Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I

Transcripción

1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I Martes, 5 de enero de 01 1 hora y 15 minutos. NOMBRE APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Considere el desarrollo de ( x x )10, (a) Escriba el número de términos y el grado máximo que tiene el desarrollo. (b) Halle el coeficiente correspondiente a x 11.. Calcula cuántos meses deben pasar para que un cierto dinero se cuadruplique al ingresarlo en un depósito al 7 5 % de interés simple mensual. 3. Uno de los términos del desarrollo de ( x + p ) es 0x 4. Halle los posibles valores de p. 4. Calcula el número de años que debo tener un montante de 500 al 1 5 % de interés compuesto anual para obtener un interés de Resuelve las siguientes cuestiones independientes, a) Divide P(x) x 5 x 5x 3 x 4 5 entre Q(x) x + 3 x 3 (0 75 puntos) b) Calcula, todos los valores de m en el polinomio P(x) mx + (m )x + m para que al dividirlo entre Q(x) x + 1 de resto 4.. Factoriza el polinomio M(x) x 3 + 4x 10x + 3 en producto de irreducibles. 7. Calcula el M.c.d. y el m.c.m. de los polinomios,m(x) x 3 x y N(x) x 3 4x. He firmado un crédito de para abrir un negocio con las siguientes condiciones: los pagos serán mensuales a un % durante los próximos 10 años. A cuánto ascenderá cada mensualidad del crédito a pagar?, cuánto estaré pagando de más por la apertura del negocio? ( puntos) 9. Un producto cuesta actualmente 0 95 después de una primera rebaja en su precio original del 5 %, una subida del precio del %; y una última bajada de precio del %. Calcula el índice de variación que ha sufrido el producto desde su precio original hasta su precio final y calcula el precio de origen de dicho producto. ( puntos) 10. Calcula las raíces del polinomio P(x) 3x 3 + x

2 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº 5 DE 1º MATEMÁTICAS N.M. 1. Considere el desarrollo de ( x x )10, (a) Escriba el número de términos y el grado máximo que tiene el desarrollo. (b) Halle el coeficiente correspondiente a x 11. Solución. (a) Escriba el número de términos y el grado máximo que tiene el desarrollo. El binomio de Newton es, 10 ( x 10 x ) ( 1) k ( 10 k ) (x ) 10 k ( k x ) k 0 Puesto que damos valores a k {0, 1,, 3, 4, 5,, 7,, 9, 10}, entonces habrá 11 términos. Además, el grado máximo dependerá de los grados de cada monomio. Investigamos las partes literales de cada monomio, Monomios (x ) 10 ( x ) 0 (x ) 9 ( x ) 1 (x ) ( x ) (x ) 7 ( x ) 3 (x ) ( x ) 4 (x ) 5 ( x ) 5 x 0 0 x 0 0 x 0 x 1 1 x 1 1 x 17 x x x 14 x 14 3 x 3 3 x 11 x 1 4 x 4 4 x x 10 5 x 5 5 x 5 Monomios (x ) 4 ( x ) (x ) 3 ( x ) 7 (x ) ( x ) (x ) 1 ( x ) 9 (x ) 0 ( x ) 10 x x x x 7 x 7 7 x x 4 x x 4 x 9 x 9 9 x x 10 1 Por lo tanto, el grado máximo de los monomios es 0. (b) Halle el coeficiente correspondiente a x 11. Según el apartado anterior, el monomio de grado 11 es el que se obtiene para k 3, ( 1) 7 ( 10 3 ) (x ) 7 ( 3 x ) 10! 3! (10 3)! x14 3 x 3 10! 3! 7! x14 3 x ! 3 x ! 7! 3 1 x11 10 x 11 90x 11 Por lo tanto, el coeficiente de grado 11 es 90.

3 . Calcula cuántos meses deben pasar para que un cierto dinero se cuadruplique al ingresarlo en un depósito al 7 5 % de interés simple mensual. Solución. Puesto que el capital inicial es C I x y queremos que se cuadruplique C F 4x, entonces los intereses son I C F C I 4x x 3x, Con un rédito mensual del 4 5 %, entonces, aplicando la fórmula del interés simple mensual tendremos que, I C r t 100 3x x 7 5 t 100 3x 100 x 7 5 t t meses Por lo tanto, tendrán que pasar 40 meses. 3. Uno de los términos del desarrollo de ( x + p ) es 0x 4. Halle los posibles valores de p. Solución. El binomio de Newton del enunciado tiene el siguiente desarrollo, ( x + p ) ( k ) (x) k p k Puesto que damos valores a k {0, 1,, 3, 4, 5, }, el monomio de grado 4 será para k, k 0 ( ) (x) p!! ( )! 4 x 4 p!! 4! x4 p 5 4! 1 4! x4 p 5 1 x4 p 15 x 4 p 40 p x 4 Puesto que el coeficiente de grado 4 es 0 entonces, 0 x 4 40 p x p 0 40 p 1 4 p ± 1 4 p ± 1 p Por lo tanto, p ½ o p ½. 3

4 4. Calcula el número de años que debo tener un montante de 500 al 1 5 % de interés compuesto anual para obtener un interés de Solución. Se trata de un interés compuesto. Los datos que nos facilitan son C I 500, y el capital final, C F C I + I Puesto que el rédito r 1 5 % y se nos pide t, utilizando la fórmula del interés compuesto tendremos que, C F C F (1 + r 100 ) t ( ) t (1 015)t 1 4 (1 015) t Tomamos logaritmos decimales y despejamos t, log(1 4) log(1 015) t log(1 4) t log(1 015) log(1 4) t log(1 015) t años Por lo tanto, para que 500 reviertan unos intereses de mediante interés compuestos al 1 5 % anual hay que tenerlos años. 5. Resuelve las siguientes cuestiones independientes, a) Divide P(x) x 5 x 5x 3 x 4 5 entre Q(x) x + 3 x 3 (0 75 puntos) Entonces el cociente es c(x) 3x x + y el resto es r(x) 7x + x 11. b) Calcula, todos los valores de m en el polinomio P(x) mx + (m )x + m para que al dividirlo entre Q(x) x + 1 de resto 4. El teorema del resto dice que el resto de dividir un polinomio P(x) entre (x a) es P(a). Por lo tanto, para calcular el resto sustituimos x 1 en el polinomio P(x). P( 1) m( 1) + (m )( 1) + m m m + + m m + m + 4

5 Puesto que el resto es r 4, hacemos P( 1) 4 y entonces m + m + 4 m + m 0 y resolvemos el valor de m mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado, m + m 0 m 1 ± ( ) 1 1 ± 3 { m m ± ± 9 Por lo tanto, los valores buscados son m 1 y m.. Factoriza el siguiente polinomio en producto de irreducibles, M(x) x 3 + 4x 10x + 3 Solución. Calculamos una de sus raíz buscando entre los divisores del término independiente dividido entre los divisores del coeficiente principal. Aplicamos el método de Ruffini con 1/, Divisores(3) Divisores() ±1, ±3 ± 1, ±, ±4, ± Por lo tanto, una raíz del polinomio es x ½. Investigamos si hay más raíces resolviendo la ecuación resultante de igualar el cociente a cero, x + x 0 x + x 0 4x + 4x 3 0 x 4 ± ( 3) 4 4 ± ± 4 4 ± 5 { x x En Consecuencia, las raíces del polinomio serán x ½ de multiplicidad y x ¾. La factorización en irreducibles del polinomio será, M(x) ( x 1 ) ( x + 3 )

6 7. Calcula el M.c.d. y el m.c.m. de los polinomios, M(x) x 3 x N(x) x 3 4x Solución. Factorizamos ambos polinomios, M(x) x 3 x x (x ) ; N(x) x 3 4x x (x 4) x (x + ) (x ) Calculamos el M.c.d. de M(x) y N(x) tomando los factores irreducibles comunes al menor exponente, M. c. d. (M(x), N(x)) x (x ) x x Calculamos el m.c.m. de M(x) y N(x) tomando los factores irreducibles comunes y no comunes al mayor exponente, m. c. m. (M(x), N(x)) x (x + ) (x ) x (x 4) x 4 4x. He firmado un crédito de para abrir un negocio con las siguientes condiciones: el Pagos mensuales a un % durante los próximos 10 años. A cuánto asciende cada mensualidad del crédito a pagar?, cuánto estamos pagando de más por la apertura del negocio? ( puntos) Solución. Se trata de un problema de anualidad de amortización. Los datos que nos facilitan son C 3500, t 10, r % con k 1. Se nos pide primeramente la mensualidad. Utilizando la fórmula de las anualidades de amortización, obtenemos: C mensualidad C deuda ( ) ( ) r k 100 (1 + r k 100 )k t (1 + r k 100 )k t (1 005)10 (1 005) ( ) ( ) 10 1 La mensualidad será entonces de Por lo tanto, si queremos saber cuánto pagaremos de más respecto al crédito concedido, haremos: Y restamos: Por lo tanto, estamos pagando de más 11 4

7 9. Un producto cuesta actualmente 0 95 después de una primera rebaja en su precio original del 5 %, una subida del precio del %; y una última bajada de precio del %. Calcula el índice de variación que ha sufrido el producto desde el su precio original hasta su precio final y calcula el precio de origen de dicho producto. ( puntos) Solución. Calculamos el Índice de Variación total multiplicando los índices de Variación de cada descuento o subida, Calculamos el precio inicial sabiendo que Precio inicial I. V. Precio final En ese caso, x Por lo tanto, despejamos x y obtenemos el precio original, x Calcula las raíces del polinomio P(x) 3x 3 + x Resolvemos la ecuación, x + 3x 3 0 Se trata de una ecuación bicuadrada en la que haremos el cambio de variable, t x 3 x + 3x 3 0 xt + 3t 0 Resolvemos mediante la fórmula general de resolución de la ecuación de ecuación de segundo grado, t b ± b 4ac a 3 ± 3 4 ( ) 3 ± ± 45 3 ± t 1 { 3 5 t 1 1 Deshacemos el cambio de variable, Si t 1, como t x3,entonces x x 1 1 Si t, como t x 3,entonces x 3 3 x Por lo tanto, las raíces son, x y x ½. 7