1.1 Primeras definiciones. Una matriz A es una colección de m n escalares, organizados en m filas y n columnas de la forma que se indica

Transcripción

1 Matrices Las Matrices se consideran en este primer Capítulo independientemente de lo que pueden representar. Se dan aquí las primeras definiciones; se aprende a operar con matrices, tanto reales como complejas y se estudian sus propiedades. El interés de las matrices está en su uso en numerosas aplicaciones prácticas. Como entidades consideradas en sí mismas, las matrices surgieron históricamente mucho más tarde que los determinantes. La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por determinantes ha cedido a la resolución mediante cálculo matricial, que conduce a un costo computacional mucho menor. 1

2 1.1 Primeras definiciones 1.1 Primeras definiciones Una matriz A es una colección de m n escalares, organizados en m filas y n columnas de la forma que se indica a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = [ ] a m1 a m2 a mn 1.1 La palabra escalar indica un número cualquiera del campo numérico K en el que se esté trabajando; normalmente K es el cuerpo R de los números reales o el cuerpo C de los números complejos. El escalar a ij representa un elemento cualquiera de la matriz A, llamado elemento genérico de A, donde el par de subíndices (i, j) define la posición del elemento a ij en la matriz, el cual se halla en la fila i y columna j. La matriz A se dice que tiene tamaño m n (se lee m por n) por tener m filas y n columnas, escribiendo en ocasiones A m n ; en el caso particular en que se cumpla m = n, la matriz se llama cuadrada y se dice que es de orden n. En este caso, los elementos con subíndices repetidos a 11, a 22,, a nn 1.2 forman la diagonal principal de A. Si se suman los elementos de la diagonal principal de A se obtiene la traza de A que es un escalar de K. n traza(a) = a ii = a 11 + a a nn 1.3 i=1 Ejemplo 1.1 Una matriz formada por una sola columna se llama matriz columna; análogamente, una matriz formada por una sola fila se llama matriz fila. La notación para las matrices columna suele ser mediante letras latinas minúsculas: u, v,, mientras que para las matrices fila se usa una notación en la que aparece una columna con el supra índice T a la derecha: u T, v T, Esta notación particular ayuda a distinguir inmediatamente si se está trabajando con filas o columnas. Aunque más adelante se identificará T con el operador trasposición. La matriz

3 1.2 Suma matricial α 1 α 2 es una columna de tamaño n 1, mientras que la matriz u = [ ] 1.4 α n u T = [α 1 α 2 α n ] 1.5 es una fila de tamaño 1 n, que procede de la columna u por trasposición (la noción de trasposición se estudiará más adelante con detalle) Una matriz que sólo contiene un elemento se identifica con el elemento que contiene. Así la matriz A = [α] α 1.6 es una matriz de tamaño 1 1 que se identifica con el escalar α. Una matriz con todos sus elementos iguales a cero se llama matriz nula y se denota por O m n, donde m n es el tamaño de esa matriz O m n = [ ] La matriz identidad I n es una matriz cuadrada de orden n con todos sus elementos cero, excepto los de la diagonal principal que tienen de valor la unidad I n = [ ] Las columnas de I n se denominan columnas básicas y toman una notación especial: e 1 = [ ], e 2 = [ ],, e n = [ ] Suma matricial Sean A y B dos matrices del mismo tamaño m n. La matriz C, de tamaño m n, es la suma de A y B, y se escribe C = A + B, si c ij = a ij + b ij, i, j 1.10

4 1.3 Producto por escalares esto es, los elementos de la matriz suma C son el resultado de sumar los elementos de A y B que ocupan los mismos lugares, guardando en esos lugares los resultados (ver figura 1.1). A + B = [ a ij ] + [ b ij ] = [ a ij + b ij ] = C La notación se lee para todo. Propiedades: Figura (A + B) + C = A + (B + C) Asociativa 2. A + B = B + A Conmutativa 3. A + O = A Matriz nula 4. A + ( A) = O Matriz opuesta La propiedad 1 permite desplazar los paréntesis tal como se indica; la propiedad 2 afirma que el resultado de la suma no depende del orden de los sumandos; la propiedad 3 afirma que la matriz nula es el elemento neutro de la suma; finalmente, la propiedad 4 define la matriz opuesta de otra matriz. Se ha supuesto en las expresiones anteriores que las matrices con las que se opera tienen el mismo tamaño. 1.3 Producto por escalares Sea α un escalar y A una matriz de tamaño m n. La matriz C, de tamaño m n, es el producto de α por A, y se escribe C = αa, si c ij = αa ij, i, j 1.11 esto es, los elementos del producto C obtenido son el resultado de multiplicar por α los elementos de A, guardando en los mismos lugares los resultados (ver figura 1.2). αa = α [ a ij ] = [ αa ij ] = C Figura 1.2

5 1.4 Conjugación matricial Propiedades: 5. α(βa) = (αβ)a Asociativa 6. α(a + B) = αa+ αb Primera distributiva 7. (α + β)a = αa + βa Segunda distributiva 8. 1A = A Producto por la unidad Estas propiedades son auto explicativas, teniendo en cuenta que α y β son escalares. Nótese que el producto siempre es un escalar por una matriz, y no al revés, una matriz por un escalar. 1.4 Conjugación matricial Ejemplo 1.2 Conjugar un número complejo α, de la forma α = a + bi, donde a y b son números reales e i = 1 la unidad imaginaria, significa cambiar de signo a la parte imaginaria b de α, manteniendo la parte real a de α. Así pues, el número complejo es el conjugado del número complejo α = a bi 1.12 α = a + bi 1.13 Los número reales se caracterizan por tener su parte imaginaria igual a cero, o lo que es lo mismo, coinciden con su conjugado, como es muy fácil probar. Nótese además que: α α = (a bi)(a + bi) = a 2 + b 2 = α lo que significa que el producto del conjugado de un número complejo por ese número complejo coincide con el cuadrado del valor absoluto del citado complejo. Toda matriz A formada por números complejos se puede escribir de la forma A = B + ic 1.15 siendo B y C matrices reales, esto es, formadas por sólo números reales. La matriz B recibe el nombre de parte real de A y la matriz C recibe el nombre de parte imaginaria de A

6 1.5 Trasposición matricial 1 3i 2 + 5i 2 5 [ ] = [1 ] + i [ 3 2i ] Pues bien, conjugar una matriz significa conjugar todos sus elementos. Así, si A es una matriz compleja de tamaño m n, la conjugada C de A, escrita A es una matriz compleja del mismo tamaño m n que A tal que (Ver figura 1.3). c ij = a, ij i, j 1.16 Propiedades: A = [ a ij ] = [ a ij ] = C Figura A + B = A + B 10. αa = α A Conjugada de la suma Conjugada del producto por α 11. A = A Conjugada de la conjugada 12. A es real si y sólo si A = A Matriz real La propiedad 12 se justifica fácilmente. El directo es inmediato; el recíproco, si A = B + ic, con B y C reales, y se cumple A = A, entonces de la identidad B ic = B + ic se concluye identificando las partes imaginarias que C = O, esto es, A = B, por lo que A es una matriz real por serlo B. 1.5 Trasposición matricial Trasponer una matriz significar intercambiar columnas por filas, esto es, las columnas de la matriz original pasan a ser filas de la matriz traspuesta. Dada la matriz A de tamaño m n, la traspuesta C de A, que se escribe A T, es la matriz de tamaño cambiado n m tal que c ij = a ji, i, j 1.17 (Ver figura 1.4). a A T ji = [ ] T = [ a ji ] = C Figura 1.4

7 1.5 Trasposición matricial Ejemplo 1.3 Está claro que la traspuesta de la columna α 1 α 2 u = [ ] 1.18 α n es la fila u T = [α 1 α 2 α n ] 1.19 Propiedades: 13. (A + B) T = A T + B T Traspuesta de la suma 14. (αa) T = αa T Traspuesta del producto por α 15. (A ) T = (A T ) Traspuesta de la conjugada 16. (A T ) T = A Traspuesta de la traspuesta En general, una matriz cuadrada A se llama simétrica si A T = A, esto es, si a ij = a ji, i, j 1.20 De otra parte, una matriz cuadrada A se llama antisimétrica si A T = A, esto es, si a ij = a ji, i, j 1.21 Ejemplo 1.4 Las matrices simétricas se reconocen porque por encima y por debajo de la diagonal principal se repiten los mismos valores, simétricamente dispuestos respecto de la diagonal principal; las matrices antisimétricas se reconocen porque la diagonal principal está formada por ceros y por encima y por debajo de la misma se repiten los mismos valores, cambiados de signo, simétricamente dispuestos respecto de la diagonal principal. La matriz [ 2 4 5] es simétrica, mientras que la matriz

8 1.6 Trasposición hermítica es antisimétrica [ 1 0 3] Trasposición hermítica La propiedad 15 del apartado anterior permite definir la traspuesta hermítica de A, que se denota por A H, mediante A H = (A ) T = (A T ) 1.22 Los operadores trasposición y conjugación conmutan entre sí, y forman un nuevo operador de trasposición hermítica H. En el campo complejo se consideran las matrices hermíticas, que cumplen la condición A H = A y las matrices antihermíticas, que verifican A H = A. Ejemplos y propiedades de estas matrices serán objeto de ejercicios. 1.7 Producto matricial Vamos en este apartado a definir el producto matricial entre dos matrices, cumpliendo una condición previa de tamaños. El producto de la matriz A de tamaño m n por la matriz B de tamaño n p es la matriz C de tamaño m p de modo que n c ij = a ik b kj k=1 = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj, i, j 1.23 esto es, el elemento c ij de la matriz producto C se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de B y sumando los resultados intermedios (ver figura 1.5). AB = a i1 a ik a in [ ] [ b 1j b kj = b nj ]

9 1.7 Producto matricial = c ij = C [ ] Figura 1.5 Ejemplo 1.5 Ejemplo 1.6 Ejemplo 1.7 a b p r t [ q s u ] [ pa + rc + te pb + rd + tf c d] = [ qa + sc + ue qb + sd + uf ] e f Se van a presentar en lo que sigue las propiedades del producto matricial: Propiedades: 17. (AB)C = A(BC) Asociativa 18. A(B + C) = AB + AC Primera distributiva 19. (A + B)C = AC + BC Segunda distributiva 20. AI n = I m A = A Producto por la identidad 21. AB BA, en general No conmutatividad 22. A(αB) = (αa)b = α(ab) Producto con escalares 23. AB = A B Conjugada del producto 24. (AB) T = B T A T Traspuesta del producto 25. (AB) H = B H A H Traspuesta hermítica del producto La propiedad 21 nos advierte de que el producto matricial depende en general del orden de los factores; las propiedades 24 (y 25) afirman que la traspuesta (traspuesta hermítica) del producto es el producto de traspuestas (traspuestas hermíticas), pero cambiando el orden de escritura. Puede suceder que el producto de A por B sea la matriz nula O, sin necesidad de que A o B sean nulas, como se prueba con el siguiente ejemplo: [ ] [ 1 1] = [ ] 1 1 Se dice que las matrices A y B conmutan si AB = BA. Para que dos matrices conmuten es necesario, no suficiente, que sean cuadradas. El conmutador de A y B es por definición la matriz AB BA.

10 1.7 Producto matricial Las matrices A = [ ] y B = [ ] conmutan, pues Ejemplo 1.8 y su conmutador es la matriz nula. AB = BA = [ ] De otra parte, si A es de tamaño p q y B es de tamaño q p las matrices E = AB y F = BA serán cuadradas, la primera de orden p y la segunda de orden q, cumpliéndose lo que afirma la siguiente proposición: Proposición 1.1: Si A es de tamaño p q y B es de tamaño q p, la traza de la matriz AB coincide con la traza de la matriz BA Demostración: Sea E = AB, matriz cuadrada de orden p, y F = BA, matriz cuadrada de orden q. Se tiene p traza(e) = e ii = ( a ik b ki ) i=1 q p i=1 q k=1 traza(f) = f kk = ( b ki a ik ) k=1 Ambas expresiones conducen al mismo resultado teniendo en cuenta que los factores a ik b ki y b ki a ik conducen al mismo resultado y que se pueden intercambiar los sumatorios en cualquiera de las dos expresiones, luego en las condiciones del enunciado q k=1 p i=1 traza(ab) = traza(ba) Sean las matrices A = [ ], B = [ 1 2]. Se tiene 1 3 siendo AB = [ ], BA = [ 1 3 2] traza(ab) = traza(ba) = 7

11 1.8 Potencias de matrices cuadradas 1.8 Potencias de matrices cuadradas Vamos a definir las potencias naturales de una matriz cuadrada A de orden n: Por convenio Se tiene que A 0 = I n 1.24 A 1 = AA 0 = AI n = A A 2 = AA 1 A 3 = AA 2 y, en general, se demuestra por inducción que Se tiene además A k+1 = AA k 1.25 A p A q = A q A p = A p+q 1.26 con p y q números naturales cualesquiera. Obsérvese que lo correcto es escribir para el cuadrado de la suma (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + AB + BA + B 2 con A y B cuadradas del mismo orden, en lugar de (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 a no ser que AB = BA, esto es, A y B conmuten. Para matrices A y B que conmutan se tiene la siguiente fórmula del binomio de Newton, en la que p es un número natural p (A + B) p = ( p k ) Ap k B k k= siendo ( p p(p 1)(p 2) (p k + 1) p! ) = = k k! k! (p k)! 1.28

12 1.8 Potencias de matrices cuadradas Ejemplo 1.9 el número combinatorio p sobre k. La demostración se puede hacer por inducción sobre p. Se recuerda la notación! (factorial) con, en general, q! denotando el producto de los números naturales sucesivos de 1 a q. Se pide calcular A p con y p un número natural A = [ 0 1 1] Nótese que A = I + B, con I la matriz identidad y B la matriz B = [ 0 0 1] La matriz identidad I conmuta con cualquier matriz cuadrada de su mismo orden, en particular con B. Se puede por tanto usar la fórmula del binomio de Newton para calcular A p = (I + B) p. Además B 2 = [ 0 0 0] y B 3 = [ 0 0 0] de lo que se deduce, también por inducción sobre k, que B k = [ 0 0 0], con k Se tiene, usando la fórmula del binomio de Newton, ya que son nulas las potencias de B mayores que dos, esto es A p = (I + B) p = ( p 0 ) Ip B 0 + ( p 1 ) Ip 1 B 1 + ( p 2 ) Ip 2 B 2 A p = I + pb + p(p 1) B 2 = 2 p(p 1) p [ 0 1 0] + [ 0 0 p] + [ 2 ] =

13 1.9 Inversas de una matriz p(p 1) 1 p [ 2 ] 0 1 p Inversas de una matriz Se va a tratar en este apartado de las inversas por la izquierda y por la derecha de una matriz A de tamaño m n. Ejemplo 1.10 Se dice que L es una inversa por la izquierda de A si Nótese que el tamaño de L debe ser n m. LA = I n 1.29 La matriz L = [ ] es una inversa por la izquierda de la matriz A = [ 1 2] 1 1 pues Ejemplo 1.11 LA = [ ] [ 1 2] = [ ] = I Análogamente, se dice que R es una inversa por la derecha de A si AR = I m 1.30 Nótese, como sucedía antes, que el tamaño de R también debe ser n m. 1 La matriz R = [ 1] es una inversa por la derecha de la matriz A = [1 1 1] ya 1 que 1 AR = [1 1 1] [ 1] = 1 = I 1 1 Las inversas por la izquierda o por la derecha no tienen por qué existir; más aún, caso de existir no tienen por qué ser únicas. Se tienen las siguientes proposiciones:

14 1.10 La matriz inversa Proposición 1.2: Caso de que existan a la vez ambas clases de inversas L y R para la matriz A, dichas inversas coinciden Demostración: L = LI m = L(AR) = (LA)R = I n R = R Proposición 1.3: Caso de que existan ambas clases de inversas para la matriz A, la citada matriz A debe ser cuadrada Demostración: Llamando B a las matrices L y R, ya que L = R, de las definiciones 1.29 y 1.30 se tiene: BA = I n y AB = I m, y de la proposición 1.1 se deduce inmediatamente que m = n, ya que pero luego m = n traza(ab) = traza(i m ) = m traza(ba) = traza(i n ) = n traza(ab) = traza(ba), 1.10 La matriz inversa Dada la matriz A, cuadrada de orden n, se dice que la matriz B, también cuadrada de orden n, es la inversa de A si es a la vez inversa por la izquierda y por la derecha de A, esto es, si se cumplen las dos identidades siguientes: Ejemplo 1.12 BA = I n y AB = I n 1.31 en cuyo caso la inversa B de A se escribe A 1, de ahí que podamos escribir A 1 A = I n y AA 1 = I n 1.32 La matriz B = [ ] es la inversa de la matriz A = [ ] pues y también AB = [ ] [ ] = [ ] = I 2 BA = [ ] [ ] = [ ] = I 2 Proposición 1.4: La inversa de una matriz cuadrada A, cuando existe, es única

15 1.10 La matriz inversa Demostración: Sea B una inversa de A. Se cumple AB = I y BA = I. Si B fuera otra inversa de la matriz A se debería cumplirb A = I (y también AB = I). Multiplicando B A = I miembro a miembro por la derecha por B se tiene (B A)B = IB, con lo que B (AB) = B, B I = B, B = B. Más adelante se podrá probar que cuando se verifica la identidad AB = I para una matriz cuadrada A también debe verificarse la identidad BA = I, y recíprocamente; es decir, siendo A y B matrices cuadradas del mismo orden, si AB = I necesariamente debe ser verdad BA = I ; y también, si BA = I necesariamente debe ser verdad AB = I. Por consiguiente, para probar que B es la inversa de la matriz cuadrada A basta con probar una sola de las dos identidades: O bien AB = I o bien BA = I. El ejemplo 1.12 se habría simplificado probando una sola de las dos identidades obtenidas. Propiedades: 26. (A + B) 1 A 1 + B 1, en general Inversa de la suma 27. (αa) 1 = α 1 A 1, con α 0 Inversa del producto por α 28. (A ) 1 = (A 1 ) Inversa de la conjugada 29. (A T ) 1 = (A 1 ) T Inversa de la traspuesta 30. (AB) 1 = B 1 A 1 Inversa del producto 31. (A 1 ) 1 = A Inversa de la inversa Nota: En las propiedades donde aparece la inversa de una matriz, se supone que esa matriz tiene inversa. La propiedad 26 afirma algo, que también es verdad para los números reales o complejos: que la inversa de la suma no es suma de inversas, en general; la propiedad 30 afirma que la inversa del producto es producto de inversas, pero cambiando el orden de escritura. Una matriz cuadrada que tiene inversa se llama regular; si una matriz cuadrada no tiene inversa, se llama singular. La propiedad 28 permite concluir que la conjugada de una matriz regular es regular; análogamente, la propiedad 29 permite afirmar que la traspuesta de una matriz regular es regular. La propiedad 30 garantiza que el producto de matrices regulares es regular, así como la propiedad 31 garantiza que la inversa de una matriz regular es regular. Para matrices regulares se define la potencia a un número entero negativo de la forma siguiente

16 1.11 Matrices particionadas con k > 0 un número natural. A k = (A 1 ) k Matrices particionadas Se define un bloque o submatriz de una matriz dada A, seleccionando p filas de A y q columnas de A, de modo que los elementos comunes a esas filas y columnas forman el bloque o submatriz definido, de tamaño p q. Ejemplo Dada la matriz A = [ 4 5 6], la matriz B = [ 1 2 ] es el bloque definido mediante las filas 1, 3 y las columnas 1, 2 de A Particionar una matriz A significa descomponerla mediante líneas horizontales y/o verticales en bloques, los cuales constituyen los elementos matriciales de la matriz particionada. Ejemplo 1.14 La matriz A = [ ] se puede particionar de la forma indicada obteniéndose la matriz particionada con A = [ ] A = [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 ] A 11 = A 22 = [ ] = I 2 A 12 = A 21 = [ ]

17 1.11 Matrices particionadas A 13 = A 23 = [ 1 2 ] Nótese en este ejemplo que la matriz A sin particionar es de tamaño 4 5 pero particionada es de tamaño por bloques 2 3, pues tiene dos filas de bloques y tres columnas de bloques. A veces el tamaño por bloque se resalta con un subrayado. En este ejemplo 2 3. Para operar con matrices particionadas se utilizan las misma reglas que para operar con matrices sin particionar, pero teniendo en cuenta que los elementos que se manejan son a su vez matrices. Veamos algunos ejemplos: Ejemplos ) [ A B ] + [C + C ] = [A D B + D ] 2) α [ A B ] = [αa αb ] 3) [ A B ] = [ A B ] 4) [ A B ]T = [A T B T ] 5) [A B] [ C ] = AC + BD D 6) [ A B ] [ AC AD AE C D E] = [ BC BD BE ] 7) A[x 1 x 2 x n ] = [Ax 1 Ax 2 Ax n ] α 1 α 2 8) [u 1 u 2 u n ] [ ] = α 1 u 1 + α 2 u α n u n α n Ejemplo 1.16 Se pide hallar la inversa de una matriz particionada de la forma A = [ I B O I ]

18 1.12 Matrices cuadradas especiales en función del bloque B, donde los bloques son todos cuadrados del mismo orden. I es la matriz identidad y O la matriz nula. Si imaginamos que la inversa de A (caso de existir) se descompone del mismo modo que A en la forma A 1 = [ P Q R S ] con P, Q, R, y S bloques incógnita, se debe cumplir De lo que se deduce fácilmente que de ahí que I B Q I O [ ] [P ] = [ O I R S O I ] P = S = I, R = O, Q = B A 1 = [ I O B I ] 1.12 Matrices cuadradas especiales Vamos a tratar aquí de una serie de matrices cuadradas, todas ellas de orden n, de especial relevancia en las aplicaciones. 1) Matrices triangulares y diagonales Se dice que la matriz L es triangular inferior si l ij = 0, para i < j l l L = [ 21 l 22 0 ] l n1 l n2 l nn Análogamente, se dice que la matriz U es triangular superior si se cumple u ij = 0, para i > j u 11 u 12 u 1n 0 u 22 u 2n U = [ ] 0 0 u nn Un caso particular de las matrices triangulares es el de las matrices diagonales que son de la forma

19 1.12 Matrices cuadradas especiales d d D = [ 22 0 ]. 0 0 d nn cumpliendo d ij = 0, para i j Ejemplo 1.17 Las matrices L = [ 2 3 0], U = [ ], D = [ 0 2 0] son, respectivamente, triangular inferior, triangular superior y diagonal. 2) Matrices ortogonales (unitarias) Una matriz Q se dice ortogonal (unitaria) si Q 1 = Q T en el campo real (Q 1 = Q H, en el campo complejo). Las matrices unitarias en el campo real son ortogonales. La inversión de las matrices ortogonales (unitarias) es muy sencilla de realizar pues la inversa coincide con la traspuesta (traspuesta hermítica). Ejemplo 1.18 La matriz Q = [ cosθ senθ senθ cosθ ] es ortogonal pues Q 1 = [ cosθ senθ senθ cosθ ] = QT 3) Matrices idempotentes Una matriz A se dice idempotente si A 2 = A. Ejemplo 1.19 La matriz es idempotente ya que 4) Matrices nilpotentes 1/2 1/2 A = [ 1/2 1/2 ] A 2 1/2 1/2 = [ 1/2 1/2 ] = A

20 1.12 Matrices cuadradas especiales Una matriz A se dice nilpotente si A k = O, con k > 0. El más pequeño valor de k para el que se cumple la anterior identidad se denomina índice de nilpotencia de A. Ejemplo 1.20 La matriz A = [ 0 0 1] es nilpotente de índice de nilpotencia tres, pues A 2 = [ 0 0 0] O, A 3 = [ 0 0 0] = O ) Matrices involutivas Una matriz A se dice involutiva si A 2 = I. Ejemplo 1.21 La matriz A = [ 2 1 2] es involutiva al cumplirse A 2 = [ 0 1 0] ) Matrices de permutación Una matriz A se dice de permutación si resulta de la matriz identidad I al intercambiar de orden sus filas (o sus columnas). Ejemplo 1.22 La matriz A = [ ] es de permutación, pues se obtiene de la identidad I = [ ]

21 1.12 Matrices cuadradas especiales cambiando las filas de numeración 1, 2, 3, 4 a las de numeración 2, 1, 4, 3, respectivamente. 7) Matrices normales Una matriz A se dice normal si cumple la identidad AA T = A T A, en el campo real (AA H = A H A, en el campo complejo). Ejemplo 1.23 Las matrices simétricas reales, las antisimétricas reales, las hermíticas, las antihermíticas, las ortogonales reales y las unitarias son todas casos particulares de matrices normales En los ejercicios aparecerán ejemplos concretos de otras matrices cuadradas especiales.

22 1.12 Matrices cuadradas especiales

23 1.12 Matrices cuadradas especiales 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Los sistemas de ecuaciones lineales son la clave para resolver la mayor parte de problemas que se plantean en Álgebra Lineal. Apenas se encuentra un problema que no necesite resolver algún sistema lineal. En este Capítulo se estudian fundamentalmente las técnicas Gaussianas: El método de Gauss y su variante de Gauss-Jodan. Seguidamente se analiza la relación que hay entre las soluciones de un sistema general y las soluciones del sistema homogéneo asociado. Se continúa con el estudio de las inversas (por la izquierda y por la derecha) de A y su relación con las soluciones de la ecuación matricial Ax = b. Se explica el método para invertir una matriz mediante Gauss-Jordan; se sigue con la descomposición LU de una matriz cuadrada A y sus variantes, y se termina el Capítulo con referencias al costo computacional.

24 2.1 Sistemas de ecuaciones lineales 2.1 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es de la forma a 11 α 1 + a 12 α a 1j α j + + a 1n α n = β 1 a 21 α 1 + a 22 α a 2j α j + + a 2n α n = β 2 a i1 α 1 + a i2 α a ij α j + + a in α n = β i a m1 α 1 + a m2 α a mj α j + + a mn α n = β m 2.1 donde la matriz A de tamaño m n a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in [ a m1 a m2 a mj a mn] 2.2 se llama matriz de coeficientes del sistema; la matriz columna b de tamaño m 1 β 1 β 2 b = β i [ β m ] 2.3 recibe el nombre de matriz de términos independientes; y la matriz columna x de tamaño n 1 α 1 α 2 x = α j [ α n ] 2.4 Ejemplo 2.1 es la matriz incógnita, formada por las n incógnitas α 1, α 2,, α n del sistema. El sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas siguiente tiene como matriz del sistema la matriz 2α 1 + 4α 2 5α 3 = 1 2α 1 + 4α 2 + 6α 3 = 8

25 2.1 Sistemas de ecuaciones lineales A = [ ] y como columna de términos independientes La columna incógnita es b = [ 1 8 ] α 1 x = [ α 2 ] α 3 El sistema general 2.1 se puede escribir de forma más sencilla por su representación matricial Ax = b 2.5 pues es evidente que se cumple que el producto de la matriz A por la columna x es la columna b a 11 a 12 a 1j a 1n α 1 β 1 a 21 a 22 a 2j a 2n α 2 β 2 a i1 a i2 a ij a in α = j β i [ a m1 a m2 a mj a mn] [ α n ] [ β m ] 2.6 Se dice que la colección de n escalares α 10, α 20,, α n0 es una solución del sistema general 2.1 si, al sustituir las incógnitas por los escalares correspondientes de la colección, se satisfacen todas y cada una de las ecuaciones, o lo que es equivalente, si la columna α 10 α 20 x 0 = α j0 [ α n0 ] 2.7 satisface la identidad Ax 0 = b 2.8 Un sistema con al menos una solución se llama compatible; se llama incompatible si carece de solución. Un sistema compatible se llama determinado si la solución es única, e indeterminado si tiene más de una solución. Dos sistemas con el mismo conjunto de soluciones se dice que son equivalentes.

26 2.2 Operaciones elementales Ejemplo 2.2 El sistema Ejemplo 2.3 α 1 + 3α 2 5α 3 = 1 2α 1 + 4α 2 + 6α 3 = 8 tiene como solución 1, 1, 1. También tiene la solución 2.8, 0.6, 0, como es fácil comprobar. El sistema por tanto es compatible e indeterminado. Además de estas dos soluciones hay otras muchas. Más adelante se aprenderá a obtenerlas todas. Un sistema homogéneo es aquél cuyos términos independientes valen todos cero. Su representación matricial es de la forma Ax = donde 0 indica en 2.9 la columna nula de m elementos. Esos sistemas tienen al menos la solución nula 0,0,,0 formada por n ceros, los cuales definen a su vez la columna nula 0 de n elementos, que solución de la ecuación matricial Ax = 0. El sistema α 1 + 3α 2 5α 3 = 0 2α 1 + 4α 2 + 6α 3 = 0 es el sistema homogéneo asociado al sistema general del ejemplo 2.2 anterior. Este sistema homogéneo, además de la solución nula 0, 0, 0, tiene otras muchas soluciones. 2.2 Operaciones elementales Ya sabemos que un sistema de ecuaciones lineales está representado por la ecuación matricial Ax = b, y de un modo todavía más sencillo se puede representar por su matriz ampliada [A b], que resulta de ampliar la matriz A del sistema con la columna b de términos independientes. Las ecuaciones del sistema se corresponden directamente con las filas de la matriz ampliada, de modo que cualquier operación sobre las ecuaciones del sistema se refleja en la correspondiente operación sobre las filas de la ampliada; y recíprocamente. Vamos a tratar aquí de tres clases de operaciones elementales sobre las ecuaciones (o filas de la matriz ampliada) que respetan el conjunto de soluciones, esto es, transforman un sistema en otro equivalente.

27 2.2 Operaciones elementales Sea m el número de ecuaciones del sistema (o filas de la matriz ampliada): 1) Operación clase I: Intercambiar dos ecuaciones (o filas) distintas entre sí. Ejemplo 2.4 Esta operación tiene una matriz elemental asociada que resulta de intercambiar esas filas entre sí en la matriz identidad I m. La denotaremos por F i,j cuando las ecuaciones (o filas) que se intercambian son la i con la j, siendo i j. La matriz ampliada representa al sistema [ ] α 1 + 2α 2 = 3 4α 1 + 5α 2 = 6 El intercambio entre sí de las filas primera y segunda de la matriz ampliada es una operación de clase I, cuya matriz asociada es F 1,2 = [ ]. Esta matriz procede de intercambiar entre sí las filas primera y segunda de la matriz identidad I 2 = [ ] La nueva matriz ampliada obtenida después del intercambio [ ] representa al nuevo sistema 4 α α 2 = 6 α 1 + 2α 2 = 3 que es equivalente con el inicial Es fácil probar que: Toda matriz de permutación P de filas (o columnas) es el producto de matrices elementales de clase I de filas (o columnas). Esta cuestión se comprenderá mejor en el siguiente Capítulo dedicado a los determinantes. 2) Operación clase II: Multiplicar una ecuación (o fila) por un número α distinto de cero. Esta operación tiene una matriz elemental asociada que resulta de multiplicar por α la correspondiente fila de la matriz identidad I m. La denotaremos por F α.i cuando la fila que se multiplica por α es la fila i.

28 2.2 Operaciones elementales Ejemplo 2.5 La matriz ampliada [ ] representa al sistema 4 α α 2 = 6 α 1 + 2α 2 = 3 Si multiplicamos la segunda fila por 4, hacemos una operación elemental de clase II, cuya matriz asociada es F 4.2 = [ ] la cual resulta de multiplicar por 4 la segunda fila de I 2 La nueva matriz ampliada es [ ] y representa al nuevo sistema 4 α α 2 = 6 4α 1 + 8α 2 = 12 que es equivalente con el inicial 3) Operación clase III: Restar a una ecuación (o fila) otra ecuación (o fila) distinta, previamente multiplicada por un número α. Ejemplo 2.6 Esta operación tiene una matriz elemental asociada que resulta de hacer lo mismo sobre la matriz identidad I m. La denotaremos por F i α.j cuando a la fila i le restamos α por la fila j, con i j. La matriz ampliada [ ] representa el sistema 4 α α 2 = 6 4α 1 + 8α 2 = 12. Si a la segunda fila le restamos la primera, hacemos una operación de clase III. La nueva matriz ampliada es [ ] y el nuevo sistema equivalente al inicial es 4 α α 2 = 6 3α 2 = 6 La matriz asociada es, en este caso, evidentemente

29 2.2 Operaciones elementales Ejemplo F = [ 1 1 ] Proposición 2.1: Si se premultiplica (o multiplica por la izquierda) una matriz A cualquiera por una matriz F, asociada a una operación elemental por filas, se obtiene una nueva matriz que resulta de hacer esa misma operación elemental sobre las filas de la matriz A Demostración: Se omite la demostración. En el siguiente ejemplo se entenderá mejor el alcance de la proposición: Aplicando la proposición 2.1 a las matrices ampliadas de los ejemplos 2.4, 2.5 y 2.6, se tiene [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] = [ ] Proposición 2.2: Las matrices asociadas a las operaciones elementales sobre las ecuaciones (o filas) son regulares y sus inversas están asociadas a operaciones elementales de la misma clase Demostración: Las matrices asociadas son regulares, pues es muy fácil probar que ya que se cumple F i,j 1 = F i,j F 1 α.i = F 1 ( ).i, α 0 α F i α.j 1 = F i+α.j = F i ( α).j F i,j F i,j = I m F α.i F ( 1 α ).i = I m F i α.j F i+α.j = I m

30 2.3 La eliminación Gaussiana De otra parte, es patente de las tres primeras identidades de esta demostración, que las inversas son matrices asociadas a operaciones elementales de la misma clase que las matrices sin invertir. Por ser regulares, el producto de matrices elementales es una matriz regular, no necesariamente elemental. Más adelante veremos el recíproco, esto es, que las matrices regulares se pueden expresar como producto de matrices elementales. Existe un tratamiento análogo de todo lo afirmado sobre las filas de una matriz que se repite para las columnas, pero no se introduce en este Capítulo, en el que las filas son lo relevante. Las filas están directamente relacionadas con las ecuaciones de la matriz ampliada de los sistemas de ecuaciones lineales. De todos modos si en los enunciados donde aparece la palabra fila se cambia por la palabra columna y en la proposición 2.1 se cambia el comienzo de la frase Si se premultiplica (o multiplica por la izquierda) por la frase Si se postmultiplica (o multiplica por la derecha) se obtienen afirmaciones verdaderas. 2.3 La eliminación Gaussiana La eliminación Gaussiana es la técnica con la que se elimina una incógnita en una ecuación, aprovechando la existencia de esa misma incógnita en una ecuación distinta con un coeficiente distinto de cero que llamaremos pívot. Operando ordenadamente, se espera reducir el sistema de ecuaciones lineales dado a un sistema simplificado equivalente, del que sea sencillo hallar todas sus soluciones. Esta técnica la veremos en acción en los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan. Supongamos que la ecuación i de un sistema lineal, en la que aparece manifiesta la incógnita j, esto es, a ij 0, (el pívot) fuera la siguiente: a i1 α 1 + a i2 α a ij α j + + a in α n = β i 2.10 Deseamos aprovechar esta ecuación para eliminar la incógnita α j de la ecuación k, con k i, a k1 α 1 + a k2 α a kj α j + + a kn α n = β k 2.11 mediante una operación elemental de clase III. Para ello a la ecuación k se le resta la ecuación i, multiplicada por un número μ, llamado múltiplo de Gauss y que vale

31 2.4 El método de Gauss Ejemplo 2.8 μ = a kj a ij 2.12 esto es: el múltiplo de Gauss es el cociente entre el coeficiente de la incógnita que queremos eliminar y el pívot. Lo afirmado se justifica porque a kj α j μ(a ij α j ) = a kj α j a kj a ij (a ij α j ) = a kj α j a kj α j = 0 Podemos usar la primera ecuación para eliminar la primera incógnita de la segunda ecuación del sistema 2 α 1 + 3α 2 = 1 4α 1 + 5α 2 = 6 El pívot vale 2 y el múltiplo de Gauss es μ = 4/2 = 2. Si a la segunda fila le restamos por tanto la primera multiplicada por 2 se obtiene 2 α 1 + 3α 2 = 1 α 2 = 4 Desde el punto de vista de las matrices ampliadas pasamos de la matriz [ ] a la matriz [ ] que tiene un cero debajo del primer pívot El método de Gauss El método de Gauss es un método sistemático de eliminación de incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales en dos fases: la primera, fase de eliminación, persigue llegar a un sistema equivalente reducido de forma triangular; y la segunda, fase de vuelta atrás, partiendo del sistema reducido, permite obtener la solución o soluciones, caso de que éstas existan. El método utiliza la técnica de la eliminación Gaussiana. La fase de eliminación funciona por etapas y se trabaja sobre la matriz ampliada del sistema. Cada etapa viene marcada por una determinada columna de la matriz del sistema. El método empieza por la primera columna de la matriz del sistema. Si no hay pívot en esa columna se pasa a la siguiente y así hasta encontrar una columna con pívot. El pívot se sitúa en el nivel más alto posible, por debajo de las filas que

32 2.4 El método de Gauss ya tengan pívot, intercambiando filas de la matriz ampliada si fuera necesario; luego se forman ceros debajo de él, mediante la eliminación Gaussiana, pasando en la nueva etapa a la siguiente columna de la matriz del sistema y repitiendo el proceso hasta terminar con la última columna de la citada matriz. En este momento a la columna de términos independientes (la última columna de la matriz ampliada) le pueden suceder dos cosas excluyentes: o bien tiene algún elemento no nulo β en las filas que no tienen pívot ya seleccionado o bien no lo tiene. Veremos más tarde que esta segunda posibilidad conduce a la existencia de solución o soluciones, mientras que la primera determina la falta de solución del sistema. En el primer caso (existencia β no nulo) se puede reducir aún más la matriz ampliada situando β lo más alto posible (mediante intercambio de filas) y formando ceros por debajo de β (mediante eliminación Gaussiana). Por consiguiente, al final de la fase de eliminación de Gauss se llega a una matriz, llamada reducida de Gauss (que no es única) y que en general toma la forma escalonada por filas indicada en la figura β [ ] 2.13 Figura 2.1 donde los pívots están denotados por el símbolo y el símbolo * denota un número cualquiera. Además β puede valer cero o distinto de cero. Aunque la reducida de Gauss no es única, sin embargo se puede probar que son invariantes el número de pívots y el hecho de ser β distinto de cero o igual a cero (o de no existir β). Si β 0, diremos que hay escalonamiento en la columna de términos independientes. La ecuación en la que aparece β distinto de cero no tiene solución posible, luego el sistema tampoco puede tener solución y en este caso el sistema es incompatible. En cambio, si β = 0 o no existe β, diremos que no hay escalonamiento en la columna de términos independientes. Las incógnitas sin pívot (si las hubiere)

33 2.4 El método de Gauss Ejemplo 2.9 pueden tomar valores cualesquiera; no así las que tienen pívot, que dependen directamente de las anteriores (o toman valores constantes), como se comprenderá mejor cuando se hable de la vuelta atrás del método de Gauss. Hay solución o soluciones en este caso y el sistema es compatible. Como criterio general: No puede haber dos pívots seleccionados ni en la misma fila ni en la misma columna de la matriz del sistema. Un ejemplo ayudará a aclarar todo lo anterior: Fase de eliminación de Gauss: Partimos de una matriz ampliada que representa un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas y vamos realizando operaciones elementales hasta lograr una reducida de Gauss [ ] (1) [ ] (3) [ ] [ ] [ ] Explicación: En la primera columna no hay pívot. Los pasos sucesivos son: (1) Se selecciona el pívot de la segunda columna y primera fila, y con él se forman ceros debajo; para ello a la segunda fila se le resta la primera, a la tercera fila se le resta la primera y a la cuarta fila se le resta la primera multiplicada por tres. (2) Se intercambian las filas segunda y cuarta entre sí (3) Se selecciona el pívot de la tercera columna y segunda fila, y con él se forma un cero debajo: para ello, a la tercera fila se le resta la segunda. (4) Se selecciona el pívot de la cuarta columna y tercera fila, y con él se forma un cero debajo: para ello, a la cuarta fila se le suma la tercera. Se ha llegado a una reducida de Gauss con β = 0, lo que significa que el sistema original (y el reducido final) tienen solución. (2) (4)

34 2.4 El método de Gauss Las incógnitas que tienen pívot se llaman incógnitas pivotales mientras que las que no tienen pívot se llaman incógnitas libres. o ligadas, Ejemplo 2.10 En el ejemplo 2.9 anterior las incógnitas pivotales son α 2, α 3, α 4 mientras que las incógnitas libres son α 1, α 5. La vuelta atrás del método de Gauss consiste en despejar las incógnitas pivotales en función de las libres, comenzando por la última hasta llegar a la primera pivotal. A las incógnitas libres se les suele asignar una nueva letra para indicar que hacen el papel de parámetros independientes del conjunto de soluciones (cuando hay solución). Ejemplo 2.11 Volviendo al ejemplo 2.9, en él se llegó a la matriz ampliada reducida de Gauss que representa al sistema Fase de vuelta atrás de Gauss: [ ] Damos a las incógnitas libres la notación 2α 2 + 2α 3 + 4α 4 + 3α 5 = 2 2α 3 + 6α α 5 = 16 4α 4 3α 5 = 6 α 1 = ε 1 α 5 = ε 2 de modo que de la tercera ecuación despejamos α 4 α 4 = 6 + 3α 5 4 Despejamos ahora α 3 de la segunda ecuación α 3 = 16 6α 4 10α 5 2 = ε 2 Finalmente, despejamos α 2 de la primera ecuación = 8 3 ( ε 2) 5ε 2 = ε 2

35 2.4 El método de Gauss α 2 = 2 2α 3 4α 4 3α 5 2 Operando se llega a = 1 ( ε 2) 2 ( ε 2) 3 2 ε 2 α 2 = ε 2 Las soluciones son por tanto de la forma α 1 = ε 1, α 2 = ε 2, α 3 = ε 2, α 4 = ε 2, α 5 = ε 2 Se trata de un sistema compatible e indeterminado. Los dos parámetros del conjunto de soluciones son ε 1 y ε 2. Resumiendo: el método de Gauss tiene dos fases: La fase de eliminación donde se llega a una forma escalonada por filas (reducida de Gauss), que permite decidir si hay solución (β = 0 o β no existe) y en caso de haberla, si la solución es única (no hay incógnitas libres) o tiene más de una solución (hay incógnitas libres); y una segunda fase, la fase de vuelta atrás, que en caso de haber solución permite hallar la solución o soluciones, despejando las incógnitas pivotales en función de las libres, desde la última a la primera, en orden de aparición. Ejemplo 2.12 Sea ahora el sistema Fase de eliminación: 2α 1 + 4α 2 = 6 4α 1 α 2 = 3 2α 1 + 5α 2 = (1) (2) [ 4 1 3] [ 0 9 9] [ 0 9 9] (1) El primer pívot está en la primera fila y primera columna. Se forman ceros debajo de él. (2) El segundo pívot está en la segunda fila y segunda columna. Se forma un cero debajo de él. 0

36 2.4 El método de Gauss Es β = 0, lo que significa que hay solución (sistema compatible). No hay incógnitas libres, luego el sistema tiene solución única (sistema determinado). Fase de vuelta atrás: Ejemplo 2.13 Se despeja primero α 2 y luego α 1 La solución única es α 1 = 1, α 2 = 1 α 2 = 9 9 = 1 α 1 = 6 4α 2 2 = 1 Veamos cómo el siguiente sistema carece de solución Trabajando con el método de Gauss 2α 1 + 4α 2 = 6 4α 1 α 2 = 3 2α 1 + 5α 2 = [ 4 1 3] [ 0 9 9] [ 0 9 9] se llega a que β = 3 0. No hay solución, pues la tercera ecuación no se puede satisfacer nunca. 0α 1 + 0α 2 = 3 El método de Gauss, cuando existe solución obtiene todas las soluciones. El sistema inicial y el reducido final de Gauss son equivalentes. Si tenemos una solución del sistema inicial, los elementos que corresponden a las incógnitas libres (si las hubiera) determinan los valores de las incógnitas ligadas en el sistema reducido, por lo que si la supuesta solución del sistema inicial fuera distinta de la que obtiene el sistema reducido aquella no se podría obtener nunca como solución del sistema reducido (no sería por tanto solución del sistema inicial). Un razonamiento más sencillo se hace cuando no hay incógnitas libres y la solución es única: ambas soluciones, la del sistema inicial y la del reducido, deben coincidir. 6 3

37 2.5 El método de Gauss-Jordan 2.5 El método de Gauss-Jordan Una vez estudiado el método de Gauss abordamos en este apartado la variante de Gauss-Jordan. Las diferencias con el método de Gauss son las siguientes: 1. Los pívots deben valer la unidad. Para ello se normalizan las filas con pívot, esto es, se dividen por el pívot en caso de que no valga la unidad. 2. Se forman ceros también encima de los pívots mediante operaciones elementales de clase III. 3. No hay fase de vuelta atrás. Las incógnitas pivotales se despejan directamente, sin necesidad de seguir un orden dado, en función de las incógnitas libres. Se trata por tanto de un método en que todo es eliminación. Se llega a una matriz simplificada, llamada la reducida de Gauss-Jordan, que toma la forma normal escalonada por filas siguiente (ver figura 2.2) β [ ] Figura 2.2 Donde β vale la unidad y encima de β todo ceros (no hay solución) o β vale cero y encima de β valores cualesquiera o finalmente, no existe β (hay solución). Proposición 2.3: La reducida de Gauss-Jordan es única para una matriz ampliada dada Demostración: Se omite la demostración. Como el método de Gauss-Jordan requiere la fase de eliminación de Gauss, el número de pívots que aparecen en la reducida de Gauss-Jordan (y en cualquier reducida de Gauss) para una matriz A es un invariante de esa matriz. Ejemplo 2.14 En este ejemplo veremos cómo se trabaja con el método de Gauss-Jordan.

38 2.5 El método de Gauss-Jordan Volviendo a la matriz ampliada del ejemplo 2.9 y trabajando en la fase de eliminación se obtuvo una reducida de Gauss [ ] [ ] En el método de Gauss-Jordan esto es lo primero que hay que hacer. Se continúa con la variante de Gauss-Jordan normalizando las filas de los pívots al dividir cada una por el pívot correspondiente / [ ] [ ] /4 3/ A continuación se forman ceros encima de cada pívot, empezando por el último hasta el primero / /4 7/2 [ ] [ ] /4 3/ /4 3/ /4 15/ /4 7/2 [ ] /4 3/ Ya podemos despejar las incógnitas pivotales en función de las libres que se denotan como antes de modo que α 1 = ε 1 α 5 = ε 2 α 2 = ε 2 α 3 = ε 2 obteniendo las mismas soluciones α 4 = ε 2 α 1 = ε 1, α 2 = ε 2, α 3 = ε 2, α 4 = ε 2, α 5 = ε 2

39 2.6 Estructura del conjunto de soluciones de Ax=b Desde el punto de vista de la discusión de un sistema, esto es, de si un sistema tiene solución y en su caso de si ésta es o no única, se puede responder a la cuestión al final de la fase de eliminación de Gauss, trabajo éste que es común con la variante de Gauss-Jordan. En resumen, partiendo de una reducida de Gauss: 1. No hay solución si β 0 2. Hay solución si β = 0 o β no existe, en cuyo caso a. La solución es única si el número de pívots es igual al número de incógnitas b. Hay más de una solución si el número de pívots es estrictamente menor que el número de incógnitas. 2.6 Estructura del conjunto de soluciones de Ax = b Vamos a estudiar qué relación hay entre las soluciones de un sistema general compatible, representado por Ax =b, y las soluciones de su sistema homogéneo asociado, representado por Ax = 0. Denotemos con S g el conjunto de soluciones del sistema general compatible y con S h el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado (siempre compatible, pues al menos posee la solución nula 0). Proposición 2.4: Las soluciones del sistema general compatible Ax = b son el resultado de sumar una solución particular x 0 a las soluciones del sistema homogéneo asociado Ax = 0. Nota: El teorema se puede expresar abreviadamente con S g = x 0 + S h (ver figura 2.3). Figura 2.3

40 2.6 Estructura del conjunto de soluciones de Ax=b Demostración: Se trata de probar la igualdad entre dos conjuntos S g y x 0 + S h. (Con la notación x 0 + S h queremos indicar el conjunto que resulta de sumar x 0 a todos los elementos x h de S h ). Para ello hace falta probar dos afirmaciones: todo elemento del primer conjunto está en el segundo y, recíprocamente, todo elemento del segundo conjunto está en el primero. Veamos: Sea x 0 una solución particular de Ax = b, por lo que se tendrá la identidad Ax 0 = b. Directo: Si x g S g se tiene la nueva identidad Ax g = b. Restando ambas identidades se llega a que A(x g x 0 ) = 0 de donde x g x 0 = x h una solución del sistema homogéneo Ax = b. Se deduce inmediatamente que x g = x 0 + x h, esto es, x g es el resultado de sumar x 0 a una solución x h del sistema homogéneo, es decir, x g x 0 + S h. Recíproco: si x g x 0 + S h entonces x g = x 0 + x h, con x h una solución del sistema homogéneo. Multiplicando por A por la izquierda la última identidad se tiene, Ax g = Ax 0 + Ax h = b + 0 = b esto es x g S g. Luego queda probada la identidad de conjuntos S g = x 0 + S h Consecuencia inmediata de la proposición es que: Un sistema general compatible será determinado si y sólo si es determinado el sistema homogéneo asociado. Ejemplo 2.15 El sistema general α 1 + 3α 2 5α 3 = 1 2α 1 + 4α 2 + 6α 3 = 8 1 es compatible, pues tiene al menos la solución x 0 = [ 1]. El sistema homogéneo 1 asociado α 1 + 3α 2 5α 3 = 0 2α 1 + 4α 2 + 6α 3 = 0

41 2.7 Inversas de A y la ecuación Ax =b tiene las soluciones x h = [ serán de la forma 19 ε ε ε 1 x g = x 0 + x h = [ 1] + 1 [ 2.7 Inversas de A y la ecuación Ax = b ] por lo que las soluciones del sistema general 19 5 ε 2 5 ε ε ] = [ ε ε 1 + ε ] Sea A una matriz de tamaño general m n y b una columna de m elementos. Qué implica para la ecuación matricial Ax = b la existencia de inversa por la izquierda L de A? La respuesta la aporta la siguiente proposición: Proposición 2.5: Si Ax = b tiene solución, y si existe inversa por la izquierda L de A, entonces la solución es única Demostración: Sea x 0 una solución de Ax = b. Debe cumplirse Ax 0 = b. Si existiera otra solución x 1 se debería cumplir Ax 1 = b. Restando miembro a miembro ambas identidades se tiene Multiplicando por la izquierda por L A(x 1 x 0 ) = 0 LA(x 1 x 0 ) = L0 I n (x 1 x 0 ) = 0 x 1 x 0 = 0 x 1 = x 0 lo que significa que la solución x 0 es única Nota: En la proposición 2.5 es crucial la existencia de solución, no basta con que exista L; si no hubiera solución no cabe hablar de solución única. Ejemplo 2.16 El sistema α 1 + α 2 = 3 α 1 + 2α 2 = 5 α 1 + α 2 = 3

42 2.7 Inversas de A y la ecuación Ax =b tiene la solución x 0 = [ ]. La matriz A = [ 1 2] tiene a la matriz 1 1 L = [ ] como inversa por la izquierda, luego la citada solución x 0 es única Qué implica para la ecuación matricial Ax = b la existencia de inversa por la derecha R de A? La respuesta la aporta la nueva proposición: Proposición 2.6: Si existe inversa por la derecha R de A, entonces existe solución para la ecuación Ax = b Demostración: Vamos a probar que x 0 = Rb es una solución de Ax = b. Veamos: Ax 0 = A(Rb) = (AR)b = I m b = b luego Ax = b tiene al menos la solución x 0 = Rb En esta proposición 2.6 no es cierto el recíproco: La existencia de solución no implica necesariamente que exista inversa por la derecha R de A. Ejemplo 2.17 El sistema α 1 α 2 + α 3 = 1 α 2 α 3 = 2 tiene a A = [ ] como matriz del sistema y a b = [1 ] como columna de términos independientes. La matriz R = [ 1 2] es una inversa por la derecha de A, luego x 0 = Rb = [ 1 2] [ ] = [ 5] es una solución del sistema (no la única). Finalmente, qué implica para la ecuación matricial Ax = b la existencia de ambas clases de inversas L y R de A? Proposición 2.7: Si existen las inversas L y R de A, la ecuación Ax = b tiene solución y ésta es única Demostración: Si existe R, por la proposición 2.6 hay solución; habiendo solución y existiendo L, por la proposición 2.5 la solución es única.