Sistemas de ecuaciones lineales y álgebra matricial

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1 Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales y álgebra matricial La resolución de ecuaciones, ya sean algebraicas, diferenciales o de cualquier otro tipo, es quizás el problema central del álgebra, y por ende, uno de los problemas básicos de las matemáticas A lo largo de este curso nos vamos a ocupar de las llamadas ecuaciones lineales, ya sean estas algebraicas o diferenciales El interés de estas es múltiple Algunas razones que motivan este interés son: Son el tipo de ecuaciones más simple Mediante ecuaciones lineales se modeliza una enorme cantidad de fenómenos en las más variadas disciplinas Muchos modelos, aunque no sean lineales, pueden reducirse a uno lineal con una buena aproximación Disponemos de métodos eficaces de resolución Comenzamos aquí tratando en primer lugar las ecuaciones lineales En lo que sigue, los coeficientes que aparecen en las ecuaciones se suponen reales o complejos Ejemplo 11 Consideremos un circuito eléctrico como en la figura adjunta Según una de las leyes de Kirchoff, la suma de las intensidades que entran en cada nodo es igual a la suma de las que salen Así, las intensidades en el circuito verifican el siguiente sistema de ecuaciones: I 1 +I 2 I 4 = 0 I 1 I 3 I 6 = 0 I 2 +I 3 +I 5 = 0 I 4 I 5 +I 6 = 0 El cálculo de las posibles intensidades requiere resolver un sistema de 4 ecuaciones lineales con 6 incógnitas Observemos que a ojo se encuentra una solución de la ecuación: I 1 = I 2 = I 3 = I 4 = I 5 = I 6 = 0 Esta solución representa el caso en que no pasa corriente (solución trivial) Habitualmente estamos interesados en el resto de las soluciones Por otra parte, veremos más tarde que el sistema anterior tiene múltiples soluciones Una de ellas, podemos comprobar que es I = (8, 2, 3, 6, 1, 5) Dado que las intensidades de corriente no pueden ser números negativos, también deberíamos descartar

2 2 TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ÁLGEBRA MATRICIAL esta solución Estas y otras consideraciones muestran que a la hora de resolver un sistema (o en general cualquier problema matemático), además de las consideraciones de tipo puramente matemático debemos tener en cuenta otras muchas derivadas de la naturaleza del problema inicial 3 I 5 I 2 4 I 3 I 4 I I 1 11 Sistemas de ecuaciones lineales Llamaremos sistema lineal de n ecuaciones y m incógnitas a un conjunto de expresiones del tipo a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1m x m = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2m x m = b 2 a n1 x 1 +a n2 x 2 + +a nm x m = b n, donde a ij K (K = R, C ó cualquier otro cuerpo) Una solución del sistema es una familia de números x 1,, x m K que satisfagan las igualdades anteriores Diremos que un sistema es: Incompatible, si no tiene ninguna solución Compatible, si tiene alguna solución Si un sistema es compatible, diremos que es: Determinado, si hay una única solución Indeterminado, si tiene varias soluciones Ejemplo 12 1 El sistema es incompatible 2x 1 3x 2 = 1 2x 1 3x 2 = 2 2 El sistema 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 es compatible Su única solución es x 1 = 1, x 2 = 1 3 El sistema x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 1 + x 2 x 3 = 2

3 11 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3 es compatible indeterminado Si a es un número real cualquiera, x 1 = 1 + a, x 2 = 1 + 3a, x 3 = 1 + 5a son soluciones Así pues, el estudio de un sistema de ecuaciones lineales implica el tratamiento de dos problemas: 1 Discusión de la compatibilidad del sistema, y en su caso, de la unicidad de la solución 2 Cálculo de la(s) soluciones, caso de que existan El método que expondremos aquí para la discusión y resolución de un sistema es el método de Gauss, o eliminación gaussiana Este método consta de dos fases: 1 Eliminación 2 Sustitución regresiva La idea básica en la que se basa este (y otros) métodos de resolución es la de convertir el sistema en uno equivalente, y que sea más sencillo de resolver Definición 13 Dos sistemas del mismo tamaño son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones Para transformar un sistema en otro equivalente empleamos las llamadas operaciones elementales con el sistema Se denominan operaciones elementales a las siguientes: 1 Añadir a una ecuación un número multiplicado por otra 2 Multiplicar una ecuación por un número a 0 3 Intercambiar dos ecuaciones Teorema 14 Si un sistema (S ) se obtiene a partir de otro (S) aplicando una sucesión de operaciones elementales, entonces (S) y (S ) son equivalentes Demostración : Daremos una idea de la prueba Observemos que basta considerar el caso en que (S ) se obtiene a partir de (S) empleando una única operación elemental ( por qué?) Supongamos que (S ) se obtiene de (S) aplicando una operación de tipo 1 Para simplificar, supongamos que a la segunda ecuación de (S) le hemos sumado la primera multiplicada por c Es decir, si (S) es entonces (S ) es a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21x 1 + a 22x a 2mx m = b 2, a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 (a 21 + ca 11 )x 1 + (a 22 + ca 12 )x (a 2m + cx 1m )x m = b 2 + cb 1 Si los números x 1,, x m verifican (S), debemos comprobar que verifican (S ) Para ellos, basta comprobar que verifican la segunda ecuación de (S ) (puesto que las demás no cambian), lo cual no presenta dificultad Por tanto, toda solución de (S) es también solución de (S ) Observemos ahora que las operaciones elementales son reversibles Esto es, si (S ) se obtiene de (S) por medio de una secuencia de operaciones elementales, también (S) se obtiene de (S ) sumando a la segunda ecuación la primera multiplicada por c Así pues, aplicando el razonamiento anterior, toda solución de (S ) es también solución de (S), y por consiguiente ambos sistemas tiene las mismas soluciones Dejamos al lector analizar qué pasa si (S ) se obtiene de (S) aplicando una operación de tipo 2 o de tipo 3

4 4 TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ÁLGEBRA MATRICIAL Los pasos, a grandes rasgos, del método de Gauss, en su forma más simplificada, son los siguientes: 1 Eliminamos la incógnita x 1 en todas las ecuaciones salvo la primera, empleando operaciones de tipo 1 Así, se resta a la ecuación i-ésima (i 1) la primera multiplicada por a i1 a 11 El término a 11 se llama pivote, y a i1 a 11, multiplicador 2 Nos olvidamos de la primera ecuación, y nos quedamos con el sistema de n 1 ecuaciones y m 1 incógnitas restante 3 Repetimos el proceso, eliminando x 2 en todas las ecuaciones menos la segunda (que ahora es la primera) 4 Continuamos hasta que nos quedemos sin ecuaciones, o sin incógnitas Al final de esta fase, llegamos a un sistema escalonado, es decir, de la forma siguiente: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + = b 1 a 22 x 2 + a 23 x 3 + = b 2 a 33 x 3 + = b 3 La fase de sustitución regresiva comienza ahora: 1 En la última ecuación que nos quede, despejamos una incógnita 2 Sustituimos el valor de esa incógnita en la penúltima ecuación, y despejamos la última incógnita eliminada 3 Repetimos el proceso, sustituyendo el valor despejado en la ecuación anterior, y despejando la incógnita anterior 4 Así sucesivamente, despejamos todas las incógnitas Ejemplo 15 Resolver el sistema x 1 +3x 2 +2x 3 = 2 x 1 x 2 +3x 3 = 5 2x 1 +9x 2 +5x 3 = 6 Eliminamos x 1 Para la segunda fila, el multiplicador es 1, y para la tercera, 2 x 1 +3x 2 +2x 3 = 2 2x 2 +5x 3 = 3 +3x 2 +x 3 = 2 Eliminamos x 2 El multiplicador para la tercera fila es 3/2 x 1 +3x 2 +2x 3 = 2 2x 2 +5x 3 = x 3 = 13 2 Llegamos a un sistema escalonado, y comenzamos la sustitución regresiva Despejamos x 3 = 1 Sustituimos en la segunda ecuación: 2x 2 5 = 3 2x 2 = 2 Despejamos x 2 = 1 Sustituimos en la primera ecuación: x = 2 x 1 = 1

5 12 ÁLGEBRA MATRICIAL 5 Ya está despejada x 1 En este ejemplo, no ha habido obstrucciones en la aplicación del método, y hemos comprobado que el sistema original tenía solución única Pero las cosas no siempre son tan fáciles, y en ocasiones topamos con situaciones en las que se presentan problemas, y que hemos de saber interpretar, y en su caso, corregir Veamos alguna de las cosas que pueden pasar: 1 En el paso r-ésimo, la incógnita x r no aparece en la ecuación r-ésima, pero sí en alguna de las siguientes En este caso, debemos intercambiar el orden de ambas ecuaciones (operación elemental de tipo 3) para poder continuar 2 Llegamos al paso r-ésimo, y la incógnita x r ha desaparecido de la ecuación r-ésima, y de todas las siguientes En este caso, seguimos el proceso con la incógnita x r+1 Al final, si el sistema es compatible, la incógnita x r podrá tomar cualquier valor, y en consecuencia el sistema será indeterminado 3 Llegado el paso r-ésimo, la ecuación r-ésima ha desaparecido, pero no así alguna de las siguientes Un cambio de orden de ecuaciones permite proseguir 4 Llegamos al paso r-ésimo y han desaparecido todas las ecuaciones, desde la ecuación r-ésima en adelante Damos aquí por concluida la fase de eliminación, y comenzamos la de sustitución regresiva 5 En la ecuación r-ésima han desaparecido todas las incógnitas Es decir, llegamos a una ecuación del tipo 0 = b, con b 0 El sistema es incompatible 6 El proceso de eliminación ha concluido porque no nos quedan más ecuaciones En la última de ellas aparecen varias incógnitas En este caso, debemos despejar una de ellas en términos de las restantes El sistema será compatible indeterminado Lo anterior responde a los problemas de índole algebraica o formal que podemos encontrar Hay otros problemas, de índole computacional o numérica que no abordaremos aquí y que nos obligan a modificar en ocasiones el algoritmo descrito anteriormente Veremos ejemplos de todas las situaciones anteriores Ejemplo 16 1 Analícense, y en su caso resuélvanse, los sistemas de ecuaciones lineales siguientes: x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + 4x 4 = 0 2x 1 + x 3 + 3x 4 = 3 2 x 1 + x 2 + 3x 3 = 2 x 1 + x 2 + 4x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 3x 3 = 0 3 x 1 2x 2 3x 3 + 4x 4 = 0 3x 1 + x 2 = 2 4x 1 x 2 3x 3 + 4x 4 = 2 2x 1 3x 2 3x 3 + 4x 4 = 2 4 2x 1 + 3x 2 x 3 = 3 2x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 1 2x 1 5x 2 9x 3 = 0 12 Álgebra matricial En la manipulación de los sistemas anteriores observamos que las operaciones las hacemos exclusivamente con los coeficientes Así, para simplificar, podríamos representar el sistema 2x 1 3x 2 +x 3 = 3 x 1 +x 2 +7x 4 = 0 x 1 3x 2 x 3 +2x 4 = 1

6 6 TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ÁLGEBRA MATRICIAL por medio del conjunto de números Esto constituye una de las motivaciones de la introducción del concepto de matriz, así como de la notación matricial Desarrollamos esta noción a lo largo del presente apartado, y posteriormente veremos como una matriz representa una aplicación lineal, idea esta que permite una mejor interpretación de gran número de conceptos del álgebra lineal Así, llamamos matriz de n filas y m columnas a un conjunto de nm coeficientes dispuestos rectangularmente como sigue: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm El conjunto de todas las matrices n m con coeficientes sobre un cuerpo K se denotará M n,m (K), o abreviadamente M n,m si no ha lugar a especificar el cuerpo Hay algunos tipos particulares de matrices, como son: 1 Matrices cuadradas (n = m) Escribimos M n 2 Matrices fila (n = 1), llamadas también vectores fila 3 Matrices columna (m = 1), llamadas también vectores columna En el conjunto M n,m se define una operación, la suma Si A, B M n,m, el coeficiente (i, j) (fila i, columna j) de A + B se define como la suma de los coeficientes (i, j) de A y de B Esta operación goza de algunas propiedades elementales: 1 A + (B + C) = (A + B) + C 2 A + B = B + A 3 Si denotamos A a la matriz obtenida tomando el opuesto de cada elemento de A, entonces A + ( A) = ( A) + A = 0 (denotamos 0 la matriz nula, aquella todos cuyos coeficientes son ceros) 4 A + 0 = 0 + A = A Así, decimos que (M n,m, +) es un grupo abeliano Dada una matriz A M n,m y un número a K, definimos el producto a A M n,m de tal forma que (a A) i,j = a (A) i,j (representamos A ij el elemento de la posición (i, j) de la matriz A) Esta nueva operación verifica: 1 a (A + B) = a A + a B 2 (a + b) A = a A + b A 3 (a b) A = a (b A) 4 1 A = A Ejercicio 17 Deducir de lo anterior que si a A = 0, entonces o bien a = 0 o bien A = 0

7 12 ÁLGEBRA MATRICIAL 7 Solución- Si a 0, multiplicamos por 1 a : 0 = 1 a (a A) = ( 1 a a ) A = 1 A = A Una tercera operación con matrices es la multiplicación Si A M n,m y B M m,p, definimos la matriz A B M n,p por m (A B) i,j = A ik B kj k=1 Observemos en primer lugar que para multiplicar dos matrices A, B, es preciso que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda Propiedades: 1 A (B C) = (A B) C 2 A (B + C) = A B + A C; (B + C) A = B A + C A 3 a (A B) = (a A) B = A (a B) 4 Denotamos I n la matriz identidad de tamaño n, es decir, I n es una matriz cuadrada de n filas y columnas tal que { 0 si i j (I n ) i,j = 1 si i = j Es decir, tiene 1 en la diagonal principal, y 0 en el resto de las posiciones Entonces, si A M n,m : Observaciones- I n A = A I m = A 1 No es cierto, en general, que A B = B A De hecho, en buena parte de los casos, la operación A B puede realizarse mientras que B A no Para que ambas puedan realizarse, es preciso que A M n,m y B M m,n En este caso, A B M n y B A M m, y si n m, no pueden ser iguales puesto que sus tamaños difieren Pero aunque n = m, no se da necesariamente la igualdad 2 Si A B = 0, no es cierto que necesariamente A = 0 ó B = 0 Por ejemplo, si ( ) ( ) A = ; B =, entonces A B = 0 (y B A 0) 3 Asimismo, si A B = A C, no puede deducirse que B = C Basta, en el ejemplo anterior, considerar C = 0 Mencionemos una última operación con matrices, la trasposición Si A M n,m, la matriz traspuesta de A, que denotamos A t, es una matriz de m filas y n columnas, tal que Propiedades: 1 (A t ) t = A 2 (A + B) t = A t + B t (A t ) i,j = A j,i

8 8 TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ÁLGEBRA MATRICIAL 3 (a A) t = a A t 4 (A B) t = B t A t Dada una matriz A M n, decimos que B es una inversa de A si A B = B A = I n Obviamente, B M n Proposición 18 La inversa, si existe, es única Demostración : Si B, C son dos inversas de A, entonces B = B I n = B (A C) = (B A) C = I n C = C Así, a la única inversa de A, si existe, la denotamos A 1 Decimos que A es inversible si posee inversa Propiedades: 1 (A 1 ) 1 = A 2 Si A es inversible, lo es A t, y (A t ) 1 = (A 1 ) t 3 Si A, B son inversibles, y del mismo tamaño, lo es A B, y (A B) 1 = B 1 A 1 Posteriormente veremos otras propiedades, así como una caracterización de la inversibilidad de matrices 13 Interpretación matricial de los sistemas de ecuaciones Utilizando el lenguaje de las matrices que acabamos de introducir, podemos representar un sistema de ecuaciones a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1m x m = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2m x m = b 2 a n1 x 1 +a n2 x 2 + +a nm x m = b n como Ax = b, donde x = (x 1,, x m ) t, b = (b 1,, b n ) t son vectores columna, y A la matriz n m formada por los coeficientes del sistema Algunas propiedades de las operaciones anteriores se aplican de manera inmediata al análisis de los sistemas Así: Si A M n es inversible, el sistema tiene solución única En efecto, si Ax = b es el sistema, x = A 1 b es la única solución, como fácilmente se comprueba Más generalmente, si A M n,m, y existe una matriz B M m,n con B A = I m, el sistema tiene solución única, o bien es incompatible En efecto, el único candidato a solución es x = B b No obstante, esto no tiene por qué ser solución Por ejemplo, el sistema 2 1 ( 1 0 x = y) no tiene solución, y sin embargo ( ) = I

9 13 INTERPRETACIÓN MATRICIAL DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES 9 Interpretemos el proceso de eliminación gaussiana a partir del álgebra matricial Al igual que antes, si A M n,m, llamaremos operaciones elementales por filas en A a las siguientes: 1 Sumar a una fila otra multiplicada por un número 2 Multiplicar una fila por un número a 0 3 Intercambiar dos filas Dado el sistema anterior, llamaremos A M n,m la matriz del sistema, y A = (A b) M n,m+1 matriz ampliada Es claro que el proceso de eliminación gaussiana puede llevarse a cabo realizando operaciones elementales por filas con la matriz A Definición 19 Diremos que una matriz A está en forma escalonada superior si: 1 Todas las filas con ceros se encuentran en la parte baja 2 Si en la fila i, llamamos entrada principal i-ésima a la primera posición no nula, la entrada principal de cada fila está a la derecha de la entrada principal de las filas superiores 3 Debajo de cada entrada principal hay ceros El proceso de eliminación gaussiana se interpreta aquí como: Proposición 110 Toda matriz es equivalente por filas (es decir, puede transformarse mediante una sucesión de transformaciones elementales por filas) a una matriz escalonada Observemos que las operaciones elementales por filas pueden realizarse multiplicando A por la izquierda por una matriz inversible n n, llamada matriz elemental Así: Operación 1: Corresponde a multiplicar por la matriz identidad a la que se le ha añadido un elemento a 0 en la posición (i, j) Operación 2: Multiplicación por la matriz identidad, donde el 1 del lugar (i, i) se ha sustituido por a 0 Operación 3: Matriz identidad con las filas i, j permutadas Proposición 111 Sea A M n,m 1 Existen matrices elementales E 1,, E r tales que E r E 1 A está en forma escalonada 2 Existe C M n inversible tal que C A es escalonada Llamamos pivotes a las posiciones de las entradas principales i-ésimas El proceso de intercambiar dos líneas se denomina pivotaje Así, hemos visto que todo sistema de ecuaciones lineales es equivalente a un sistema Ux = b, donde U M n,m es una matriz escalonada En este caso: 1 El sistema es compatible si y sólo si las filas nulas de U se corresponden con elementos nulos del vector columna b 2 El sistema es compatible para todo vector b si y sólo si no hay filas nulas en U, es decir, hay n pivotes (es necesario para esto que n m)

10 10 TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ÁLGEBRA MATRICIAL Comentemos algunos casos El que un sistema sea determinado o indeterminado depende sólo del sistema homogéneo asociado Más precisamente observemos lo siguiente: Sea Ax = b un sistema de ecuaciones n m y x 1, x 2 dos soluciones del mismo Restando las igualdades Ax 1 = b; Ax 2 = b, obtenemos que A(x 1 x 2 ) = 0 Es decir, x 1 x 2 es solución del sistema homogéneo correspondiente Concretando: Proposición 112 Sea Ax = b un sistema compatible Entonces es determinado si y sólo si el sistema homogéneo asociado Ax = 0 sólo tiene la solución trivial Estudiamos, por consiguiente, los sistemas homogéneos Por lo anterior, si n < m (es decir, si hay menos ecuaciones que incógnitas), el sistema es indeterminado, puesto que es compatible, y hay menos pivotes que incógnitas La solución no es única Con más generalidad, si un sistema homogéneo con n ecuaciones y m incógnitas tiene r pivotes, la solución dependerá de m r parámetros El sistema tendrá sólo la solución trivial si y sólo si r = m Lo anterior admite una interpretación desde el punto de vista matricial, que describiremos a continuación En primer lugar, observemos que, mediante transformaciones elementales podemos llevar A más lejos que en forma escalonada: Definición 113 Decimos que A está en forma escalonada reducida si además de estar en forma escalonada se tiene: 4 El valor de cada pivote es 1 5 En cada columna donde hay un pivote, este es el único elemento no nulo de dicha columna Juntando todo lo anterior obtenemos el siguiente teorema: Teorema El sistema n m Ax = 0 tiene solución única si y sólo si existe una matriz B M m,n con B A = I m En este caso, necesariamente debe ser n m 2 Si n = m, Ax = 0 tiene solución única si y sólo si A es inversible Demostración : El si de ambos puntos ya está visto Supongamos que Ax = 0 tiene solución única Multiplicando por C M n, producto de matrices elementales, tenemos que C A tiene m pivotes y está en forma escalonada reducida Es decir: C A = Im 0 Tomamos B la matriz formada por las m primeras filas de C Entonces B A = I m Aplicando esto al apartado 2, Ax = 0 tiene solución única si y sólo si existe B M n con B A = I n Veamos que, en este caso, A es inversible y además B = A 1 Para ello, sea e i = (0,, 1, 0,, 0) t y consideramos el sistema Ax = e i Tiene solución única x i Formamos la matriz C = (e 1 e n), que obviamente verifica A C = I n Un sencillo cálculo muestra que C = B y así B A = A B = I n, de donde se sigue el resultado Nota 115 (Matrices en bloques) En la prueba anterior, hemos utilizado para la matriz C una notación denominada por bloques Frecuentemente se utiliza ésta: se divide una matriz en cajas rectangulares de tamaños compatibles,

11 14 SISTEMAS CUADRADOS FACTORIZACIÓN LU 11 como si la matriz original estuviera compuesta por submatrices dispuestas rectangularmente Siempre que los tamaños sean compatibles, con esta notación pueden sumarse y multiplicarse matrices como se haría si en vez de bloques fueran números El uso de la forma escalonada reducida, en particular, nos propocrciona un método para el cálculo de la matriz inversa, cuando exista, denominado método de Gauss-Jordan, y que detallaremos en ejercicios Este método también nos permitirá la resolución simultánea de varios sistemas de ecuaciones Hemos mostrado, además, de forma adicional, lo siguiente: Proposición 116 Sea A M n A es inversible si y sólo si A es producto de matrices elementales Demostración : Las matrices elementales son inversibles y su producto también Si A es inversible, el proceso de eliminación gaussiana muestra que A 1 = E r E 1, E i elementales Así y la inversa de una matriz elemental es elemental A = E 1 1 E 1 r, El resultado anterior, para nosotros, es esencialmente teórico, aunque resulta de utilidad, por ejemplo, para probar la propiedad de los determinantes de conservar los productos de matrices, como veremos en el tema correspondiente Ejemplo Una matriz diagonal d d 22 D = es inversible si y sólo si d ii 0 En este caso, 1/d 11 0 D 1 0 1/d 22 = d nn 1/d nn 2 Una matriz triangular A (superior o inferior) es inversible si y sólo si todos los elementos de su diagonal principal son no nulos En efecto, en este caso, el sistema Ax = 0 tiene solución única, lo que caracteriza la inversibilidad 14 Sistemas cuadrados Factorización LU Un tipo particular notablemente importante de sistemas son los cuadrados, es decir, aquellos en los que hay una misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas Si Ax = b es un tal sistema, como corolario del teorema 1114 obtenemos que tiene solución única si y sólo si A es inversible Estudiemos con algo más de detalle estos sistemas Sin duda el tipo más simple son aquellos tales que a a 22 D = a nn

12 12 TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ÁLGEBRA MATRICIAL con a ii 0 La única solución es x i = b i a ii Si la matriz del sistema es l l 21 l L = l 31 l 32 l 33 0 l n1 l n2 l n3 l nn (triangular inferior), con l ii 0, la solución también es fácil Despejamos en primer lugar x 1 = b 1 l 11, y sustituyendo, proseguimos con x 2, x 3, Si la matriz es u 11 u 12 u 13 u 1n 0 u 22 u 23 u 2n U = 0 0 u 33 u 3n u nn con u ii 0, podemos hacer lo mismo, empezando a despejar x n = b n u nn, y continuando hacia atrás Por último, si el sistema tiene la forma LUx = b, con L, U como antes, podemos resolverlo en dos fases: en primer lugar resolvemos y en segundo lugar, Lz = b, Ux = z Si una matriz A M n inversible puede factorizarse como A = LU, decimos que admite una factorización LU Observemos que el conocimiento de esta factorización para una matriz A permite sistematizar la resolución de los sistemas Ax = b, sea cual sea el vector b Proposición 118 Si el método de Gauss puede llevarse a cabo sin pivotaje, entonces A admite factorización LU Demostración : En efecto, en la fase de eliminación estamos multiplicando por una matriz elemental que es diagonal inferior Tras esta fase, llegamos a un sistema cuya matriz es U, diagonal superior es decir, E r E 1 A = U, con E i matriz elemental correspodiente a una operación elemental del primer tipo, y por tanto, diagonal inferior Así, A = E 1 1 Er 1 U, y si L = E 1 1 Er 1, tenemos la factorización buscada El recíproco también es cierto: si existe factorización LU, el método de Gauss a partir de A se lleva a cabo sin pivotaje Es posible saber de antemano si una matriz dada admite factorización LU Si A M n, llamamos menores principales de A a las matrices formadas por las r primeras filas y columnas de A Entonces: Proposición 119 Una matriz A M n tiene una factorización LU si y sólo si todos sus menores principales son inversibles

13 15 EJERCICIOS 13 Demostración : Veamos sólo una implicación Supongamos que A posee una factorización LU, y sean A r, L r, U r los menores principales de tamaño r de A, L, U, respectivamente Tenemos Lr 0 L r Ur 0 U r = Ar con lo que L ru r = A r Como L r, U r son inversibles, lo es A r La factorización LU de una matriz no es única Supongamos que A = L 1 U 1 = L 2 U 2 Operando, L 1 2 L 1 = U 2 U1 1 es una matriz diagonal D Así, L 2 = L 1 D 1, U 2 = DU, y por tanto si D es cualquier matriz diagonal inversible y A = LU, entonces (LD)(D 1 U) es otra Habitualmente se elige una factorización de manera que los elementos de la diagonal de L sean unos En un ejemplo veamos cuál es el método práctico para llevar a cabo esta factorización Ejemplo 120 Calcular una factorización LU para la matriz A = Eliminamos los elementos de las posiciones (2, 1) y (3, 1) Los multiplicadores respectivos son 1/2, 1/2 Tras este paso obtenemos /2 7/2 0 1/2 1/2 Eliminamos ahora el elemento de la posición (3, 2) El nuevo multiplicador es 1/3 Llegamos a: U = /2 7/ /3 La matriz L es ahora la obtenida a partir de los multiplicadores: L = 1/ /2 1/ Ejercicios 1 Discutir y resolver los siguientes sistemas: 2x +8y +6z = 20 a) 4x +2y 2z = 2 b) 3x y +z = 11 x +2y +z 2t = 10 x +2y z +t = 6 y +z = 2

14 14 TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ÁLGEBRA MATRICIAL 2 Discutir y resolver, en su caso, los siguientes sistemas de ecuaciones: ax +y +z = a x +2y +z = 2 x +ay z = 1 a) b) x +y +2z = 3 3x +y +bz = 2 x +2y +z = b x y z = 1 c) d) x +y +az +bt = a + b + 1 2x +3y +az +2bt = 3a + 2b + 1 x +y +2az +2bt = 2b + 2 x +2y +2bt = a + 2b λx +y +z = λ 2 x +y +λz = λ x +y +2λz = 2 3 Probar que el sistema e) x y z (1 + λ)x +y +z = 1 x +(1 + λ)y +z = λ x +y +(1 + λ)z = λ 2 = α β γ posee solución única para cualquier valor de α, β, γ, y hallar ésta α, β, γ R 4 De una matriz A M 3 4 (R) se sabe que una forma escalonada es U = Se sabe que para pasar de la matriz A a la matriz U: Hay pivotaje entre la primera y la tercera fila antes de comenzar el proceso de hacer ceros debajo de los pivotes Los multiplicadores del proceso valen: 2, 0 (para el primer pivote) y 1 (para el segundo) Determina la matriz A 5 Considera el sistema de ecuaciones, escrito en forma matricial: 1 0 ( 0 1 x = y) a b 2 3 c Para qué vectores columna (a, b, c) t el sistema tiene solución? Es única? 6 Considera la reacción química siguiente: PbN 6 + CrMn 2 O 8 Pb 3 O 4 + Cr 2 O 3 + MnO 2 + NO, en la que falta el número de moléculas de cada tipo necesarios para que la reacción esté equilibrada Escribe un sistema de ecuaciones para calcular el número de moléculas de cada tipo necesarias De las infinitas soluciones del sistema, extrae las que tengan sentido para el problema 7 Evaluar las siguientes operaciones con matrices: ( ) 5 (2 ) ( ) ( ) 5 a) 6 b) ( ) c)

15 15 EJERCICIOS 15 8 Una empresa fabrica televisores de 14, 21 y 25 pulgadas, en sus fábricas de Valladolid, Burgos, Soria y Palencia En la fábrica de Valladolid fabrica a la semana 400 televisores de 14 pulgadas, 100 de 21 y 500 de 25 En la de Burgos, 300, 150 y 40 de 14, 21 y 25 pulgadas, respectivamente En la de Soria, 100, 100 y 20, y en la de Palencia, 200, 150 y 300 Los precios de venta de cada uno de los televisores son 110, 150 y 200, respectivamente a) Escribe una matriz A que represente las producciones de televisores en las distintas fábricas, y un vector columna x que represente los precios b) Qué representa el vector Ax? 9 Calcular la inversa de las siguientes matrices: a) b) c) e) /2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 d) Probar que si A, B son matrices cuadradas n n tales que AB es inversible, entonces A y B son inversibles y A 1 = B(AB) 1 B 1 = (AB) 1 A 11 Diremos que una matriz A es antisimétrica si A t = A a) Mostrar que toda matriz antisimétrica es cuadrada b) Probar que si A M n (R) es antisimétrica, entonces los elementos de su diagonal principal son ceros 12 Sea A(α) = 1 α α2 /2 0 1 α Se pide: a) Demostrar que A(α)A(β) = A(α + β) b) Calcular la inversa de A(α) c) Demostrar que A(3α) 3A(2α) + 3A(α) = I 3 13 Sea A(a, h) la familia de matrices dada por ah a a a a ah a a A(a, h) = a a ah a a a a ah a) Comprobar si el producto de 2 matrices de esta familia es de nuevo una matriz de la familia b) Estudiar si A(a, h) tiene inversa perteneciente a la familia 14 Probar que si A es una matriz simétrica e inversible, entonces A 1 también es simétrica

16 16 TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ÁLGEBRA MATRICIAL 15 Sean A M n, C M m dos matrices inversibles, y B M n,m Calcula una matriz X M n,m de manera que la inversa de la matriz por bloques ( ) A B M = 0 C sea ( A 1 X 0 C 1 16 Una matriz A se llama idempotente si A 2 = A ) a) Prueba que una matriz idempotente es cuadrada b) Son idempotentes las matrices siguientes? ( ) 1 0 ; 0 0 ( ) 0 1 ; c) Calcula a, b y c para que la matriz ( ) a 0 sea idempotente b c 17 Calcula A 1 B, sin calcular previamente A 1, donde A y B son las matrices A = ; B = Sin calcular A 1, calcula el producto A 1 x, donde A es la matriz A = , y x el vector columna (1, 2, 1, 3) t 19 Resuelve simultáneamente los dos sistemas de ecuaciones lineales siguientes: x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 7 x 1 +x 2 +2x 4 = 8 2x 1 +2x 2 +3x 3 = 10 x 1 x 2 2x 3 +2x 4 = 0 ; x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 7 x 1 +x 2 +2x 4 = 5 2x 1 +2x 2 +3x 3 = 10 x 1 x 2 2x 3 +2x 4 = 0 20 Halla una matriz elemental E que transforme la matriz A en B, donde: a) A = ; B = b) A = ; B = c) A = ; B =

17 15 EJERCICIOS Un vector columna (x 1,, x n ) t se llama vector de probabilidad si x i 0, i y n x i = 1 Asimismo, una matriz M M n,m (R) se llama matriz de probabilidad si sus columnas son vectores de probabilidad a) Probar que el producto de dos matrices de probabilidad es una matriz de probabilidad b) Probar que si M M n m (R) es una matriz de probabilidad, y x R m es un vector de probabilidad, M x es un vector de probabilidad 22 Las matrices de probabilidad, introducidas en el ejercicio anterior, sirven para representar las transiciones entre los diferentes estados de un sistema en una unidad de tiempo Así, por ejemplo, supongamos que un sistema tiene n estados diferentes Tras una unidad de tiempo, la probabilidad de pasar del estado j al estado i es p ij Formamos la matriz P = (p ij ) i,j Esta es una matriz de probabilidad Veamos un ejemplo Hay dos empresas de televisión por cable, A y B Tras un mes, un 20 % de los abonados a A se pasan a B, y un 15 % dejan de tener televisión por cable De aquellos abonados a B, un 15 % se pasan a la compañía A, mientras que otro 15 % deja de tener cable Por último, de los ciudadanos que no tienen televisión por cable, al cabo de un mes un 10 % se abonan a la compañía A, y un 5 % a la compañía B a) Escribe la matriz P de transición de este sistema b) Si en el instante inicial hay abonados a la compañía A, a la compañía B y sin cable, calcula matricialmente cuántos ciudadanos hay en cada una de estas situaciones al cabo de un mes c) Lo mismo que el apartado anterior, pero al cabo de dos meses, y al cabo de tres meses 23 De una población de habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman un paquete al día o menos, y 2500 fuman más de un paquete al día Tras un mes, un 5 % de los no fumadores pasan a fumar un paquete o menos, y un 2 %, más de un paquete De aquellos que fuman como mucho un paquete, un 10 % deja de fumar, mientras que otro 10 % pasa a fumar más de un paquete Por último, de los que fuman más de un paquete diario, al cabo de un mes un 5 % deja de fumar, y un 10 % pasa a fumar un paquete o menos a) Escribe una matriz de transición P para este sistema b) Calcula matricialmente cuánta gente hay en cada una de las situaciones al cabo de un mes, y de dos, y de tres 24 Calcula una factorización LU para las matrices siguientes: a) b) Calcula una factorización LDU para la matriz siguiente: Qué relación observas entre las matrices L y U? A qué lo atribuyes? i=1