9 Vectores y rectas. Vector: AB = (b 1 a 1, b 2 a 2 ) Módulo: AB = Paramétricas: Continua: = OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

Transcripción

1 0308 _ qxd /7/08 :7 Página 343 es y rectas INTRODUIÓN Los vectores son utilizados en distintas ramas de la ísica que usan magnitudes vectoriales, por lo que es importante que los alumnos conozcan sus elementos y operaciones. Se introducen también en esta unidad las distintas ecuaciones de la recta y cómo identificar el vector director, la pendiente y la ordenada en el origen. RSUMN D L UNIDD : = (b a, b a ) Módulo: = cuaciones de la recta: ial: (x, y) = (a, b) + t (v, v ) x = a + tv Paramétricas: y = b + tv ( b a ) + ( b a ) x a y b ontinua: = v v Punto-pendiente: y b = m(x a) xplícita: y = mx + n General: x + y + = 0 OJTIVOS ONTNIDOS PRODIMINTOS. Identificar los elementos de un vector. oordenadas de un vector. Módulo, dirección y sentido. es equivalentes y paralelos. álculo del módulo de un vector a partir de sus coordenadas. Identificación de vectores equivalentes y paralelos.. Realizar operaciones con vectores. Suma y resta de vectores. Multiplicación de un vector por un número. Suma de un punto y un vector. Operaciones con vectores gráfica y analíticamente. Operaciones con puntos y vectores gráfica y analíticamente. 3. xpresar las rectas mediante sus diferentes ecuaciones. cuaciones vectorial y paramétricas de una recta. cuaciones continua y punto-pendiente. director, pendiente y ordenada en el origen de la recta. cuaciones explícita y general. xpresión de las distintas ecuaciones de una recta: vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente, explícita y general, dados dos de sus puntos. Obtención del vector director, la pendiente y la ordenada en el origen de una recta. DPTIÓN URRIULR 4. Posiciones relativas de dos rectas. Rectas paralelas, coincidentes y secantes. Rectas paralelas a los ejes de coordenadas. studio de la posición relativa de dos rectas. Identificación de rectas paralelas a los ejes de coordenadas. MTMÁTIS 4. SO MTRIL OTOOPIL SNTILLN DUIÓN, S. L. 343

2 0308 _ qxd /7/08 :7 Página 344 IDNTIIR OJTIVO LOS LMNTOS D UN VTOR NOMR: URSO: H: : segmento orientado determinado por dos puntos: (a, a ), origen del vector, y (b, b ), extremo del vector. oordenadas del vector: = (b a, b a ) Módulo: = ( b a ) + ( b a ) alcula las coordenadas y el módulo del siguiente vector. Origen: (, ) xtremo: ( 3, ) oordenadas: = ( 3, ) = ( 5, 3) Módulo: = ( 5) + ( 3) = 5 + = 34 uáles son las coordenadas y el módulo de los siguientes vectores? J D G I H Dados los puntos (3, 6), ( 3, 0), (0, 5) y D(, 7), representa y calcula las coordenadas y el módulo de los vectores,, D y D. 344 MTMÁTIS 4. SO MTRIL OTOOPIL SNTILLN DUIÓN, S. L.

3 0308 _ qxd /7/08 :7 Página 345 Dirección de un vector es la recta sobre la que está situada el vector. Sentido de un vector es la forma de recorrer el segmento ; es decir, de fijar el origen y el extremo. es equivalentes son aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, por lo que sus coordenadas son iguales. es paralelos son los que tienen la misma dirección, sus coordenadas son proporcionales. Determina si estos vectores son equivalentes. = ( ( 4), 3 ) = (, ) D D = ( 0, = (, ) = ( 3, 3 ( )) = ( 4, ) y D tienen las mismas coordenadas; por tanto, son equivalentes. Las coordenadas de son proporcionales a las coordenadas de y D :. 4 = Los vectores, D y son paralelos. 3 Dibuja dos vectores equivalentes y dos paralelos, pero que no sean equivalentes, a cada uno de los dados. Demuestra numéricamente su equivalencia. D 4 Dibuja los vectores y, siendo (4, ) y ( 5, 0), y contesta a las siguientes cuestiones. a) Son equivalentes? b) paralelos? c) Tienen la misma dirección? d) ómo son sus sentidos? e) uáles son el origen y el extremo de cada uno? f) alcula sus módulos. DPTIÓN URRIULR MTMÁTIS 4. SO MTRIL OTOOPIL SNTILLN DUIÓN, S. L. 345

4 0308 _ qxd /7/08 :7 Página 346 OJTIVO RLIZR OPRIONS ON VTORS NOMR: URSO: H: Para sumar gráficamente dos vectores y v, se toma uno ellos,, y con origen en su extremo se dibuja un vector equivalente a v. La suma + v es otro vector cuyo origen es el origen de, y su extremo es el extremo de v. n coordenadas, si las coordenadas de son (u, u ) y las coordenadas de v son (v, v ), el vector suma es: + v = (u + v, u + v ) Para restar gráficamente dos vectores y v, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, y la diferencia es otro vector que tiene como origen el extremo de v, y como extremo, el extremo de. n coordenadas, si las coordenadas de son (u, u ) y las coordenadas de v son (v, v ), el vector diferencia es: v = (u v, u v ) Dados los vectores y v de la figura, calcula gráficamente y por coordenadas los vectores + v y v. v + v equivalente a v equivalente a equivalente a v v equivalente a = ( ( ), ( )) = (, 3) v = ( 3 ( ), 4 ) = (, ) + v = ( + ( ), 3 + ) = (, 5) v = ( ( ), 3 ) = (3, ) Las coordenadas de los puntos,, y D son: (, 3) (0, 6) (4, 7) D ( 4, 0) alcula el resultado de estas operaciones. a) + D b) D c) D d) e) D + D f) D Halla gráficamente el vector suma + v y el vector diferencia v. v 346 MTMÁTIS 4. SO MTRIL OTOOPIL SNTILLN DUIÓN, S. L.

5 0308 _ qxd 30/7/08 7:5 Página 347 Para multiplicar un vector por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantiene la dirección del vector. l sentido será el mismo si k es positivo, y contrario, si k es negativo. n coordenadas, si = (u, u ), el producto de un número real k por un vector se calcula multiplicando cada coordenada por el número k. Dado el vector, de origen (, ) y extremo (3, ), calcula gráfica y analíticamente el producto de por los números y. = = (3, ( )) = (, ) ( ) = (, ) = (, ) ( )= ( ) (, ) = (, ) 3 Sabiendo que ( 3, 3) y (, 5), calcula gráfica y analíticamente k. a) k = b) k = 4 c) k = d) k = 3 La suma de un punto más un vector es otro punto que resulta de trasladar el punto según el vector. n coordenadas, si (a, a ) y = (u, u ), su suma es el punto (b, b ) = (a + u, a + u ). Resuelve los apartados. a) Si (3, 4) y el vector = ( 3, 5), calcula las coordenadas del punto = +, y representa el resultado gráficamente. b) Si '( 3, 0) es el trasladado de por el vector v, cuáles son las coordenadas de v? a) = + = (3, 4) + ( 3, 5) = (3 + ( 3), 4 + 5) = (0, ) b) ' = + v ( 3, 0) = (3 + v, 4 + v ) v = 6 y v = 4 DPTIÓN URRIULR 4 Si trasladamos el punto por el vector para obtener el punto, calcula los valores x e y. Representa los puntos trasladados. a) (0, 5) = (x, y) (5, 0) b) ( 3, x) = (4, 3) (y, ) MTMÁTIS 4. SO MTRIL OTOOPIL SNTILLN DUIÓN, S. L. 347