INVESTIGACIONES Y FUNCIONES

Transcripción

1 INVESTIGACIONES Y FUNCIONES Esta sección inicial presenta a los alumnos muchas de las grandes ideas del curso Core Connections en español, Matemática Integrada III, así como distintas formas de pensar y varias estrategias de resolución de problemas. Los alumnos no solo trabajarán en problemas desafiantes e interesantes, también revisarán temas de cursos de matemáticas anteriores como la realización de gráficos y la resolución de ecuaciones. También se revisarán las funciones y la notación de funciones usando máquinas de funciones y graficando distintos tipos de funciones. Para más información sobre funciones y sus gráficos, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones y Ejemplo 1 La máquina de funciones de Talula, a la derecha, muestra su funcionamiento interno como una función. Observa que y = 10 2 es una forma equivalente. Cuál será el valor de salida si: f () = 10 2 a. el valor de entrada fuera 2? b. el valor de entrada fuera 2? c. el valor de entrada fuera 10? d. el valor de entrada fuera 3.45? Solución: el valor de entrada, es decir, el valor por el que sustituimos, toma el lugar de en la ecuación de la máquina. Sigue el Orden de las operaciones para simplificar la epresión y hallar el valor de f (). a. f (2) = 10 (2) 2 b. f ( 2) = 10 ( 2) 2 = 10 4 = 10 4 = 6 = 6 c. f ( 10 ) = 10 ( 10 ) 2 d. f ( 3.45) = 10 ( 3.45) 2 = = = 0 =

2 Ejemplo 2 Grafica y describe completamente la función f () = Solución: los gráficos de las funciones pueden describirse utilizando los siguientes atributos: forma dominio y rango línea de simetría etremos abierto hacia arriba o hacia abajo punto máimo o mínimo asíntotas continuo, discreto, o ninguno creciente o decreciente si es o no una función puntos de corte con los ejes e y Grafica esta función en una calculadora gráfica. El dominio de esta función tiene dos restricciones. Primero, el denominador no puede ser cero. Segundo, la raíz no puede contener una cantidad negativa. Por lo tanto, + 4 0, o 4. Las asíntotas se producen cuando el gráfico se aproima a un valor. En este caso, a medida que los valores de aumentan cada vez más, los valores de f () se acercan cada vez más al cero. Esto sucede porque el valor en el denominador aumenta, creando fracciones más y más pequeñas. Por lo tanto, y = 0 es una asíntota horizontal. De igual forma, la recta = 4 es una asíntota vertical. Puedes ver tú mismo que este gráfico se acerca mucho a la recta mencionada sustituyendo por distintos valores que se acerquen cada vez más a 4. Los puntos de corte con el eje se producen cuando f () = 0. Para que una epresión racional (una fracción) sea igual a cero, el numerador (número superior) debe ser igual a cero. Por lo tanto, f () = = 0 3 = 0. Ya que 3 0, no hay puntos de corte con el eje. Para hallar el punto de corte con el eje y, sustituye por 0 en la ecuación. f (0) = La función puede ser descrita completamente de la siguiente forma: = 3 2 El gráfico de esta función es una curva. No tiene líneas de simetría. No es una función cuadrática, así que no tiene una dirección de apertura. La asíntota horizontal es y = 0. La asíntota vertical es = 4. La función es decreciente. No tiene puntos de corte con el eje. El punto de corte con el eje y es (0, 1.5). El dominio es 4. El rango es y 0. Core Connections en español, Matemática Integrada III

3 Ejemplo 3 Considera las funciones f () = 3 y g() = ( + 5)2. a. Cuál es f (4)? b. Cuál es g(4)? c. Cuál es el dominio de f? d. Cuál es el dominio de g? e. Cuál es el rango de f? f. Cuál es el rango de g? Solución: Sustituye por 4 en las funciones dadas en los puntos (a) y (b): a. f (4) = = 2 1 = 2 b. g(4) = (4 + 5) 2 = (9) 2 El dominio de una función es el conjunto de los valores de que pueden ser valores de entrada que permitan obtener un valor de salida. c. El dominio de la función f está sujeto a algunas restricciones. Primero, no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo, así que no puede ser menor a cero. De igual forma, el denominador de la función no puede ser cero, así que 3. Por lo tanto, el dominio de f es 0 y 3. d. En la función g, no eisten restricciones a sumar cinco y elevar el resultado al cuadrado. El dominio de g está compuesto por todos los números reales. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles. El rango de una función puede ser visto graficando la función. e. Primero, prueba algunas posibilidades. Puede esta función ser igual a cero? Sí, cuando el numerador es cero, así que, si = 0, f () = 0. Puede esta función ser igual a un valor positivo muy alto? Sí, cuando < 3 pero se acerca mucho a 3 (por ejemplo, si = , f () es aproimadamente 17,320.) Puede f () ser un número negativo etremadamente alto? Si, cuando > 3 pero se acerca mucho a 3 (prueba = , y f () será aproimadamente 17,320). No parece haber restricciones al rango de f, por lo que podemos decir que el rango está compuesto por todos los números reales. f. Ya que la función g eleva al cuadrado el valor en el paso final, el resultado será siempre positivo. Puede ser igual a cero (cuando = 5), pero nunca será un número negativo. Por lo tanto, el rango de g es y 0. Usa una calculadora gráfica para graficar las funciones y verificar que tus respuestas sean correctas. = 81

4 Problemas Si f () = 3 2 6, calcula: 1. f (1) 2. f ( 3) 3. f (2.75) Si g() = , calcula: 4. g( 2) 5. g(0.4) 6. g(18) Grafica y describe completamente las funciones a continuación. Asegúrate de etiquetar cada gráfico cuidadosamente, de forma que todos los puntos clave estén identificados. 7. f () = f () = f () = f () = ( + 2) f () = f () = 2( 2 3 ) Core Connections en español, Matemática Integrada III

5 Respuestas y y y Parábola abierta hacia Curva decreciente Recta decreciente arriba Asíntota vertical: Punto de corte con el Línea de simetría: = 1 = 1 eje : (32, 0) Punto de corte con el eje : Asíntota horizontal: Punto de corte con el ( 1, 0) y (3, 0) y = 0 eje y: (0, 3.2) Punto de corte con el eje y: Punto de corte con el Dominio: todos los (0, 3) eje y: (0, 2) números reales Dominio: todos los Dominio: 1 Rango: todos los números reales Rango: y 0 números reales Rango: y 4 Vértice: (1, 4) y y y Cúbica creciente Raíz cuadrada, creciente Eponencial, creciente Punto de corte con el Etremo ( 5, 1) Asíntota horizontal: eje : ( 1, 0) Punto de corte con el y = 0 Punto de corte con eje : ( 4, 0) Punto de corte con el el eje y: (7, 0) Punto de corte con el eje y: (2, 0) Dominio: todos los eje y: ( 1.2, 0) Dominio: todos los números reales Dominio: 5 números reales Rango: todos los Rango: y 1 Rango: y > 0 números reales

6 DETERMINACIÓN DE PUNTOS DE INTERSECCIÓN Pueden usarse múltiples representaciones (tablas, gráficos, ecuaciones, situaciones) para determinar dónde se intersecarán los gráficos de dos funciones. En una tabla, debes hallar las entradas con los mismos valores de e y. En un gráfico, generalmente puedes ver los puntos de intersección, aunque puede que no sean coordenadas fáciles. Las ecuaciones de dos funciones pueden ser igualadas y resueltas para hallar puntos de intersección eactos. Ejemplo Dónde se intersecan los gráficos de las funciones f () = y g() = ? Solución: crea tablas y un gráfico para las funciones dadas. f () g() y Ambas tablas contienen el punto ( 1, 12), así que ese es un punto de intersección. Este punto de intersección no se verá en una ventana de graficación estándar. En el gráfico podemos ver que hay otro punto de intersección, pero no tiene coordenadas enteras. Usa el Método de igualación (eplicado en Core Connections en español, Matemática Integrada I) para hallar este punto. Ya que los gráficos de las funciones se intersecan cuando f() = g(), comienza resolviendo la ecuación = = Es una ecuación cuadrática, así que empieza igualándola a = 0 Mueve todos los términos a un mismo lado. 5( ) = 0 Factoriza el máimo factor común. 5(2 1)( + 1) = 0 Factoriza la epresión cuadrática. 5 = 0 o 2 1 = 0 o + 1 = 0 Aplica la Propiedad de producto cero. 5 0 asó que solo = 1 o = 1 2 Resuelve ambas ecuaciones. Halla los valores de y correspondientes. No importa qué ecuaciones uses. Si = 1 2, entonces y = 10 ( 1 2 ) + 2 o y = 3. ( 1, 3) es un punto de intersección. 2 Si = 1, entonces y = 10( 1) + 2 o y = 12. ( 1, 12) es un punto de intersección. Core Connections en español, Matemática Integrada III

7 Problemas Halla los puntos de intersección de los gráficos de cada par de funciones a continuación. 1. f () = f () = + 4 g() = 5 6 g() = f () = f () = 10 g() = g() = f () = f () = g() = g() = Respuestas 1. no hay puntos de intersección (las rectas son paralelas) 2. 1 ( 2, 2 7 ) 3. (1, 4) y ( 14, 64) 4. (2, 20) y (4, 40) 5. ( 3, 24) 5. ( 1, 11) y (0.2, 5.96)

8 COMPARACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS Las distribuciones de datos pueden representarse gráficamente con histogramas y diagramas de caja. Para más ayuda con los histogramas, consulta las Guías para padres con práctica adicional de los cursos de CPM Core Connections en español 1, 2, y 3, disponibles sin cargo en cpm.org. Para una eplicación más detallada de la descripción de dispersiones y distribuciones de datos, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de las Lecciones y Dos distribuciones de datos se pueden comparar por medio de su centro, forma, dispersión, y valores atípicos. El centro, o valor típico de una distribución de datos, se puede describir usando la mediana. Si la distribución es simétrica y no presenta valores atípicos, el centro se puede describir utilizando la media. La dispersión de una distribución puede describirse con el rango intercuartil o la deviación estándar, descritos en el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ya que la desviación estándar se basa en la media, solo se debería usar para describir la dispersión de distribuciones simétricas sin valores atípicos. Ya que recabar datos sobre toda una población suele ser poco práctico, la mayoría de los conjuntos de datos que analizamos son muestras. En este curso, en general, debes calcular la desviación estándar de la muestra. Ejemplo 1 Los profesores de las universidades privadas se quejan de que las clases de Literatura Inglesa de las universidades públicas no son suficientemente eigentes. Específicamente, los profesores afirman que los cursos de literatura en las universidades públicas no asignan suficientes novelas a los alumnos para leer. Una estadística de alumnos de universidades públicas recabó los datos a continuación sobre 42 cursos de literatura en universidades públicas y privadas del estado. Compara la cantidad de novelas leídas en los dos tipos de universidades. Cantidad de novelas asignadas en cursos de literatura de universidades públicas: 13, 10, 15, 12, 14, 9, 11, 15, 12, 14, 9, 10, 13, 15, 12, 9, 11, 15, 12, 10, 15, 14 Total:270 Cantidad de novelas asignadas en cursos de literatura de universidades privadas: 11, 8, 14, 13, 25, 11, 7, 13, 8, 16, 11, 10, 20, 7, 8, 13, 14, 16, 18, 10 Total:253 Core Connections en español, Matemática Integrada III

9 Solución: Todo análisis de una distribución de datos debería comenzar con una representación gráfica de los datos. Para los histogramas de abajo se eligió una amplitud de intervalo de dos. A fin de que sea posible comparar ambas distribuciones, ambos gráficos tienen la misma escala en el eje, y los diagramas de cajas fueron graficados sobre los histogramas. Si necesitas ayuda con el uso de una calculadora TI-83+/TI-84+, consulta el Soporte Tecnológico en cpm.org. El total se utiliza para verificar que los datos hayan sido ingresados correctamente en el dispositivo de graficación. La suma del conjunto de datos, determinada por las funciones estadísticas de la calculadora, debería coincidir con el valor total dado. Universidad pública Universidad privada Síntesis de cinco números (9, 10, 12, 14, 15) Síntesis de cinco números (7, 9, 12, 15, 25) Al comparar las distribuciones, deberías considerar su centro, forma, dispersión, y valores atípicos. Ya que ninguna de las distribuciones es simétrica y una de las distribuciones tiene un valor atípico, no sería apropiado compararlas utilizando las medias o desviaciones estándar. Las síntesis de cinco números fueron incluidas debajo de cada gráfico. Centro: ambos tipos de universidades asignan la misma mediana de 12 novelas. Forma: la distribución para las universidades públicas es sesgada, con un mínimo de entre 8 y 9 novelas que aumenta hasta un máimo de 14 a 15 novelas. La distribución en las universidades privadas es sesgada en la otra dirección, con un máimo de entre 10 y 11 novelas. Dispersión: la variabilidad en la cantidad de novelas asignadas en las universidades públicas es mucho menor que la variabilidad entre cursos en universidades privadas. El rango intercuartil para las universidades públicas es de 4 novelas (14 10 = 4), mientras que el rango intercuartil para las universidades privadas, de 6 (15 9 = 6), es un 50% más amplio. Valores atípicos: un curso en una universidad privada es un valor atípico; en él se asignan 25 libros. El valor de 25 libros se aleja mucho de la mayoría de los datos de universidades privadas. Las calculadoras TI-83+/TI-84+ pueden señalar valores atípicos en un diagrama de caja con puntos.

10 Conclusiones: los profesores de universidades privadas afirman que sus cursos son más eigentes porque asignan más novelas. Sin embargo, los datos no respaldan esa afirmación. El 25% de los cursos de universidades privadas asignan más novelas que cualquiera de los cursos de universidades públicas (el valor en el etremo derecho, o el 25% superior de los cursos de las universidades privadas, se encuentra fuera del diagrama de cajas de las universidades públicas). Pero el 25% de las clases en universidades privadas asignan menos libros que cualquiera de las universidades públicas (el valor en el etremo izquierdo, o el 25% inferior de las universidades privadas, se encuentra debajo del diagrama de cajas de las universidades públicas). Asimismo, la mediana de novelas asignadas en los dos tipos de universidades es igual: 12 libros. La cantidad de novelas asignadas en las universidades públicas es más consistente (el rango intercuartil es 4) que la cantidad de novelas asignadas en las universidades privadas (el rango intercuartil es 6). Ejemplo 2 Un criador de conejos registró la cantidad de crías de cinco conejas este año. Estas tuvieron 243, 215, 184, 280, y 148 crías, respectivamente. Muestra cómo calcular la media y la desviación estándar de la cantidad de crías por coneja sin usar las funciones estadísticas de tu calculadora. La media es = 214 crías. Para calcular la desviación estándar de la muestra, primero calcula la distancia a la que se halla cada punto de datos de la media: = = = = = 66 Luego, eleva cada distancia al cuadrado: 29 2 = = 1 ( 30) 2 = = 4356 ( 66) 2 = 4356 Divide por un valor una unidad menor a la cantidad de puntos de datos: = Calcula la raíz cuadrada: Ya que las medidas originales eran números enteros, el resultado final también debería ser un entero. La cantidad media de crías por coneja es de 214, con una desviación estándar de 52 crías. Core Connections en español, Matemática Integrada III

11 Problemas 1. Los distintos tipos de sapos suelen poner distintas cantidades de huevos. Los datos de abajo corresponden a dos especies distintas. Compara la cantidad de huevos puestos por el sapo americano y el sapo de Fowler. Es apropiado sintetizar las distribuciones usando la media y la desviación estándar? Usa una amplitud de intervalo de 250 huevos. Sapo americano: 9100, 8700, 10300, 9500, 7800, 8900, 9200, 9300, 8900, 8300, 9400, 8000, 9000, 8400, 9700, 10000, 8600, 8900, 9900, 9300 Total: 181,200 Sapo de Fowler: 9500, 9100, 9400, 8800, 9000, 8400, 9200, 9200, 8900, 9100, 8600, 9200, 8700, 9800, 9300, 8800, 9200, 9300, 9000, 9100 Total: 181, Sin usar las funciones estadísticas de tu calculadora, calcula la desviación estándar de la cantidad de huevos puestos por cada uno de los cinco primeros sapos americanos en la muestra. 3. Un psicólogo recabó los datos de abajo sobre la edad a la que los niños comienzan a gatear: Bebés de peso bajo:10, 12, 11, 11, 7, 13, 10, 12, 11, 13, 10, 11, 15, 11, 14, 10 meses; Total: 181 Bebés de peso promedio: 7, 6, 13, 9, 8, 7, 5, 7, 9, 8, 10, 8, 11, 7, 7, 10, 6, 8, 7, 6, 12, 8, 7 meses; Total: 186 Los bebés que pesan menos al nacer comienzan a gatear más tarde que los bebés nacidos con el peso promedio correspondiente? 4. Compara la cantidad de tiempo que duró el sabor de una goma de mascar marca 10 con la cantidad de tiempo que duró el sabor de una goma de mascar marca Strident. Observa el gráfico de la derecha. Estima la media para cada tipo de goma de mascar. Strident Duración del sabor (min)

12 Respuestas 1. Sapos americanos Sapos de Fowler ,000 11,000 Cantidad de huevos ,000 11,000 Cantidad de huevos La media y la desviación estándar son estadísticas apropiadas porque ambas distribuciones son bastante simétricas y no presentan valores atípicos. Ambos sapos ponen una media de entre 9000 y 9100 huevos. Ambas distribuciones presentan un solo pico, son simétricas, y no presentan valores atípicos aparentes. Sin embargo, hay mucha más variabilidad en la cantidad de huevos puestos por el sapo americano. La desviación estándar de la muestra para el sapo americano es aproimadamente 654 mientras que la desviación estándar de la muestra para el sapo de Fowler es aproimadamente la mitad, cerca de 324 huevos ( 380) ( 1280) huevos Core Connections en español, Matemática Integrada III

13 3. Bebés de peso bajo Bebés de peso promedio Edad de gateo (meses) Edad de gateo (meses) La mediana y el rango intercuartil se utilizarán para comparar las estadísticas porque la mediana y la desviación estándar no son apropiadas, ambas distribuciones son sesgadas y presentan un valor atípico. La mediana de las edades a las que los bebés de menor peso comienzan a gatear es 11 meses, mientras que la mediana para los bebés de peso promedio es 8 meses. Ambas distribuciones presentan un solo pico y son sesgadas. Los bebés de menor peso parecen tener un valor atípico en 7 meses, si bien la calculadora no lo identifica como un verdadero valor atípico. Los bebés de peso promedio tienen un valor atípico en 13 meses. La variabilidad en la edad de gateo es casi igual para los bebés de menor peso (el rango intercuartil es 2.5 meses) y los bebés de peso promedio (el rango intercuartil es 2 meses). Los bebés de menor peso tienen un desarrollo retrasado por aproimadamente 3 meses. Cerca del 75% de los bebés de menor peso no han comenzado a gatear a la edad a la que el 75% de los bebés de peso promedio ya gatean. 4. La mediana para ambos tipos de goma de mascar es de aproimadamente 18 minutos de sabor. Los tiempos de 10 eran sesgados, mientras que los de Strident eran simétricos. La mitad inferior de las distribuciones para ambas gomas de mascar fue la misma, pero hubo mucha más variabilidad en la mitad superior de 10 que en la mitad superior de Strident. De hecho, más del 25% de quienes comieron 10 dijeron que el sabor duró más que cualquier consumidor de Strident. Ninguna goma de mascar presentó valores atípicos. Hubo más variabilidad en la duración del sabor de 10 El rango intercuartil fue de aproimadamente 9 minutos (25 16 = 9). El rango intercuartil de Strident, 4 minutos (20 16 = 4), fue menos de la mitad del de 10. Esa variabilidad es una ventaja. Si comes goma de mascar marca 10, no te irá peor que si comes Strident, y tendrás sabor por mucho más tiempo. La media para Strident es aproimadamente igual a la mediana, ya que la distribución es simétrica, aproimadamente 18 minutos. Pero la media para 10 es de más de 18 minutos porque la dispersión es sesgada, tal vez unos 22 minutos.

14 PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT Los problemas incluidos en esta sección son muy similares a las preguntas formuladas en los eámenes SAT. Usa una calculadora de ser necesario. En las preguntas de opción múltiple, elige la mejor respuesta dada. Cuando una imagen incluye un diagrama, asume que se ha dibujado con precisión a menos que el problema indique lo contrario. Estas preguntas incluyen más temas que los que has visto en clase hasta ahora. 1. Si + 9 es un número entero par, cuál de los siguientes podría ser el valor de? a. 4 b. 2 c. 0 d. 1 e Si (m + 5)(11 7) = 24, entonces m =? a. 1 b. 4 c. 8 d. 11 e Las fracciones 3 d, 4 d, y 5 se encuentran en su forma más simplificada. Cuál de los d siguientes podría ser el valor de d? a. 20 b. 21 c. 22 d. 23 e Un grupo de tres números recibe el nombre de terna j respecto de un número j, cuando ( 4 3 j, j, 5 j ). Cuál de los siguientes grupos es una terna j? 4 a. (0, 4, 5) b. (5 4 3, 6, 6 1 ) 4 c. (6, 2, 10) d. (750, 1000, 1250) e. (575, 600, 625) 5. Un balón es arrojado verticalmente hacia arriba. La altura del balón puede ser modelada con la ecuación h = 38t 16t 2, donde h es la altura en pies y t es la cantidad de segundos transcurridos desde que se arrojó el balón. A qué altura se encuentra el balón dos segundos después de que se lo arrojó? a. 12 b. 16 c. 22 d. 32 e En la figura de la derecha, AC es un segmento de 4 5k 3k unidades de largo. Cuál es el valor de k? A B C Core Connections en español, Matemática Integrada III

15 7. Supongamos que la operación puede definirse como a b es la suma de todos los número enteros entre a y b. Por ejemplo, 4 10 = = 35. Cuál es el valor de ( ) ( )? 8. Un triángulo isósceles tiene una base de 15 unidades de largo. Los otros dos lados miden lo mismo y su longitud es un número entero. Cuál es la longitud más corta que pueden tener esos otros dos lados? 9. Supón que necesitamos 1 4 de galón de esencia de arándanos y de galón de jugo de manzana para preparar jugo de arándano y manzana para cuatro personas. Cuántos cuartos de galón de esencia de arándanos necesitaremos para preparar jugo con las mismas proporciones para 15 personas? 10. Los naipes en una baraja de cinco naipes han sido etiquetados con todos los números enteros del 0 al 4. Si seleccionamos dos naipes al azar sin volver a colocar cada uno en la baraja, cuáles son las probabilidades de que la suma de los dos valores obtenidos sea igual a 2? Respuestas 1. D 2. A 3. D 4. D 5. A