Espacio vectorial eucĺıdeo

Transcripción

1 Espacio vectorial eucĺıdeo José Vicente Romero Bauset ESI-curso 2009/200 José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo.

2 Introducción U w U v u V f (x) a n a k coskx + b k senkx k= José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 2

3 Producto escalar Sea V un espacio vectorial sobre C. Una aplicación que asocia un número complejo < u,v > a cada pareja de vectores u y v en V, se dice que es un producto escalar sobre V si satisface las siguientes propiedades para cualesquiera u,v,w V y α C: i) < u,v >= < v,u >. ii) < u,v + w >=< u,v > + < u,w >. iii) < αu,v >= α < u,v >. iv) < u,u > 0. v) < u,u >= 0 u = 0. A un espacio vectorial con un producto escalar se le denomina Espacio Eucĺıdeo. José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo.

4 Producto escalar Propiedades Ejemplos < 0,u >=< u,0 >= 0. < u + v,w >=< u,w > + < v,w > < u,αv >= α < u,v > R n : < u,v >= C n : < u,v >= n i= n i= C([a,b]) : < f,g >= C([a,b]) : < f,g >= u i v i = u t v. u i v i = u t v. b a b las funciones toman valores reales. P n : p(x) = n k= a a k x k y q(x) = f (x)g(x)dx (funciones reales). w(x)f (x)g(x)dx, w : [a,b] R + y n k= b k x k, < p,q >= n k= José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 4 a k b k

5 Norma y ángulo Sea V un espacio eucĺıdeo. Llamamos norma de un elemento u de V al número real positivo u = + < u,u > Propiedades u 0. u = 0 u = 0. αu = α u. u + v u + v (Desigualdad triangular). y x + y x < u,v > u v (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). u + v 2 + u v 2 = 2 u v 2 (Ley del paralelogramo). José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 5

6 Norma y ángulo Si V es un espacio vectorial real y para u 0 y v 0 Existe un único θ [0,π] tal que u v < u,v > u v < u,v > u v. cosθ = < u,v > u v. A θ se le llama ángulo entre u y v y se denota por θ = ang(u,v). José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 6

7 Norma y ángulo Sea V un espacio eucĺıdeo. Dados u,v V se dice que son ortogonales si < u,v >= 0. Además, si u es ortogonal a cada vector de un conjunto W V, se dice que u es ortogonal a W. eorema de Pitágoras Si u y v son dos vectores ortogonales en un espacio eucĺıdeo V, entonces u + v 2 = u 2 + v 2. José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 7

8 Proyecciones sobre subespacios Subespacio ortogonal Sea V un espacio eucĺıdeo y U un subespacio vectorial de V. Se llama ortogonal de U en W,U, al conjunto de todos los vectores de V ortogonales a cualquiera de U U = {v V tal que < v,u >= 0 u U}. Sea V un espacio eucĺıdeo y U un subespacio vectorial de dimensión finita. Entonces todo vector v de V se puede expresar de forma única como v = u + w donde u U y w U. U w U v u José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 8 V

9 Proyecciones sobre subespacios Propiedades U es subespacio vectorial de V. U U = 0. Si v V es ortogonal a una base de U entonces v U. Si U W entonces W U. ( U = U ). Al vector u se le llama Proyección ortogonal de v sobre U y se denota por proy U (v). El vector w = v proy U (v) se conoce como Componente de v ortogonal a U (en ocasiones se le llama también Proyección ortogonal de v sobre U ). José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 9

10 Proyecciones sobre subespacios Propiedades proy U es una aplicación lineal. ker proy U = U e Im proy U = U proy U proy U = proy U proy U deja invariantes a los elementos de U. eorema de la mejor aproximación Sea V un espacio vectorial eucĺıdeo y U V un subespacio vectorial de dimensión finita. Dado v V, se cumple v v u v proy U (v) v u, u U. U proy U (v) u José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 0

11 Bases ortogonales Sea V un espacio eucĺıdeo. Un sistema de vectores no nulo de V, {v,v 2,...,v k } se dice que es un sistema ortogonal si cada vector del sistema es ortogonal con todos los demás, es decir < v i,v j >= 0, i,j =,2,...,k, i j. Si además los vectores del sistema son normales o unitarios, es decir v i =, i =,2,...,k, se dice que es un sistema ortonormal. Proposición Sea V un espacio eucĺıdeo. odo sistema ortogonal es linealmente independiente. Sea V un espacio eucĺıdeo de dimensión n. Un sistema de vectores {v,v 2,...,v n } es una base ortogonal (ortonormal) si es una base y es ortogonal (ortonormal). José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo.

12 Bases ortogonales Sea {v,v 2,...,v n } una base ortogonal de un espacio eucĺıdeo V. Dado v V v = α v + α 2 v α n v n. < v i,v j >= 0, i j α i = < v,v i > < v i,v i > v = < v,v > < v,v > v + < v,v 2 > < v 2,v 2 > v < v,v n > < v n,v n > v n. Sea V un espacio eucĺıdeo y U un subespacio vectorial de dimensión finita con una base ortogonal {u,u 2,...,u m }, entonces < v,u i > Proy U (v) = u i 2 u i. m i= José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 2

13 Series de Fourier Se dice que la función f definida en R es periódica si existe algun valor > 0, llamado periodo, tal que f (x + ) = f (x), x R. Si f es periódica y existe un periodo 0 > 0 mínimo, a 0 se le llama periodo principal. función periodo ppal Ejemplos: f (x) = senx f (x) = cosx 2π f (x) = tanx π f (x) = k,k R Si f es periódica de periodo entonces 0 +a f (t)dt = f (t)dt,a R a José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo.

14 Series de Fourier f (x) a n a k coskx + b k senkx k= José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 4

15 Series de Fourier El sistema trigonométrico {,cosx,senx,cos2x,sen2x,...,cosnx,sennx} es ortogonal con respecto al producto usual definido en C([0,2π])(< f,g >= b a f (x)g(x)dx) cos(a b) cos(a + b) senasenb = 2 2 sin(a b) sin(a + b) senacosb = cos(a b) cos(a + b) cosacosb = José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 5

16 Series de Fourier Si f C([0,2π]) la función mas próxima a f de las que pertenecen a la envoltura lineal del sistema trigonométrico es a k = π b k = π n a (a k coskx + b k senkx) k= 2π 0 2π 0 f (x)coskxdx, f (x)senkxdx, k = 0,,2,...,n k =,2,...,n José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 6

17 Series de Fourier (periodo arbitrario) Si f C([0, ]) la función mas próxima a f de las que pertenecen a la envoltura lineal del sistema trigonométrico es n ( a a k cos 2πkx k= + b ksen 2πkx ) a k = 2 b k = f (x)cos 2πkx dx, k = 0,,2,...,n f (x)sen 2πkx dx, k =,2,...,n José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 7

18 Ortogonalización de Gram-Schmidt Dado un sistema de vectores linealmente independientes {a,a 2,...,a n }, vamos a obtener un sistema de vectores ortogonales (ortonormales) que generen el mismo subespacio L(v,...,v k ) = L(a,...,a k ) k =,...,n v = a v 2 = a 2 < a 2,v > < v,v > v v = a < a,v > < v,v > v < a,v 2 > < v 2,v 2 > v 2. v n = a n < a n,v > < v,v > v < a n,v 2 > < v 2,v 2 > v 2 < a n,v n > < v n,v n > v n q = v / v q 2 = v 2 / v 2. q n = v n / v n José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 8

19 Ortogonalización de Gram-Schmidt Ejemplo Calcular una base ortogonal que genere el mismo subespacio que L(,x,x 2 ) en el intervalo [,]. Calcular a partir de la base anterior una base ortonormal. v =, < x, >= x dx = 0, v 2 = dx = 2, [ ] x v 2 = x < x, > <, > = x, < x 2, >= x 2 dx = = 2, < x 2,x >= 0, v 2 2 =< x,x >= 2, v = x 2 < x 2, > <, > < x 2,x > < x,x > x = x 2, q = v v =, q 2 = v 2 2 v 2 = x, q = v ( 45 2 v = x 2 ) 8 José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 9

20 Ortogonalización de Gram-Schmidt v =, v 2 = dx = 2, q = v v =, < x, 2 >= 2 v 2 = x < x,q > < q,q > q = x, v 2 2 =< x,x >= 2, q 2 = v 2 v 2 = < x 2, >= 2 x 2 [ ] x 2 dx = 2 = 2, < x 2,x >= 0, v = x 2 < x 2, q > < q,q > q < x 2,q 2 > < q 2,q 2 > q 2 = x 2, x 2 dx = 0, 2 x, v 2 =< x 2,x 2 >= 8 45, q = v ( 45 v = x 2 ) 8 José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 20

21 Matrices ortogonales. Factorización QR Una matriz A M n n (K) se dice que es ortogonal si sus columnas son vectores ortonormales. Propiedades A t A = I AA t = I A = A t A conserva el producto escalar canónico, es decir < Ax,Ay >=< x,y >, x,y R n. José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 2

22 Matrices ortogonales. Factorización QR Cualquier matriz A con columnas linealmente independientes puede factorizarse en un producto A = QR. Q es una matriz del mismo orden que A con columnas ortonormales y R es triangular e invertible. Si la matriz original A es cuadrada, también lo son sus factores Q y R, y entonces Q será una matriz ortogonal. Ortogonalización de Gram-Schmidt v = a v 2 = a 2 < a 2,v > < v,v > v v = a < a,v > < v,v > v < a,v 2 > < v 2,v 2 > v 2. v n = a n < a n,v > < v,v > v < a n,v 2 > < v 2,v 2 > v 2 < a n,v n > < v n,v n > v n José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 22

23 Matrices ortogonales. Factorización QR q v = a q 2 v 2 = a 2 < a 2,q > q q v = a < a,q > q < a,q 2 > q 2. q n v n = a n < a n,q > q < a n,q 2 > q 2 < a n,q n > q n A = (a a 2...a n ) = (q q 2...q n ) v < a 2,q > < a n,q > 0 v 2 < a n,q 2 > v n = QR José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 2

24 Matrices ortogonales. Factorización QR Ejemplo Calcular la factorización QR de la matriz A = 0 v = a = 0, v =, q = v v = 0 < a 2,q >= José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 24

25 Matrices ortogonales. Factorización QR v 2 = a 2 < a 2,q > q = v 2 =, q 2 = v 2 v 2 = 0 = < a,q >=, < a,q 2 >= José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 25

26 Matrices ortogonales. Factorización QR 2 v = a < a,q > q < a,q 2 > q 2 = 4 6 = v = 2 22, q = v v = Q = , R = José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 26

27 Resumen Fourier Objetivo Aproximar una función periódica de periodo por combinaciones de senos y cosenos de periodo {, sen 2π x, cos 2π x, sen 4π x, cos 4π } 2πn 2πn x,..., sen x, cos x Estas funciones son ortogonales con el producto escalar < f,g >= a+ a f (x)g(x)dx, a R ( usualmente a = 0 o a = 2 La mejor aproximación es la proyeccción ortogonal sobre el subespacio generado por las funciones anteriores l i= < f,u i > < u i,u i > u i ). José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 27

28 Resumen Fourier ( f (x) < f, > n <, > + < f,sen 2πkx > k= < sen 2πkx omo <, >= 0 0 f (x) f (x) dx dx =, < sen 2πkx n + k=,sen 2πkx 2πkx sen >,sen 2πkx >= 2 ( 2 0 f (x)sen 2πkx dx + < f,cos 2πkx > < cos 2πkx 2πkx,cos, < cos 2πkx sen 2πkx que se puede reescribir como f (x) a n ( b k sen 2πkx + a k cos 2πkx ) k= con a k = 2 f (x)cos 2πkx dx, k = 0,,2,...,n 0 b k = 2 f (x)sen 2πkx dx, k =,2,...,n 0 ) 2πkx cos > 2πkx,cos >= 2 f (x)cos 2πkx José Vicente Romero Bauset ema.- Espacio vectorial eucĺıdeo. 28 dx ) cos 2πkx