Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

Transcripción

1 Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas 6. Interpreta geométricamente el área que define la integral (x + 6)dx 6 Geométricamente, la integral (x + 6) dx representa el área de la región del plano R itada por la recta y = x + 6, las verticales x =, x = 6 y el eje de abscisas OX. Área(R) = Área(rectángulo) + Área(triángulo) = = = 77 u. y obtenla. Calculando la integral definida, obtenemos: 6 (x + 6)dx = [x 6 + 6x] = Barrow = ( 6) = 77 u. Calcula el área encerrada por la curva y = x x, el eje OX y las rectas x = y x =. Solución: A = u. Calcula el área de la región itada por la gráfica de la función f(x) = x x + x, el eje OX y las rectas x = y x =. La región del plano itada es la que se muestra en la gráfica inferior. Su área viene dada por la suma de las áreas de las tres regiones en que se divide: Los cortes de la función f(x) = x x + x con el eje OX son: x = [ x = (,) ; (,) ; (,) x = A = (x x + x)dx = [ x x + x ] = u A = (x x + x) dx = [ x x + x ] = 8 u A = (x x + x) dx = [ x x + x ] = 9 u El área buscada es: A = A + A + A = = 8 u x x + x =. Calcula el área del recinto itado por la curva y = x, el eje OY y la recta y = 7. La región del plano itada es la que se muestra en la siguiente gráfica: Hallamos el punto de corte entre la curva y = x y la recta y = 7: x = 7 x = 8 x = 8 = Se cortan en el punto P(,7)

2 El área será: A = (7 (x ))dx = (8 x )dx = [8x x ] == 6 = u. Considera la función f(x) = x + x (x > ). a) Dibuja la gráfica de la función. b) Halla el área de la región itada por la curva y el eje de abscisas entre x = y x =. a) Gráfica de la función para x > b) Se trata de la siguiente región del plano: Su área viene dada por la integral definida: A = (x + x ) dx = [ x x ] = u

3 6. Calcúlese el área de la región plana acotada itada por las gráficas de las funciones reales de variable real siguientes: a) y = x x + 6 e y = x (Solución A = 6 u ) b) y = x 6x e y = x x (Solución A = 6 u ) c) y = x x e y = x (Solución A = 7 u ) Selectividad: Madrid Junio 8 Opción A 7. Se considera la función real de variable real f(x) = { x x + si x x + x si x > a) Estúdiese la continuidad y la derivabilidad de la función f. b) Represéntese gráficamente la función f. c) Calcúlese el área del recinto plano acotado itado por la gráfica de f, el eje OX, el eje OY y la recta x =. Selectividad: Madrid Junio Opción B a) Continuidad x R x <, f(x) = x x + : continua por ser función polinómica. x R x >, f(x) = x + x : continua por ser función polinómica. Estudiamos la continuidad en x = comprobando las condiciones: ] f() = x ] f(x) { (x x + ) = de donde f(x) = x x + ( x + x ) = x ] f() = f(x) x Por tanto la función f es continua en el conjunto de los números reales. Derivabilidad x si x < f (x) = { x + si x > x R x < o x > la función es derivable porque son exprexiones polinómicas. Estudiamos la derivabilidad en x =, comprobando si son o no iguales las derivadas laterales: f () = f + () = Por tanto f no es derivable en x = b) Representación gráfica

4 c) Se trata de calcular el área de la región coloreada de la gráfica que se muestra: A = (x x + ) dx = u A = ( x + x ) dx = u El área del recinto plano acotado y itado por la gráfica de f, el eje OX, el eje OY y la recta x = es: A = A + A = + = u 8. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x(x ) x a) Determínense las asíntotas de f. Calcúlense los extremos relativos de f. b) Represéntese gráficamente la función f. c) Calcúlese f(x) dx x Selectividad: Madrid Septiembre Opción A 9. Se considera la función real de variable real definida por ax + b si x f(x) = { x x + si x > a) Calcúlense los valores de a y b para los que la función f es continua y derivable. b) Para a = y b =, hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en los puntos en los que dicha tangente es paralela a la recta de ecuación y 8x =. c) Sea g la función real de variable real definida por g(x) = x. Para a = y b =, calcúlese el área de la región plana acotada itada por la gráfica de f y la gráfica de g. Selectividad: Madrid Septiembre Opción B. Se considera la función real de variable real definida por x a si x f(x) = { x + b si < x < Lx + a si x a) Calcúlense a y b, para que la función f sea continua en todos los puntos. b) Para a = y b =, represéntese gráficamente la función f. c) Para a = y b =, calcúlese la integral definida f(x)dx. Selectividad: Madrid Septiembre Opción B Fase General a) x R x <, f(x) = x a: continua por ser función polinómica. x R < x <, f(x) = x + b: continua por ser función polinómica. x R x >, f(x) = Lx + a : continua porque la función logarítmica lo es. Para que la función sea continua en los puntos x = y x = tenemos: x =

5 ] f( ) = a ] f(x) { x (x a) = a x ( x + b ) = + b () x = x + ] f() = L + a = a de donde a = + b, esto es, a + b = x ] f(x) { ( x + b) = + b x (Lx + a) = a de donde a = + b o a b = () x + Para que f(x) sea continua en R, las expresiones () y () han de verificarse a la vez. Tenemos así a + b = el sistema de ecuaciones { que nos da la solución a = y b =. a b = b) a = ; b = x si x La función es f(x) = { x + si < x < Lx si x Su representación gráfica es: x si x c) f(x) = { x + si < x < Lx si x f(x)dx = ( x + ) dx = [ x + x] = u. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x x x a a) Determínense las asíntotas de f, especificando los valores del parámetro real a para los cuales f tiene una asíntota vertical, dos asíntotas verticales, o bien no tiene asíntotas verticales. b) Para a =, calcúlense los valores reales de b para los cuales se verifica que f(x)dx =. Selectividad: Madrid Junio 9 Opción B a) Asíntotas verticales (discusión) x ± + a x a = x = Estudiamos el discriminante de la ecuación: D = + a D > + a > a R, a > b la función f tiene dos asíntotas verticales [x = + +a x = +a

6 D = + a = a = (x /) = x / (x /) x / a = D < + a < a R, a < Asíntotas horizontales x ± x x x a (x /) = ± x = la función f tiene no tiene asíntotas verticales. = a R. Por tanto la recta y = es asíntota horizontal No presenta asíntotas oblicuas b) Para a =, la función es f(x) = x b x x+ x x x + dx = [L x x + ] b = L b b + L = L b b + b x x x + dx A. vertical si = L b b + = [ b b + = [ b = b = b b + = no tiene solución real. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x +x+ x a) Determínense las asíntotas de f. x b) Calcúlense sus máximos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento. c) Calcúlese la integral definida f(x)dx Selectividad: Madrid Junio 8 Opción B a) A.Vertical: La recta x = ; A. Horizontal: No tiene ; A. Oblicua: La recta y = x + b) Creciente: (, ) (,+ ) ; Decreciente (, ) (, ) Máximo relativo en el punto P(, ) ; Mínimo relativo en el punto Q(, + ) c) x +x+ x dx= (x + + ) dx x = [ x + x + L x ] = + L. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x + x ± x a) Determínense las asíntotas de f. b) Calcúlense los máximos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento. c) Calcúlese la integral definida: (x ) f(x) dx Selectividad: Madrid Septiembre 8 Opción B. Representar gráficamente la región acotada itada por las gráficas de las funciones f(x) = x, g(x) = (x + ), h(x) = ( x + ) y obtener su área. Selectividad: Madrid Junio 7 Opción B Calculamos los puntos de corte de las funciones: { y = x y = (x + ) P(,) ; { y = x y = ( x + ) Q(,) ; { y = (x + ) y = R(,) ( x + ) 6

7 Por simetría de la región, tenemos que su área viene dada por: A = ( ( x + ) ( x )) dx = ( x x + ) dx = = ( x x + ) dx == [ x x + x] = 7 u. Hallar el área de la región itada por la gráfica de la función f(x) = x + x y el eje OX. Solución: 9 u 6. Calcular el área del triángulo itado por el eje OX y las tangentes a la curva de ecuación y = x x en los puntos de intersección de dicha curva con el eje OX. Puntos de intersección de la parábola y = x x con el eje OX: y = x x = x = [ x = Las pendientes de las rectas tangentes en P y Q vienendadas por la derivada y en x = y x = y = x [ y ( ) = 6 Recta tangente a la curva en P(,) t y = 6(x + ) y () = 6 Recta tangente a la curva en Q(,) t y = 6(x ) y = 6x 6 Punto de intersección de ambas tangentes: { y = 6x C(, 8) de donde x = ; y = 8 ; Área del triángulo que se forma A = O también: A = base x altura = 6 8 = u ( 6x 6)dx + (6x )dx = u 7

8 7. Calcular el valor de a > para que el área de la región plana acotada itada por las gráficas de las curvas y = x, y = ax, sea igual a. y = x Cortes de ambas curvas: { y = ax x = ax x (x a) = [ x = x = ± a Los puntos de corte son: O(,), P( a, a)y Q( a, a) a Por la simetría impar de las curvas basta que (ax x )dx = a (ax x )dx = [a x x a ] = a = 8 a = 8 = 8. Responde razonadamente: a) Estudia y representa la función f(x) = (x ) b) Halla el área de la región comprendidad entre la gráfica de la función anterior y las rectas y =, x = /. a) b) b) El área que nos piden aparece coloreada en la figura de la derecha y viene dada por: A = ( ) dx = (x ) [ x x] = / u / 8

9 9. Se considera la función real de variable real f(x) = { x+ x+ si x si x > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. b) Calcúlese f(x)dx Asíntotas x f(x) = + ; f(x) = ; x Cortes con los ejes Eje OX: y = [ x +f(x) =, por tanto, la recta x = es asíntota vertical. f(x) =, por tanto, las rectas y = e y = son asíntotas horizontales. x + x+ x+ = x = 6 = no tiene solución Corte Eje OY: x = y = Corte con el eje OY en el punto B(, ) b) f(x)dx = ( x+ ) dx + x+ dx con el eje OX en el punto A( 6,) = L. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = e x. a) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x =. b) Calcúlese el área de la región plana acotada itada por la gráfica de f, las rectas x =, x =, y el eje de abscisas. Selectividad: Madrid Junio Opción A Solución a) y = 6x +, b) A = e x dx = (e ) e u. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = { a) Calcúlense a y b para que f sea continua y derivable en x =. b) Para a =, b =, represéntese gráficamente la función f. Selectividad: Madrid Junio Opción B c) Calcúlese el valor de b para que f(x)dx = 6 Solución a) a = ; b = b) a = ; b = a x x b si x si x > c) x b dx = b = 9

10 . Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = x a) Determínense sus asíntotas. b) Calcúlense sus máximos y mínimos locales. Esbócese la gráfica de f. c) Calcúlese el área del recinto plano acotado itado por las rectas verticales x =, x =, la gráfica de la función f y la recta de ecuación y = x +. Selectividad: Madrid Junio Opción A Fase Específica Solución a) Asíntota vertical: x = ; Asíntota oblicua: y = x + b) Máximo relativo en el punto P(,) ; Mínimo relativo en el punto Q(,) x c) El área del recinto, en verde en la figura, viene dado por: A = ( x (x + )) dx = x x dx = [L x ] = L u. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x x + a) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. b) Determínense los extremos relativos de f y esbócese su gráfica. c) Calcúlese el área del recinto plano acotado itado por la gráfica de f y la recta de ecuación y = x +. Selectividad: Madrid Sept. Opción A Fase Específica Solución a) Punto de inflexión: P(,). Recta tangente en P: t y = x + A(,) máximo relativo b) Extremos de la función f: [ B(,)mínimo relativo

11 c) A = (x x + (x + )) dx + (x + (x x + )) dx = 8 u x + si x. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = { x + 9 si < x a) Represéntese gráficamente la función f. x + si x > b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. c) Calcúlese el área del recinto plano acotado itado por la gráfica de f y el eje OX. Selectividad: Madrid Septiembre 9 Opción A x + a si x. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = { x si x a) Determínense a y b para que f sea continua en todo R. x + b si x > b) Calcúlese f(x)dx. Selectividad: Madrid Junio Opción A 6. Dada la función real de variable real f(x) = x x x a) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. b) Calcúlese f(x)dx. Selectividad: Madrid Junio Opción B 7. Se considera la función real de variable real definida por f(x) = e x+ a) Esbócese la gráfica de la función f. b) Calcúlese el área del recinto plano acotado itado por la gráfica de la funciónn, el eje de abscisas y las rectas x = y x =. Selectividad: Madrid Septiembre Opción A 8. Se considera la función real de variable real f(x) = { e x si x < si x a+x x x+ a) Estúdiese la continuidad de f en x = para los distintos valores del parámetro a. b) Determínense las asíntotas de la función. Selectividad: Madrid Junio Opción B a) Estudiamos las condiciones de continuidad en x = : ] f() = a x ] f(x) { ex = a+x x = a x + x x+ de donde a = y a = a = f(x) es continua en x = Por tanto: [ a R a f(x) no es continua en x = b) Asíntotas verticales: x = y x = ; Asíntota horizontal: y =