Álgebra y Geometría Analítica. Espacios vectoriales. Facultad Regional La Plata. Ing. Viviana CAPPELLO. Espacios Vectoriales

Transcripción

1 Espacios Vectoriales.- La intersección de dos subespacios es un subespacio vectorial Si S S son dos subespacios vectoriales incluidos en un espacio vectorial V, S = S S está formado por todos los vectores u pertenecientes a V tales que u pertenece a S simultáneamente u pertenece a S. Para probar que efectivamente S= S S es un subespacio vectorial de V debe cumplirse: a.- Que S no sea vacío Esto es cierto por cuanto al ser S S subespacios, siempre el vector nulo () pertenece a ambos, por lo que la intersección de S S siempre cuenta por lo menos con un elemento: el mencionado vector nulo. b.- Que sea cerrado para la suma Consideremos un vector u que pertenece a S S un vector v que pertenece a S S. Debemos probar que u + v pertenece a S S. Si u pertenece a S S entonces u pertenece a S a la vez u pertenece a S, por definición de intersección de subespacios. Del mismo modo, si v pertenece a S S entonces v pertenece a S a la vez v pertenece a S, por similar razón. Como S es un subespacio vectorial de V, si u pertenece a S v también pertenece a S, su suma u + v pertenecerá a S, por cuanto al ser S subespacio como hemos mencionado, es cerrado para la suma () Análogamente, como S es un subespacio vectorial de V, si u pertenece a S v también pertenece a S, su suma u + v pertenecerá a S, por cuanto al ser S subespacio, es cerrado para la suma () Considerando lo expuesto en () (), resulta que u + v pertenece tanto a S como a S, lo que por definición de intersección, pertenece a S S. Con ello probamos que es cerrado para la suma. c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar Consideremos un vector u que pertenece a S S un escalar α que pertenece al cuerpo de los números reales (R). Debemos probar que αu pertenece a S S. Si u pertenece a S S, entonces u pertenece tanto a S como a S, por definición de intersección de subespacios. Si u pertenece a S, αu también pertenece a S, por cuanto éste es subespacio vectorial es cerrado para el producto por un escalar. () Análogamente, si u pertenece a S, αu también pertenece a S, por cuanto éste también es subespacio vectorial es cerrado para el producto por un escalar. (4) De lo expuesto en () (4) resulta que αu pertenece simultáneamente a S a S, por lo cual pertenece a S S por definición de intersección de subespacios, con lo que queda demostrado que esta operación es cerrada. En consecuencia, al no ser un conjunto vacío cumplir con la condición necesaria suficiente para que un conjunto S V sea subespacio vectorial de éste, S= S S es un subespacio vectorial.

2 .- La suma de dos subespacios es un subespacio vectorial Recordemos en primer lugar la definición de suma de subespacios: si S S son dos subespacios incluidos en un espacio vectorial V, el subespacio S = S + S está formado por todos los vectores v de V tales que v = v + v, con v perteneciente a S v perteneciente a S. Para probar que S = S + S es efectivamente un subespacio vectorial de V debe cumplirse: a.- Que S no sea vacío Como definíamos la suma de subespacios de modo que si v pertenece a S entonces v = v + v con v perteneciente a S v perteneciente a S, al ser S S subespacios el vector nulo pertenece a ambos, por lo que dicho vector también pertenece a S, lo que demuestra que la suma de subespacios cuenta por lo menos con un elemento: el vector nulo. b.- Que sea cerrado para la suma Consideremos un vector u que pertenece a S = S + S un vector v que pertenece a S = S + S. Debemos probar que u + v pertenece a S = S + S. Si u pertenece a S + S entonces u = u + u con u perteneciente a S u perteneciente a S, por definición de suma de subespacios. Del mismo modo, si v pertenece a S + S entonces v = v + v con v perteneciente a S v perteneciente a S, por similar razón. Por lo tanto, u + v = (u +u) + (v + v) Al segundo miembro de esta expresión la podemos agrupar aplicando la propiedad asociativa de la suma de vectores de la siguiente forma: u + v = (u + v) + (u + v) () En la ecuación (), el primer término encerrado entre paréntesis inclue a dos vectores pertenecientes a S (u v), por lo que hemos expuesto en los párrafos anteriores. El segundo sumando inclue a dos vectores pertenecientes a S (u v), por la misma razón. En consecuencia, u + v (vector perteneciente a S) está calculado como suma de un vector de S un vector de S, con lo cual probamos que esta operación entre subespacios es cerrada para la suma. c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar Consideremos un vector u que pertenece a S = S + S un escalar α que pertenece al cuerpo de los números reales (R). Obviamente u = u +u, con u perteneciente a S u perteneciente a S, por definición de suma de subespacios. Debemos probar que αu pertenece a S + S. Si u pertenece a S = S + S, entonces u = u + u, como hemos señalado más arriba. Multiplicando miembro a miembro por el escalar α, resulta: α u = α (u + u) = αu + αu () Como S es por definición subespacio vectorial de V, entonces es cerrado para el producto por un escalar, por lo que αu pertenece a S De la misma manera, como S es por definición subespacio vectorial de V, entonces es cerrado para el producto por un escalar, por lo que αu pertenece a S

3 Si los dos sumandos del segundo miembro de la ecuación indicada como () pertenecen respectivamente a S a S, entonces por definición de suma de subespacios, el vector αu pertenece a S = S + S, con lo que queda demostrado que esta operación es cerrada para el producto por un escalar por lo tanto la suma de subespacios es también un subespacio vectorial de V..- El complemento ortogonal de un subespacio vectorial es también subespacio vectorial Definíamos complemento ortogonal de un subespacio S V (siendo V espacio vectorial) a un conjunto, que designábamos como S, formado por todos aquellos vectores u pertenecientes a V que eran perpendiculares a todos los vectores v pertenecientes a S. Es decir, que S = {u ε V/ u. v = con v ε S} Para probar que S es un subespacio vectorial, debemos probar que se cumplan las tres condiciones siguientes: a.- Que S no sea vacío Como S es subespacio vectorial de V, el vector nulo pertenece a S. Como u. =, con u perteneciente a S, entonces u = verifica la ecuación anterior, por lo que el complemento ortogonal no es vacío. b.- Que sea cerrado para la suma Se debe probar que si u u pertenecen a S, entonces u + u también pertenecen a S. Consideremos un vector v perteneciente a S. Por definición de complemento ortogonal, u. v = () u. v = () Sumando miembro a miembro () (): u. v + u. v = (u + u). v = (u + u) es perpendicular a v u + u pertenece a S S es cerrado para la suma. c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar Se debe demostrar que si u pertenece a S, entonces αu pertenece a S. Si u pertenece a S, entonces u. v = con v ε S. Multiplicando miembro a miembro la ecuación anterior por el escalar α, resulta: α(u. v) = α = Aplicando la propiedad asociativa mixta del producto escalar de vectores con un número real, resulta: αu. v = con lo cual resulta que αu es perpendicular a v, por lo tanto pertenece al complemento ortogonal de S, es decir a S. Con ello queda probado que es cerrado para el producto con un escalar por lo tanto S es un subespacio vectorial de V. 4.- El conjunto S de todas las combinaciones lineales de A = {v, v,, vn} es un subespacio vectorial de V Este concepto es el de subespacio generado. Se dice que S es el subespacio generado por los elementos de A, se suele designar como S = gen {v, v, vn}

4 Debe demostrarse que el conjunto S así conformado es un subespacio vectorial de V. Para ello deben cumplirse las condiciones siguientes: a.- Que S no sea vacío Dentro de todas las combinaciones lineales posibles que pueden hacerse con los elementos de A, una de ellas es aquella en la que los escalares son todos nulos. Es decir, un vector v ε S se obtiene como; v = kv + kv + + knvn Si los escalares k, k,, kn son todos iguales a, entonces v = por lo tanto S no es vacío a que contiene al menos un elemento. b.- Que sea cerrado para la suma Si v es un vector de S, entonces: v = kv + kv + + knvn () si u es un vector de S, también puede escribirse: u = tv + tv + + tnvn () donde los ki los ti son números reales. Sumando () () miembro a miembro, asociando, resulta: v + u = (k + t) v + (k + t)v + + (kn + tn)vn Haciendo (k + t) = α (k + t) = α... (kn + tn) = αn donde los αi son escalares pertenecientes al cuerpo de los números reales. v + u = αv + αv + + αnvn con lo que se demuestra que v + u se puede obtener como combinación lineal de los vectores que integran el conjunto A, por lo que v + u ε S S es por lo tanto cerrado para la suma. c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar Si v es un vector de S, entonces: v = kv + kv + + knvn () Si λ es un escalar, multiplicando () miembro a miembro por éste resulta: λ v = λ(kv + kv + + knvn) = λkv + λkv + + λknvn Haciendo: λk = t λk = t λkn = tn resulta: λv = tv + tv + + tnvn

5 lo que demuestra que λv se puede obtener como combinación lineal de los vectores vi del conjunto A, por lo que λv pertenece a S, siendo entonces S cerrado para el producto por un escalar en consecuencia, subespacio vectorial de V. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Un conjunto finito de vectores v,v,..., es una base para un espacio vectorial V si: es linealmente independiente. a) v,v,..., b) v,v,..., genera a V. Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en n es una base de n. EJEMPLO V x / x, x xˆ i ˆ j x gen, Una Base canonica para es B c, Sea V. Encuentre una base para el conjunto de vectores que están en el plano. x W / x z z x z x z x x W / x z x z z z gen,

6 Una Base canonica TEOREMA para es B w, Si v,v,..., es una base para V si v V, entonces existe un conjunto único de escalares c, c,..., c n tales que: v c v c v... c v n n DEMOSTRACION v c v c v... c n v d v d v... d n c v c v... c n d v d v... d n c v c v... c n d v d v... d n c d v c d v... c n d n c d c d c d c n d n Por lo tanto para cada vector v V, existe un conjunto único de escalares, tales que, cualquier vector v V se lo puede expresar como una combinación lineal del conjunto único. TEOREMA Sea V n v,v,...,v m, m vectores de V. Si linealmente dependiente. m n, entonces v,v,...,v m es

7 Sea v,v,...,v m vectores de n c v c v... c m v m v a a a n ; v a a a n ;...; v m a m a m a nm a a a a c c... c m a n a n a m a m a nm a c a c... a m c m a c a c... a m c m a n c a n c... a nm c m En un sistema homogéneo de n ecuaciones con m variables, cuando infinitas soluciones, por lo tanto es linealmente dependiente. m n el conjunto tiene DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases V se llama espacio vectorial de dimensión finita. La dimensión de V se la denota como: dim V. EJEMPLOS: dim P n n Si V P n Si V M dim M 4 Si V M dim M 6 Todo espacio vectorial que tenga un subespacio de dimensión infinita es también de dimensión infinita. Si W es un subespacio de V dimv n, entonces: i W dimw ii W gen v dimw iii W genv,v,v dimw

8 EJEMPLO: Determinar una base para el espacio generador Encontrar su dimensión. S genx z, 4x 6x, 6x 9z. x z 4 x 6z 6x 9z x z x x x x H /x z z /x z z / x z z z x / x z H z, dim H Determinar una base para el espacio generador Encontrar su dimensión. S gen x x, x x, x x, x x. x x x x x x x x B s x, x, dim

9 Proceso de ortonormalización de bases de Gram-Schmidt. La condición para que un conjunto de vectores sea considerado base de un espacio vectorial es que sea un S.G.l.i Una base puede estar conformada por un conjunto que cumpla las condiciones antedichas, siendo las misma integrada por vectores de módulo cualquiera. Existen algunas bases particulares: aquellas cuos vectores cumplen con la condición de ser perpendiculares dos a dos, es decir que cada vector de la base es perpendicular a todos los demás de la misma. Este tipo de base recibe el nombre de base ortogonal. Si además de cumplir con la condición anterior (vectores todos perpendiculares entre sí) los integrantes de la base son de módulo unitario, es decir, versores, se trata de una base ortonormal. Puede demostrarse que, en todo espacio vectorial, a partir de una base cualquiera, puede construirse al menos una base ortonormal (se obtendrán distintas bases ortonormales de acuerdo con el orden en que tomemos los vectores de la base dada para normalizarlos). Por razones prácticas realizaremos el proceso para una base cualquiera del espacio tridimensional, sin que ello haga perder rigor a la demostración, que puede extrapolarse para cualquier espacio. Sea entonces, en el espacio tridimensional el conjunto base B = {x. x. x}. El proceso de ortonormalización se realiza con los siguientes pasos: Paso inicial: a efectos de asegurarnos que el conjunto que pretendemos ortonormalizar es una base de su espacio vectorial, verificamos para este caso del E calculando el producto mixto. Si el mismo da como resultado un número distinto de cero, concluimos que se trata de una base (vectores no coplanares) comenzamos el proceso. er paso: Tomamos un vector cualquiera de la base, por ejemplo, x lo normalizamos, es decir, x calculamos su versor asociado: x hemos obtenido de este modo el primer vector de la base ortonormal. do paso: tomamos un segundo vector de la base a ortonormalizar, por ejemplo: x Puede suceder: a) que x sea perpendicular a, lo que se verifica efectuando el producto escalar x. Si el resultado es nulo, los vectores son perpendiculares entonces el segundo vector de la base x ortonormal se obtiene haciendo la operación. x

10 b) En el caso en que x resulte distinto de cero, para obtener un segundo vector de la base ortonormal que resulte perpendicular a, deberá construirse la combinación lineal z = x +, que verifique z =. Nuestro problema es, en consecuencia, encontrar el valor del escalar que permita cumplir la condición z =. El valor de resulta de z = = (x + ) = x +. Siendo = (producto escalar entre vectores paralelos), se obtiene como valor a asignar en la combinación lineal = - x. valor que reemplazado en z nos permite obtener un vector perpendicular a la dirección de. Dicho vector es: z = x - (x ). Obtenido este vector, el segundo vector de la base ortonormal es: z. z er paso: Tomamos ahora el último vector de la base a ortonormalizar, x Para obtener un vector a la vez perpendicular a e, construimos la combinación lineal z = x + +. Para que el vector z cumpla con las condiciones prefijadas, deberá verificarse simultáneamente que z = que z =. z = = (x + + ) z = = (x + + ) desarrollando los paréntesis haciendo uso de las propiedades del producto escalar para vectores paralelos vectores perpendiculares, se llega al igual que en el paso anterior a: z = x - (x ) - (x ) z que se normaliza: z la base ha quedado ortonormalizada. Interpretación Geométrica del Proceso de Ortonormalización de Bases.

11 er paso: se toma el vector x se normaliza: do paso: se construe un vector z perpendicular a expresado como combinación lineal de x e : para ello se toma la proección de x sobre el eje X : x cos x cos x ; el vector proección de x resulta entonces: x ; la suma de x z da como resultado x ; entonces la combinación lineal buscada es: z x x ; z normalizamos este vector, resultando z er paso: con análogo razonamiento, la proección de x sobre el eje X es el vector x la proección de x sobre el eje X es x. Sumando x x se obtiene z x x x que normalizado da el vector z z La base queda ortonormalizada. x x x con los opuestos de Bibliografía obligatoria recomendada: Armando Rojo: Álgebra I II Hector Di Caro: Álgebra Geometría Analítica. Sagastume Berra, G. Fernández: Álgebra Cálculo Numérico. Lentin, Rivaud: Álgebra Moderna Donato Di Pietro: Geometría Analítica. Ch. H. Lehmann Geometría Analítica. Louis Leithold El Cálculo con Geometría P. Smith, A. Gale Elementos de G. Analítica