GEOMETRÍA RECTA EN EL ESPACIO. Un punto P ( P x,p y,p z ) y un vector v ( v x,v y,v z ). Dos puntos A ( A x,a y,a z ) y B ( B x,b y,b z ).

Transcripción

1 GEOMETRÍA RECTA EN EL ESPACIO Se necesita: Un punto P ( P x,p y,p z ) y un vector v ( v x,v y,v z ). Dos puntos A ( A x,a y,a z ) y B ( B x,b y,b z ). Para calcular un vector con dos puntos: v (B x A x, B y A y, B z A z ) TIPOS: Dados un punto P ( P x,p y,p z ) y un vector v ( v x,v y,v z ) : VECTORIAL: ( X,Y, Z ) = ( P x,p y,p z ) + t ( v x,v y,v z ). PARAMÉTRICA : x = P x + t v x y = P y + t v y z = P z + t v z CONTINUA: x P x v x = y P y v y = z P z v z REDUCIDA: x = f (z) x = f (y) y = f(x) y = f (z) z = f (y) z = f(x) IMPLICITA: Ax + By + Cz + D = 0 A x + B y + C z + D = 0 Ecuaciones de dos planos que se cortan en una recta. El producto vectorial de los vectores normales del plano me da el vector director de la recta: i j k v r = A B C A B C Para calcular un punto se da un valor cualquiera a una de las variables y se resuelve el sistema con las otras dos.

2 POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS: Se saca un punto y un vector de cada una de las rectas: r 1 A(A x, A y, A z ) v( v x, v y, v z ) r 2 B(B x, B y, B z ) w (w x, w y, w z ) PARALELAS O COINCIDENTES: v x w x Paralelas o coincidentes v y w y v z w z proporcionales, y por tanto, v x = v y = v z w x w y w z,es decir, vectores Coincidentes: Si además de la proporcionalidad entre vectores, A se sustituye en r 2 y cumple u ecuación o B se sustituye en r 1 y cumple dicha ecuación. SE CORTAN O SE CRUZAN: Si los vectores no son proporcionales entonces realizamos el siguiente determinante: B x A x B y A y B z A z v x v y v z w x w y w z Si Det = 0 SE CORTAN Si Det 0 SE CRUZAN PARA QUE DOS RECTAS SEAN COPLANARIAS DICHO DETERMINANTE SE IGUALA A CERO. Det = 0 ALINEACIÓN DE TRES PUNTOS: Dadas los puntos A ( A x,a y,a z ), B ( B x,b y,b z ) y C ( C x,c y,c z ) estarán alineados si: C x A x = C y A y = C z A z B x A x B y A y B z A z

3 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO: Dados los puntos A ( A x,a y,a z ) y B ( B x,b y,b z ) X PM = A x +B x 2 ; Y PM = A y +B y 2 ; Z PM = A z+b z 2 P m (X PM, Y PM, Z PM ) A ( A x,a y,a z ) B ( B x,b y,b z ). ECUACIÓN DEL PLANO Se necesita: 1 punto y 2 vectores paralelos o contenidos en el plano (marcando la dirección del plano). 1 punto y 1 vector perpendicular al plano (vector normal del plano). CON UN PUNTO Y DOS VECTORES PARALELOS O CONTENIDOS: x = A x + v x t + w x λ PARAMÉTRICA: y = A y + v y t + w y λ z = A z + v z t + w z λ VECTORIAL: (x, y, z) = (A x, A y, A z ) + t (v x,v y, v z ) + λ (w x, w y, w z ) x A x y A y z A z GENERAL: v x v y v z = 0 w x w y w z Quedará Ax + By + Cz + D = 0 donde (A,B,C) será un vector perpendicular al plano (vector normal). v (A,B,C)

4 CON UN VECTOR PERPENDICULAR n (A,B,C) Y UN PUNTO A(A x, A y, A z ) A(x A x ) + By A y + C(z A z ) = 0 ECUACIÓN CANÓNICA O SEGMENTARIA DEL PLANO: Con los puntos de corte del plano con los ejes: (a,0,0) ; (0,b,0) ; (0,0,c) x a + y b + z c = 1 CONDICIÓN PARA QUE CUATRO PUNTOS SEAN COPLANARIOS: Dados los puntos A ( A x,a y,a z ), B ( B x,b y,b z ), C ( C x,c y,c z ) y D ( D x, D y, D z ) D x A x D y A y D z A z C x A x C y A y C z A z = 0 B x A x B y A y B z A z POSICIONES RELATIVAS RECTA Y PLANO: RECTA r x P x v x = y P y v y = z P z v z (v r x, v y, v z ) PLANO π Ax + By + Cz + D = 0 n (A,B,C) Si se cumple que : (producto escalar) A v x + B v y + C v z 0 entonces r y π SE CORTAN en un punto Y si A v x + B v y + C v z = 0 entonces r y π serán PARALELAS O COINCIDENTES

5 Sustituyendo el punto de la recta en la ecuación del plano: Paralelas si: A P x + B P y + C P z +D 0 Coincidentes si : A P x + B P y + C P z +D = 0 CÁLCULO DEL PUNTO DE CORTE ENTRE RECTA Y EL PLANO: x = P x + t v x Dada la recta r : y = P y + t v y z = P z + t v z Y el plano π : Ax +By +Cz + D = 0 Se sustituye la x, y, z de la recta en la ecuación del plano y se despeja la t : A ( P x + t v x ) + B (P y + t v y ) + C (P z + t v z ) + D = 0 t = t 0 y ahora sustituimos t 0 en la ecuación de la recta y sacamos la x, y z que coincide en recta y plano cumpliendo ambas ecuaciones x 0 = P x + t 0 v x y 0 = P y + t 0 v y pto de corte: P c (x 0, y 0, z 0 ) z 0 = P z + t 0 v z DOS PLANOS: π : Ax + By +Cz +D =0 π : A x + B y + C z + D = 0 A B C Se saca la matriz normal y la ampliada: M = A B C y M* = A B C A B C D D Varios casos: 1. Rg M = Rg M* = 2 Los 2 planos se cortan en una recta. 2. Rg M = 1 Rg M* = 2 Los planos serán paralelos. ( Los vectores normales son proporcionales). 3. Rg M = Rg M* = 1 Los planos serán coincidentes.

6 TRES PLANOS: π : Ax + By +Cz +D =0 π : A x + B y + C z + D = 0 π : A x + B y + C z + D = 0 Sacamos la matriz normal y la ampliada: A B C M = A B C A B C A B C M* = A B C A B C D D D 1. Rg M = Rg M* = 3 Los tres planos se cortan en un punto. 2. Rg M = 2 Rg M* = 3 Los planos se cortan dos a dos ( tienda de campaña). 3. Rg M = 2 = Rg M* Los tres planos se cortan en una recta. 4. Rg M = 1 Rg M*=2 Los tres planos son paralelos. 5. Rg M = 1 = Rg M* Los tres planos son coincidentes. CUATRO PLANOS: 1. Rg M =3 Rg M* = 4 Los cuatro planos forman una pirámide. 2. Rg M =3 = Rg M* Los cuatro planos se cortan en un punto. 3. Rg M =2 Rg M* = 3 Los cuatro planos se cortan 2 a Rg M =2 = Rg M* Los cuatro planos se cortan en una recta. 5. Rg M =1 Rg M* = 2 Los cuatro planos son paralelos. 6. Rg M =1 = Rg M* Los cuatro planos son coincidentes. ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS: Se saca un vector de cada recta: v r (v x, v y, v z ) y w s (w x, w y, w z ) cos (r, s) = v x w x +v y w y +v z w z v x 2 +v y 2 +v z 2 w x 2 +w y 2 +w z 2

7 ENTRE DOS PLANOS Se saca el vector normal de cada plano: π Ax + By + Cz + D = 0 ; π A x +B y + C z + D = 0 n(a,b,c) y n (A,B,C ) cos π, π = A A +B B +C C A 2 +B 2 +C 2 A 2+B 2+C 2 ENTRE RECTA Y PLANO Se saca el vector director de la recta v (v x, v y, v z ) y el vector normal del plano n (A,B,C) cos (r, π) = v x A +v y B+v z C v x 2 +v y 2 +v z 2 A+B+C y para calcular el ángulo hacemos α = arcos(r, π) y ángulo = 90º α OJO!!!! α 90 α DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS: Dados dos puntos A ( A x,a y,a z ) y B ( B x,b y,b z ) d(a,b) = (B x A x ) 2 + (B y A y ) 2 + (B z A z ) 2 DE UN PUNTO A UN PLANO: Dados un punto P(P x, P y, P z ) y un plano π : Ax + By +Cz +D =0 d(p,π) = A P x+ B P y +C P z +D A 2 +B 2 +C 2

8 DE UN PUNTO A UNA RECTA: Dados un punto puntos A ( A x,a y,a z ) y una recta x P x v x Donde v r (v x, v y, v z ) y P r (P x, P y, P z ) son el punto y vector de la recta area del paralelogramo d(a,r) = v r = v AP r r v r = y P y v y = z P z v z P r A DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN: 1. Se calcula un plano que contenga a una de las rectas (con su punto y vector) y que sea paralelo a la otra (con su vector) 2. Se coge un punto de la recta paralela y se aplica la formula de distancia de un punto al plano (plano calculado) (d(p,π)). AREAS PARALELOGRAMO: Con tres puntos A = v w B AB A A = AB AC C AC TRIANGULO: A = 1 v w = 1 AB AC 2 2 VOLUMENES TETRAEDRO : Con cuatro puntos (siempre se resta el mismo punto). Dados los puntos A ( A x,a y,a z ), B ( B x,b y,b z ), C ( C x,c y,c z ) y D ( D x, D y, D z ) V = 1 6 D x A x D y A y D z A z C x A x C y A y C z A z B x A x B y A y B z A z = 1 6 v x v y v z w x u x w y u y w z u z