 5 b) Para construir un triángulo rectángulo congruente con esa función trigonométrica debe tenerse en cuenta que las funciones trigonométricas solamente se sacan a ángulos, por lo tanto, si se tiene el seno de t, implica que t es el ángulo. Además, como la función seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa, se deduce que es el cateto opuesto y que 5 es la hipotenusa. Ver el triángulo rectángulo de la figura 0.. figura 0. El tercer lado, en este caso el cateto adyacente a t, se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras, el cual es siempre la raíz cuadrada original, mo lo muestra la figura co- 5 Recordando que el resultado de la integración fue t 5 5 t 6 6 sent cost 5-4 del triángulo de la figura 4 debe deducirse el valor del coseno de t (cateto adyacente entre hipotenusa), o sea figura 0.4 cos t y de aquí mismo se obtiene que t arccos

11 aunque también del cambio de variable original, t arc sen 5 c) Sustituyendo en el resultado de la integración trigonométrica: t sen t cos t arc sen + c arc sen + c d arc sen + c Ejemplo : Integrar d Solución: Esta integral es de la forma mencionada al principio de este capítulo, ya que el polinomio es (en el numerador) y el radical de la forma a + b aparece en el denominador, en donde a 00 b 49 a 0 b le corresponde, conforme a la tabla de la página 4, el cambio de variable (), es decir, debe hacerse 5

12 PASO : Sea de donde y además d 0 0 tant sec t dt 49 tan t 00 sustituyendo en la integral original: tant d sec t dt 00 tan t tant sec t dt tan t tant sec t dt ( tan t + ) y como tan t + sec t : tantsec t dt sec t 58

13 49 00 sect tant sec t dt 00 tant sect dt Hasta aquí está realizado el paso. Obsérvese que se eliminó la raíz cuadrada y la integral original se convirtió en una integral trigonométrica. El paso consiste en resolver esta integral trigonométrica que resultó del paso anterior. PASO : 00 tant sect dt sect + c 00 (es directa de fórmula) Hasta aquí está resuelta la integral trigonométrica, pero en términos de la variable t que no es la original. El paso consiste en regresar a la variable original. PASO : a) El cambio de variable original fue tant. Despejando de aquí la función trigono- 0 métrica resulta que tant 0 b) Para construir un triángulo rectángulo congruente con esa función trigonométrica debe tenerse en cuenta que las funciones trigonométricas solamente se sacan a ángulos, por lo tanto, si se tiene la tangente de t, implica que t es el ángulo. Además, como la función tangente es el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se deduce que es el cateto opuesto y que 0 es el cateto adyacente. Ver el triángulo rectángulo de la figura 0.5. t 0 figura

14 El tercer lado, en este caso la hipotenusa, se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras (la suma de cuadrados de los catetos), el cual es la raíz cuadrada original figura , como lo muestra la Recordando que el resultado de la integración fue 00 sect + c t figura del triángulo de la figura 6 debe deducirse el valor de la secante de t (hipotenusa entre cateto adyacente), o sea sect c) Sustituyendo en el resultado de la integración trigonométrica: sect + c + c d c 00 OTRA FORMA: Esta integral se puede realizar de manera más directa y simple con un simple de variable: d ( 00 49) d 60

15 u du 00 d + 00 ( 00 49) ( 00d) 00 u du + u + c 00 + u + c c 00 6

16 EJERCICIO Integrar: ) 8 4 d ) + d 4 69 ) d 4) 9 + d d 5) 6) 5 d ) d 8) 00 d 9) 8 d 6

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