Ampliación de Topología

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1 Ampliación de Topología Problemas. Curso Homotopía de aplicaciones y tipos de homotopía 1. Sea X un espacio, y sea f: S 1 X una aplicación continua. Demostrar que f es homótopa a una aplicación constante si y sólo si existe una aplicación continua g del disco E 2 en el espacio X que extiende a la aplicación f. 2. Sean f, g dos aplicaciones continuas de un espacio X a un subespacio Y R n tales que para todo x X el segmento que une f(x) con g(x) está contenido en Y. Demostrar que f es homótopa a g. 3. Sea X un espacio cualquiera. Demostrar que toda aplicación continua f: X S n que no sea homótopa a una aplicación constante es exhaustiva. 4. Demostrar las afirmaciones siguientes: (a) Si f 0 f 1 : X Y, entonces para toda g: Y Z se cumple g f 0 g f 1. (b) Si g 0 g 1 : Y Z, entonces para toda f: X Y se cumple g 0 f g 1 f. (c) Si f 0 f 1 : X Y y g 0 g 1 : Y Z, entonces g 0 f 0 g 1 f 1. (d) Si f 0 f 1 : X Y y g 0 g 1 : Z T, entonces g 0 f 0 g 1 f 1. (e) Si f 0 f 1 : X Y y g 0 g 1 : Z T, entonces g 0 f 0 g 1 f 1. Formular las mismas afirmaciones para homotopías relativas a un subespacio dado y comprobar que siguen siendo válidas. 5. Sea f: X Y una equivalencia homotópica y sean g, h dos inversas homotópicas de f. Demostrar que g h. 6. Demostrar que el cono C = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z 2 } es contráctil. 7. Demostrar que un espacio X es contráctil si y sólo si la aplicación identidad X X es homótopa a una aplicación constante. 8. Demostrar que si X 1, X 2, Y 1, Y 2 son espacios topológicos tales que X 1 X 2 y Y 1 Y 2, entonces se cumple X 1 Y 1 X 2 Y 2 y X 1 Y 1 X 2 Y Demostrar que X Y es contráctil si y sólo si X y Y son contráctiles. 10. Demostrar que si X es conexo y es del mismo tipo de homotopía que otro espacio Y, entonces Y también es conexo. Estudiar si el mismo enunciado es cierto cambiando conexo por arco-conexo o por compacto. 1

2 11. Demostrar que el espacio que se obtiene identificando n puntos diferentes de la esfera S 2 es homotópicamente equivalente a la unión puntual de S 2 y n 1 copias de S Si en un toro colapsamos a un punto el subespacio formado por la unión de un meridiano y un paralelo, qué espacio resulta? Y si colapsamos dos meridianos? 13. Demostrar que S 1 es un retracto de deformación de la banda de Möbius y del cilindro. 14. Demostrar que si X es un espacio contráctil y x 0 es un punto cualquiera de X, entonces el espacio {x 0 } Y es un retracto de deformación de X Y. 15. Demostrar que si A es un retracto de deformación de X y B es un retracto de deformación de A, entonces B es un retracto de deformación de X. 16. Encontrar un ejemplo de un espacio X y dos subespacios A, B homeomorfos, tales que A sea un retracto de deformación de X pero B no lo sea. 17. Sea X el espacio que se obtiene identificando las tres aristas de un triángulo equilátero siguiendo la palabra a a 1 a. Demostrar que X es contráctil. 18. Demostrar que todos los espacios siguientes son homotópicamente equivalentes a uniones puntuales de esferas. Determinar en cada caso el número de esferas y sus dimensiones. (a) R 2 {(0, 0)}. (b) R 3 {(x, y, z) x = 0, y = 0}. (c) R n R m con m n 2. (d) Un toro menos un punto. (e) R 3 {(x, y, z) z = 0, y = 1}. (f) R 3 menos n rectas concurrentes. 19. Sea X = R 2 y sea A la unión de tres rectas arbitrarias. Decir en cada caso si A es un retracto de X, dependiendo de la posición relativa de las tres rectas. En qué casos es A un retracto de deformación de X? Repetir el mismo ejercicio suponiendo que X es el plano menos un punto que no pertenece a A. 2

3 Homotopía de caminos 20. Demostrar que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes para un espacio X dado: (a) Dos caminos cualesquiera que empiezan en un punt x 0 y acaban en otro punt x 1 son homótopos. (b) Todo camino que comienza y acaba en un mismo punto es homótopo al camino constante. 21. Sea f: S 1 S 1 la aplicación definida per f(z) = z k, donde k es un entero. Demostrar que el morfismo inducido f : π(s 1, 1) π(s 1, 1) es la multiplicación per k vía el isomorfismo π(s 1, 1) = Z. 22. Demostrar que el conjunto de puntos z E 2 para los cuales E 2 \ {z} es simplemente conexo es precisamente S 1. Deducir de este hecho que si f: E 2 E 2 es un homeomorfismo, entonces f(s 1 ) = S Calcular los grados de las aplicaciones siguientes S 1 S 1 : (a) La aplicación antipodal. (b) Un giro de τ grados, donde 0 τ < 2π. (c) f(x, y) = ( x, y). (d) g(z) = z n, donde z S 1 C. 24. Sea f: S 1 S 1 una aplicación continua y supongamos que existe un entero n > 1 tal que f(z) = f(z n ) para todo z. Demostrar que f es homótopa a una aplicación constante. 25. Existe alguna retracción de la banda de Möbius sobre su borde? 26. Demostrar que no existe ninguna aplicación inyectiva y continua del disco E 2 en un toro S 1 S 1 que aplique el borde del disco sobre un meridiano del toro. 27. Demostrar que si f: S 1 S 1 es una aplicación continua que satisface f( z) = f(z) para todo z S 1 y f(1) = 1, entonces el grado de f es un entero par. 28. Sean A y B dos cerrados de S 2 y sea C S 2 un subconjunto tal que S 2 = A B C. Demostrar que alguno de los tres conjuntos A, B, C contiene un par de puntos antipodales. 29. Demostrar que toda aplicación continua e inyectiva S 2 S 2 es un homeomorfismo. 30. Sea X el subespacio de R 3 siguiente (una esfera S 2 con un disco añadido): X = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 1} {(x, y, z) x 2 + y 2 1, z = 0}. Demostrar que, dada una aplicación continua f: X R 2 tal que su restricción al ecuador {(x, y, z) x 2 + y 2 = 1, z = 0} es inyectiva, existen al menos tres puntos diferentes p, q, r X tales que f(p) = f(q) = f(r). 3

4 31. Demostrar que toda aplicación continua f: S 1 S 1 de grado diferente de 1 tiene algún punto fijo. 32. Demostrar que toda aplicación continua S 2 S 2 no exhaustiva tiene algún punto fijo. Dar un ejemplo de una aplicación continua S 2 S 2 que no tenga ningún punto fijo. 33. Demostrar que, si n 2, entonces no existe ninguna aplicación continua f: S n S 1 tal que f(x) = f( x). 4

5 Algunos problemas de grupos 1. Sea G = x, y y 10 = 1, xy = y 3 x. Encontrar el mínimo entero positivo n tal que x n conmuta con todos los elementos de G. 2. Demostrar que el grupo G = x, y xyx 1 = y 2, yxy 1 = x 2 es el grupo trivial. 3. Demostrar que Σ 3 = σ, τ σ 2 = 1, τ 3 = 1, στ = τ 2 σ, donde Σ 3 es el grupo de permutaciones de tres letras. 4. Demostrar a, b, c a p = b q, a p = c 7, b q = c 12, c 21 = 1 = x, y x p = 1, y q = Demostrar x, y xyx = yxy = a, b a 2 = b 3. (El primer grupo es el grupo de 3-trenzas, y el segundo el grupo del nudo trébol, como ya veremos). 6. Sea G = x, y xy = y 1 x, x 2 = 1. Demostrar que G es infinito pero en cambio su abelianizado es finito. 7. Sea G = Z 2 Z 3. Demostrar las afirmaciones siguientes: (a) G contiene elementos de orden infinito. (b) Los únicos elementos de orden finito son aquellos de Z 2, de Z 3 y todos los conjugados de estos. (c) El centro de G es el grupo trivial. (d) El abelianizado de G es isomorfo a Z 2 Z Demostrar que Z m Z n = Zp Z q si y sólo si m = p y n = q o bien m = q y n = p. 9. Calcular el abelianizado de los grupos seguientes: (a) Σ 3. (b) a, b a 2 = b 3. (c) x, y, z xyx = yxy, xzx = zxz. (d) A 5, el grupo de permutaciones pares de 5 letras. 10. Calcular todos los subgrupos (especificando cuáles son normales), el centro y el abelianizado de los grupos siguientes: (a) Z 3 Z 2. (b) Σ 3. (c) El grupo diédrico D 4 = a, b a 2 = 1, b 4 = 1, aba = b 1. (d) El grupo alternado A 4. (e) El grupo diédrico D 5 = a, b a 2 = 1, b 5 = 1, aba = b 1.

6 Cálculo de grupos fundamentales 1. Dar una condición necesaria y suficiente para que dos grafos conexos y finitos sean homotópicamente equivalentes. 2. Determinar el grupo fundamental de la suma conexa de dos superficies compactas y conexas en términos de los grupos fundamentales de estas superficies. 3. Sean RP 2 el plano proyectivo real, T 2 el toro y K la botella de Klein. Dar isomorfismos entre los grupos fundamentales de las superficies siguientes: S 1 = RP 2 #RP 2 #RP 2 ; S 2 = RP 2 #T 2 ; S 3 = RP 2 #K. 4. Es posible adjuntar una celda de dimensión 3 a un toro S 1 S 1 de manera que se obtenga un toro macizo S 1 E 2? 5. Calcular el grupo fundamental de los siguientes complejos celulares: b 1 a 1 a 2 b 2 a 1 a 1 a 3 b 1 a 2 a b 2 b 1 3 b 2 b 3 b 2 a 2 a 1 a 2 a 3 a 3 a 2 b 1 a 1 b 1 a 2 6. Calcular el grupo fundamental de los espacios cocientes de C = C {0}: (a) C /G, donde G es el grupo de los homeomorfismos {ϕ n n Z} con ϕ(z) = 2z. (b) C /N, donde N = {ψ n n Z} con ψ(z) = 2 z. (c) C /{e, a}, donde e es el homeomorfismo identidad y a(z) = z. 7. Calcular el grupo fundamental del espacio X que se obtiene identificando las caras de un cubo I 3 de la manera siguiente: cada cara se identifica con su cara opuesta por proyección, después de girar π/2 en el sentido de las agujas del reloj. (Por ejemplo, la arista que va de (1,1,0) y (1,0,0) se identifica con la arista que va de (0,0,0) a (0,0,1), y también con la arista que va de (0,1,1) a (1,1,1).) Cuantos elementos tiene el abelianizado de este grupo? 8. Calcular el grupo fundamental del espacio que se obtiene cortando primero dos discos disjuntos de una esfera S 2 y volviéndolos a pegar donde estaban, pero con aplicaciones de grados 12 y 20 en los bordes respectivos.

7 9. Calcular el grupo fundamental del espacio obtenido al identificar el ecuador de una esfera S 2 con un paralelo del doble toro, tal como indica el dibujo. 10. Calcular el grupo fundamental de la unión de tres toros T 1, T 2, T 3 tal como se muestra en la figura. 11. Calcular el grupo fundamental del espacio obtenido al pegar dos toros T 1 y T 2 tal y como se indica en el dibujo (el paralelo de radio mínimo del toro T 1 se identifica con un meridiano del toro T 2 ). 12. Calcular el grupo fundamental del espacio que se obtiene al pegar dos toros T 1 y T 2 tal y como indica el dibujo (el paralelo de radio mínimo de cada uno de los toros se identifica con un meridiano del otro toro).

8 13. Consideremos el subespacio de R 2 siguiente: W = {(x, y) x 2 + (y 1) 2 = 1} {(x, y) x 2 + (y + 1) 2 = 1}, que es homeomorfo a S 1 S 1. Calcular el grupo fundamental del espacio Y = W I / (x, y,0) ( x, y, 1). 14. Calcular el grupo fundamental del espacio que se obtiene al eliminar n puntos de una superficie compacta conexa orientable de género g. (Suponer g 1, n 1.) 15. Calcular el grupo fundamental de R 3 K, para cada uno de los subespacios K siguientes: (a) La unión de tres rectas (no necesariamente disjuntas). (b) La unión de una recta y una circunferencia. (c) La unión de dos circunferencias. 16. Calcular el grupo fundamental del exterior en R 3 del nudo trébol.