Proyecciones Ortogonales y Proceso de Gram-Schmidt

Transcripción

1 Proyecciones Ortogonales y Proceso de Gram-Schmidt Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 9 de febrero de Índice..Introducción Ortogonalidad a un espacio proyección ortogonal proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Introducción En esta lectura veremos el proceso para ortogonalizar un conjunto de vectores. Este proceso es conocido como el proceso de Gram-Schmidt... Ortogonalidad a un espacio Teorema Sea V un espacio vectorial con producto interno. El vector u es ortogonal a todo vector de W Gen{v,...,v k } si y sólo si u v i, para todo i,...,k Demostración Si u es ortogonal a todo W, entonces es ortogonal a todo elemento de W. Los elementos v i son también elementos de W. Por tanto, para cada i,,...,k se cumple u v i. Supongamos que para cada i,,...,k se cumpla u v i, y sea v un elemento cualquiera de W. Como W está generado por los v i, deben existir c i tales que: Haciendo el producto interno con u: por tanto, u es ortogonal a todo elemento de W... Proyección ortogonal v c v + +c k v k u v c u v + +c k u v k c + +c k Nuestro principal resultado referente a ortoginalidad es el siguiente. Teorema

2 Suponga que V es un espacio vectorial con producto interno. Y sea b un vector de V y W un subespacio lineal de V. Si W posee una base ortogonal, entonces. Existe z W tal que b z W.. El vector z que cumple lo anterior es único.. Para todo y de W: d(z,b) d(y,b). Demostración Sea B {a,a,...,a k } una base ortogonal para W. Definamos ( ) ( ) ( ) b a b a b ak z a + a + + a k a a a a a k a k Por conveniencia representaremos f i b a i a i a i Veamos que z cumple el requisito. De acuerdo al resultado previo debemos probar que (b z) a i para cada i,,...,k. Si utilizamos las propiedades del producto interno y la ortogonalidad de B tenemos: ( (b z) a i b k j f j a j ) a i ( k ) b a i j f j a j a i b a i k j f j a j a i b a i f i a i a i b a i b a i a i a i a i a i b a i b a i Por lo anterior y el teorema previo concluimos que b z W. Supongamos que el vector y de W también cumple la condición. Es decir, que b y es ortogonal a todo vector de W. Para probar que y z, veamos que la magnitud de y z es cero. (y z) (y z) (y z+b b) (y z) ( (b y)+(b z)) (y z) (b y) (y z)+(b z) (y z) Como z y y son elementos de W y W es un subespacio lineal, y z está en W. y como los vectores b z y b y son perpendicuales a todo vector de W se obtiene que: (b y) (y z) y (b z) (y z) de esta manera tenemos que (y z) (y z). Por tanto y z. Y así y z ; de donde concluimos que y z. Ahora, sea y un vector cualquiera de W, así: (b y) (b y) (b y+z z) (b y+z z) ((b z)+(z y)) ((b z)+(z y)) (b z) (b z)+(b z) (z y)+ (z y) (b z)+(z y) (z y) (b z) (b z)+(z y) (z y)

3 Por tanto d(y,b) d(z,b) +d(y,z) De donde concluimos que d(x,b) d(y,b) para todo y de W. Definición. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea u un vector y sea W un subespacio con una base ortogonal B {v,...,v k }. Entonces, la proyección ortogonal de u sobre W es el vector u pr u v v v v + + u v k v k v k v k La diferencia u c u u p r se llama la componente de u ortogonal a W. u c u u v v v v u v k v k v k v k u u pr + u c El vector u pr es el vector de W lo más cercano a u y la distancia de u a W es la magnitud del vector u c... Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Sea V un espacio vectorial con producto interno. Todo subespacio W con una base tiene al menos una base ortogonal y una base ortonormal. Si B {v,...,v k } es cualquier base de V, entonces B {u,...,u k } es una base ortogonal, donde y u v u v v u u u u u v v u u u u v u u u u. u k v k v k u u u u v k u u u u v u k u k u k u k Gen{v,...,v i } Gen{u,...,u i }, i,...,k Una Base ortonormal B se obtiene normalizando B. { } B u u,..., u k u k El proceso anterior es conocido como proceso de Gram-Schmidt. Ejemplo. Determine una base ortogonal y una ortonormal de R aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la base B {v,v,v }, en la cual v, v Solución Por razones de conveniencia, definamos, v x ij v j u i u i u j ()

4 Figura : Captura de los vectores del ejemplo. Se toma u v. Como v u y u u se tiene x / y por tanto se tiene: u v x u ( ) Ya que v u 5, v u, y u u, se tiene que x 5/ y x y entonces u v x u x u ( ) 5 8 ( ) Así, la base ortogonal es B {u,u,u } donde u, u, u 8 Por último, normalizamos para obtener una base ortonormal B : B,, Los cálculos anteriores pueden llevarse a cabo en la TI 89 o Voyage. La figura contiene la captura de los vectores. Las figuras y contienen los pasos del algoritmo sobre el conjunto de vectores inicial. Las figuras y contienen la normalización de los vectores resultantes del proceso de Gram-Schmidt. La figura 5

5 Figura : Seguimiento del algoritmo en el ejemplo. Figura : Conclusión del algoritmo GS e inicio del ortonormalización. Figura : Ortonormalización del conjunto. Figura 5: Resultado del ejemplo. 5

6 Figura : Formación de la matriz para el ejemplo. Figura : QR en el ejemplo. contiene la matriz cuyas columnas son el resultado del proceso del ortonormalización completo. El proceso de Gram-Schmidt combinado con el de ortonormalización está implementado en la TI mediante la rutina llamada factorización QR. El conjunto de entrada debe estar en las columnas de una matriz. En la figura se ilustra la formación de la matriz cuyas columnas son el conjunto inicial. Note en ella, el uso de la función augment con punto y coma para la separación de los vectores y el uso de la transpuesta debido a que ellos inicialmente fueron definidos como vectores renglón. En la figura se ilustra el uso del comando QR. Note que no se usan paréntesis debido a que es una rutina y no una función. El primer argumento es la matriz y el segundo y tercero son variables dónde se depositarán los cálculos. Note que la matriz q resultante contiene en sus columnas el mismo resultado de nuestro proceso completo. Ejemplo. Determine la mínima distancia de v al espacio V que generan v y v con los datos del problema anterior. Solución Para este cálculo debemos cambiar a {v,v } por una base ortogonal y poder utilizar el resultado sobre la descomposición. Por los resultados del problema previo tenemos que una base ortonormal es: B {u,u } donde u, u Ya que v u 5, v u, y u u, entonces ( ) ( v u v u v c v u u u u u ( ) 5 8 ) u ( )

7 Figura 8: Datos y ortonormalización del ejemplo. Figura 9: Cálculos finales del ejemplo. Por lo tanto la distancia de v a V es v c (8/) +(/) +( /) En la figura 8 se ilustra la forma de realizar los cálculos del ejemplo en la TI. Note que el vector v se definió como renglón, y por ello el uso de v T. Aplicando el concepto de multiplicación de una matriz por un vector, la expresión q T v T calculará < u v,u v > (Recuerde que u i u i ). la expresión q ( q T v T ) calculará pr (u v )u +(u v )u En la figura 9 se obtiene la distancia mínima de v al espacio generado por v y v : d v pr Ejemplo. Calcule una base ortogonal y una ortonormal de R aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la base B, en la cual Solución Utilizando B v,, v,, v

8 Iniciemos con u v. Como v u y u u en ese caso u v v u u u u Ya que v u, v u, y u u, entonces ( ) u v v u u u u v u u u u Así la base ortogonal es B {u,u,u } donde O sea u B ( ), u, ( ), u, Por último normalizamos para obtener una base ortonormal B : B,, 8 Ejemplo. Calcule una base ortogonal y una ortonormal de R aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la base B, en la cual B v,v 5,v 8

9 Solución Iniciamos con u v. Como v u y u u en ese caso u v v u u u u 5 ( Ya que v u, v u, y u u 5, entonces ) u v v u u u u v u u u u ( ) Así la base ortogonal es B {u, u, u } donde B,, ( ) Por último, normalizamos para obtener una base ortonormal B : B,,