Espacios vectoriales reales

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1 41 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal Capítulo Espacios vectoriales reales.1 Espacios vectoriales Los conjuntos de vectores del plano, R, y del espacio, R 3, son conocidos y estamos acostumbrados a movernos en sus direcciones (ancho, largo y alto, manejar sus medidas y ángulos. Pero todo eso es reflejo de su funcionamiento, mejor dicho, de la estructura que generan las pautas de su comportamiento y son estas pautas las que vamos a extraer y fijar para exportar esta estructura tan cómoda y fiable Definición 91.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de suma de vectores y otra que recibe el nombre de producto por escalares o producto de vectores por números reales, que verifican las siguientes propiedades: (1 u + v V ; u, v V ( u + v = v + u; u, v V (3 u + (v + w = (u + v + w ; u, v, w V (4 Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0, tal que: 0 + u = u + 0 = u; u V (5 Para cada u V, existe un vector de V, llamado opuesto de u y denotado u, tal que u + ( u = 0 (6 ku V ; k R y u V (7 k(u + v = ku + kv ; k R y u, v V (8 (k + lu = ku + lu; k, l R y u V (9 (klu = k(lu; k, l R y u V (10 1u = u; u V Ejemplo Los conjuntos R n, los conjuntos de polinomios reales R n [X] = {P (X R[X] : gr(p n y los conjuntos de matrices reales M m n = {matrices de tamaño m n, con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son espacios vectoriales reales. Por ser los escalares de R se dicen espacios vectoriales reales Propiedades 9.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son: (i 0u = 0 (ii k0 = 0 (iii ( 1u = u (iv ku = 0 k = 0 ó u = 0 (v El vector cero de un espacio vectorial es único. (vi El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único.. Subespacios vectoriales Definición 93.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V, si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V. Como W V, todos los vectores de W verifican las propiedades a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas (se mantienen en W, es decir Proposición 94.- W V es un subespacio vectorial de V si se cumplen las propiedades (1 u + v W ; u, v W (6 ku W ; u W y k R Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad única: ku + lv W ; u, v W y k, l R

2 4 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.3 Base y dimensión Nota: Es claro, que si W es un subespacio de V, entonces 0 W. Ejemplo R [X] es un subespacio de R 4 [X], pues es un subconjunto suyo y si P (X, Q(X R [X], el grado de kp (X + lq(x es gr(kp + lq = max{gr(kp, gr(lq max{gr(p, gr(q, por lo que está en R [X]. Sin embargo, {P (X : gr(p = no es un subespacio de R 4 [X], por dos razones: primero, porque no contiene al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad (1 ya que X y X X son polinomios del conjunto pero su suma X + (X X = X es un polinomio de grado 1 que no está en el conjunto. Definición 95.- Se dice que un vector v V es una combinación lineal de los vectores v 1, v,..., v n si, y sólo si, c 1, c,..., c n R tales que v = c 1 v 1 + c v + + c n v n. Definición 96.- Dado un conjunto de vectores S = {v 1, v,..., v k de un espacio vectorial V, llamaremos subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ó lin{v 1, v,..., v k, al conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S : { lin S = lin{v 1, v,..., v k = c 1 v 1 + c v + + c k v k : c i R y se dirá que S genera lin S o que los vectores v 1, v,..., v k generan lin S. Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V, de hecho el más pequeño que contiene a S (Ejer..67 Definición 97.- Dado un conjunto S = {v 1, v,..., v k de vectores del espacio vectorial V, la ecuación vectorial c 1 v 1 + c v + + c k v k = 0 tiene al menos una solución, a saber: c 1 = c = = c k = 0. Si esta solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que los vectores de S son linealmente independientes. Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente (o que los vectores son linealmente dependientes. Ejemplo El vector X X de R [X] está generado por los vectores X 1 y X : λ µ = 0 X X = λ(x 1 + µ(x = λx λ + µx µ = ( λ µ + λx + µx = λ = µ = 1 luego X X = (X 1 + ( 1(X. Ejemplo Los polinomios X + y X de R [X] son linealmente independientes: si λ(x + + µx = 0 (al polinomio cero, se tiene que 0 = λ(x + + µx = λ + λx + µx = λ = 0, λ = 0 y µ = 0, ya que los coeficientes de ambos polinomios deben coincidir. Nota: Si los vectores {v 1, v,..., v k son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los otros; y si son linealmente independientes ninguno de ellos puede ser generado por los restantes. Tenemos así la siguiente caracterización para la dependencia lineal (Ejer.o.68: Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes..3 Base y dimensión Lema 98.- Si v n+1 = c 1 v c n v n, entonces lin{v 1,..., v n, v n+1 = lin{v 1,..., v n. Es fácil asumir que este resultado es cierto, ya que cualquier combinacion lineal de los n + 1 vectores puede reconvertirse a una combinación lineal de los n primeros, por simple sustitución. En otras palabras, puede reducirse el número de generadores mientras haya dependencia lineal, lo que nos lleva a: Definición 99.- Sean V un espacio vectorial y S un conjunto finito de vectores de V. Diremos que S es una base de V si: a S es linealmente independiente y b S genera a V Observación: El lema y comentario anteriores a esta definición nos indican la manera de reducir un conjunto generador del espacio a una base. Igualmente, podemos construir una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores: si S es linealmente independiente y lin S V, tomando v V pero que v / lin S, el conjunto S {v es linealmente independiente (ver el Lema 100 siguiente; y así, se añaden vectores a S hasta generar V.

3 43 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.3 Base y dimensión Lema Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y v V lin S, entonces S {v es linealmente independiente. De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor número posible de generadores y el mayor número posible de vectores linealmente independientes (ver Lema 101 siguiente; luego no tendrá una base un número fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Lema siguiente y se recoge en el Teorema de la base. Lema Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto {v 1, v,..., v m de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente. Teorema de la base 10.- Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos La demostración es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B 1 es una base de n elementos y B es una base de m elementos, por ser B 1 base y B linealmente independiente, m n y por ser B base y B 1 linealmente independiente n m, luego n = m. Definición En un espacio vectorial V se llama dimensión de V, dim V, al número de vectores que hay de cualquier base de V. El espacio vectorial V = {0 diremos que tiene dimensión cero { Ejemplo R [X] = P (X R[X] : gr(p tiene dimensión 3, pues B = {1, X, X forman una base. En general, dim(r n [X] = n + 1 y B = {1, X,..., X n es una base suya. con las operaciones habi- Ejemplo 104 Los conjuntos R n = R R R = tuales de suma y producto por escalares { (x 1,..., x n : x i R, i x + y = (x 1,..., x n + (y 1,..., y n = (x 1 + y 1,..., x n + y n λx = λ(x 1,..., x n = (λx 1,..., λx n son espacios vectoriales con dim R n = n, ya que cualquier vector x R n puede escribirse de la forma x = (x 1, x,..., x n = x 1 (1, 0,..., 0 + x (0, 1,..., x n (0, 0,..., 1 y este conjunto de vectores { B = e 1 = (1, 0,..., 0, e = (0, 1,..., 0,..., e n = (0, 0,..., 1 es linealmente independiente. A esta base se la denomina base canónica de R n. Conocer a priori la dimensión de un espacio facilita la obtención de bases: Proposición Si V es un espacio vectorial, con dim V = n. Entonces, un conjunto de n vectores de V es base de V, a si el conjunto es linealmente independiente, o b si genera a V..3.1 Coordenadas en una base Definición Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y B = {v 1, v,..., v n una base de V. Para cada vector v V, se llaman coordenadas de v en la base B a los n únicos números reales c 1, c,..., c n tales que v = c 1 v 1 + c v + + c n v n. Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de R n, de las coordenadas de v en B se denota por (v B = (c 1, c,..., c n y más usualmente por [v] B cuando lo escribimos como vector columna en las operaciones con matrices: [v] B = (c 1, c,..., c n t. Ejemplo o también Si B = {v 1, v, v 3 es una base de V y v = v 1 v + v 3, se tiene que (v B = (1, 1, (v 1 B = (1, 0, 0 (v B = (0, 1, 0 (v 3 B = (0, 0, 1 [v] B = 1 1 [v 1 ] B = [v ] B = [v 3 ] B = 0 0 1

4 44 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.3 Base y dimensión Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo anterior, tomamos como base B 1 = {v, v 3, v 1, tenemos que (v B1 = ( 1,, 1 que es un vector de coordenadas distinto de (v B = (1, 1,. Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un único vector de R n, de manera que disponer de las coordenadas es, en el fondo, disponer del vector. Además, se cumple (ver ejercicio.76: [v+w] B = [v] B + [w] B y [λv] B = λ[v] B, luego [λ 1 v 1 + +λ n v n ] B = λ 1 [v 1 ] B + + λ n [v n ] B y con esto, no es dificil probar que (ejer..76: v lin{v 1,..., v k V [v] B lin{[v 1 ] B,..., [v k ] B R n {v 1,..., v k lin. independiente en V {[v 1 ] B,..., [v k ] B lin. independiente en R n {v 1,..., v n base de V {[v 1 ] B,..., [v n ] B base de R n por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores..3. Espacios de las filas y las columnas de una matriz De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base, podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de R n ; por lo que resulta muy interesante conocer esta sección. Definición Consideremos la matriz A m n = a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n a m1 a m... a mn Los m vectores de R n : r 1 = (a 11,..., a 1n, r = (a 1,..., a n,..., r m = (a m1,..., a mn, se denominan vectores fila de A y al subespacio lineal generado por ellos, E f (A = lin{r 1, r,..., r m, espacio de las filas de A. Por supuesto E f (A R n. Los n vectores de R m : c 1 = (a 11,..., a m1, c = (a 1,..., a m,..., c n = (a 1n,..., a mn, se denominan vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, E c (A = lin{c 1, c,..., c n, espacio de las columnas de A. Por supuesto E c (A R m.. Proposición Si A es una matriz de tamaño m n, entonces las operaciones elementales sobre las filas (resp. columnas de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas de A. Claro, puesto que hacer operaciones elementales es hacer combinaciones lineales de los vectores, y el subespacio lineal generado es el mismo (Ejer..71 Corolario Sea A una matriz, entonces: a Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A, forman una base de E f (A. b Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A t, forman una base de E c (A. Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se comprueba fácilmente ya que debajo de cada elemento principal sólo hay ceros. Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces: dim(e f (A = dim(e c (A. El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(a = rg(a t, y que el rango coincide con el número de vectores no nulos en la forma escalonada, así como el resultado anterior.

5 45 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.4 Cambios de base Estos resultados nos permiten usar el método de Gauss, y por lo tanto nos ofrecen un operativo sencillo, para comprobar cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente y para obtener bases. Ejemplo Los vectores X 1, X + 1 y X 1 de R [X] son linealmente independientes? Tomemos la base B = {1, X, X de R [X], entonces formamos por filas la matriz: (X 1 B F +F F A = (X + 1 B = F F3+ 1 F 0 0 (X 1 B Por lo anterior, los vectores fila de la última matriz son linealmente independientes y dim E f (A = 3. En consecuencia, los tres vectores fila de la matriz A inicial que generan E f (A son también base, luego linealmente independientes y los polinomios del enunciado también son linealmente independientes. Además, forman una base de R [X] ( por qué?..4 Cambios de base Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá que cambiar a las coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, teniendo en cuenta lo siguiente: Definición Sean B 1 = {u 1, u,..., u n y B = {v 1, v,..., v n son bases de un espacio vectorial V. Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B 1 a la base B, la matriz de dimensiones n n, que por columnas es ( P = [u 1 ] B [u ] B [u n ] B, es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas en la base B, del vector u i de la base B 1. En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de los vectores de la base de partida. El porqué la matriz de paso se contruye así, puede observarse en la prueba de la proposición siguiente: Proposición 11.- Sea P la matriz de paso de una base B 1 en otra base B de un espacio V. Entonces: 1.- x V se tiene que [x] B = P [x] B1..- P es inversible y su inversa, P 1, es la matriz de paso de la base B a la base B 1. Sea B 1 = {u 1, u,..., u n y sea x = c 1 u 1 + c u + + c n u n. Entonces, Apartado 1: P [x] B1 = ([u 1 ] B [u ] B [u n ] c B. c 1 c n = c 1 [u 1 ] B + c [u ] B + + c n [u n ] B = [c 1 u 1 + c u + + c n u n ] B = [x] B Apartado : como los vectores de la base B 1 son linealmente independientes, sus vectores de coordenadas en la base B también lo son. Luego las columnas de P son vectores linealmente independientes y rg(p = n, por lo que P es inversible. Además, [x] B = P [x] B1 = P 1 [x] B = P 1 P [x] B1 = P 1 [x] B = [x] B1 y P 1 es la matriz de cambio de la base B en la base B 1. Ejemplo Consideremos las bases B = {1, X, X y B 1 = {X 1, X + 1, X 1 de R [X]. La matriz de paso de la base B 1 a la base B será: ( P = [X 1] B [X + 1] B [X 1] B = y P 1 =

6 46 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.5 Espacios vectoriales con producto interior la matriz de paso de B a B 1. Ejemplo Consideremos en R 3 la base canónica B c = {e 1 = (1, 0, 0, e = (0, 1, 0, e 3 = (0, 0, 1 y la base B 1 = {v 1 =(1, 0, 1, v =(, 1, 1, v 3 =(0, 1, 1. Como v 1 = 1(1, 0, 0 + 0(0, 1, 0 1(0, 0, 1 = e 1 e 3, se tiene que (v 1 Bc = (1, 0, 1; y lo mismo para los otros vectores, luego la matriz de paso de la base B 1 a la base B c será: ( P = [v 1 ] Bc [v ] Bc [v 3 ] Bc = y P 1 = la matriz de paso de la base B c a la base B 1. Nota: A la vista del ejemplo anterior, obtener las coordenadas de un vector de R n en la base canónica de R n es inmediato, pues (x Bc = x. Pero ciudado!, al trabajar con vectores de R n no hay que confundir el vector con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior únicamente es cierta en la base canónica..5 Espacios vectoriales con producto interior.5.1 Producto escalar. Norma. Distancia Definición Un producto escalar o producto interior en un espacio vectorial real V es una función, que a cada par de vectores u, v V le asocia un número real, que denotaremos por u, v, de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: 1.- u, v = v, u ; u, v V..- u + v, w = u, w + v, w ; u, v, w V. 3.- ku, v = k u, v ; u, v V y k R. 4.- u, u 0; u V y u, u = 0 u = 0. Otra propiedades que se deducen de las anteriores son: 1.- 0, u = 0.- u, v + w = u, v + u, w 3.- u, kv = k u, v Ejemplo Considerar en R [X], la función p(x, q(x = p(1q(1 + p (1q (1 + p (1q (1. (1 p(x, q(x = p(1q(1 + p (1q (1 + p (1q (1 = q(1p(1 + q (1p (1 + q (1p (1 = q(x, p(x ( ( ( ( p(x + r(x, q(x = p(1 + r(1 q(1 + p (1 + r (1 q (1 + p (1 + r (1 q (1 ( ( = p(1q(1+p (1q (1+p (1q (1 + r(1q(1+r (1q (1+r (1q (1 = p(x, q(x + r(x, q(x (3 kp(x, q(x = kp(1q(1 ( + kp (1q (1 + kp (1q (1 = k p(1q(1 + p (1q (1 + p (1q (1 = k p(x, q(x ( ( ( (4 p(x, p(x = p(1p(1 + p (1p (1 + p (1p (1 = p(1 + p (1 + p (1 0. Y, se da la igualdad si y sólo si, p(1 = p (1 = p (1 = 0. Entonces, sea p(x = a + bx + cx, de donde p (X = b + cx y p (X = c; de las igualdades se tiene: a + b + c = 0 p(1 = p (1 = p (1 = 0 b + c = 0 a = b = c = 0 p(x = 0. c = 0 Luego tenemos un producto escalar definido en R [X].

7 47 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.5 Espacios vectoriales con producto interior A partir de un producto escalar sobre un espacio V se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo. Definición Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud o módulo de un vector v V se denota mediante v y se define como v = + v, v. La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d(u, v y se define como d(u, v = u v = + u v, u v. Desigualdad de Cauchy-Schwarz Para todo u, v V, espacio con producto escalar, se tiene u, v u v o en la forma u, v u v. Propiedades básicas de la norma u 0; u V.- u = 0 u = ku = k u ; u V y k R 4.- u+v u + v ; u, v V Propiedades básicas de la distancia d(u, v 0; u, v V.- d(u, v = 0 u = v 3.- d(u, v = d(v, u; u, v V 4.- d(u, v d(u, w+d(w, v; u, v, w V La prueba de estas propiedades es análoga a la de Propiedades del módulo complejo Matriz del producto escalar Observación: Sean V un espacio con producto interior y B = {u 1,..., u n una base de V. Tomemos dos vectores v = a 1 u a n u n y w = b 1 u b n u n, entonces v, w = a 1 u a n u n, w = a 1 u 1, w + + a n u n, w = a 1 u 1, b 1 u b n u n + + a n u n, b 1 u b n u n = a 1 u 1, u 1 b a 1 u 1, u n b n + + a n u n, u 1 b a n u n, u n b n = ( u 1, u 1 u 1, u n b 1 a 1 a n = (v B Q [w] B = [v] t B Q [w] B u n, u 1 u n, u n luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base. b n Definición Sea B base de un espacio V con producto interior. Se llama matriz métrica (o de Gram del producto escalar asociada a la base B, a la matriz Q tal que u, v = [u] t B Q [v] B para cada u, v V Observaciones Por cumplise las propiedades a y 3 a del producto escalar se puede construir la matriz Q; por las propiedades 1 y 4 (1 a parte, la matriz Q debe de ser simétrica y tener los elementos de la diagonal positivos. Y por la propiedad 4 ( a parte debe cumplirse que u, u = [u] t B Q [u] B > 0 para todo u V {0. Una matriz simétrica compliendo esto último se dice matriz definida positiva (ver Tema 5 de Formas cuadráticas. Criterio de Sylvester Una matriz simétrica S es definida positiva si y solo si son positivos los menores a 11 > 0 s 11 s 1 s 11 s 1k s 1 s > > 0 S > 0 s k1 s kk Nota: De lo anterior, para comprobar si una expresión dada, es un producto escalar, basta comprobar que se cumplen las propiedades y 3, construir la matriz Q referida a una base y comprobar si esta es simétrica, y en ese caso ver si es también definida positiva con el Criterio de Sylvester 119 anterior.

8 48 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.5 Espacios vectoriales con producto interior Proposición 10.- Sea V un espacio con producto escalar. Si Q 1 es la matriz métrica del producto escalar en la base B 1, Q la matriz métrica en la base B y P la matriz de paso de B a B 1, entonces: Q = P t Q 1 P Sabemos que x, y = [x] t B 1 Q 1 [y] B1 y P [v] B = [v] B1, con lo que sustituyendo la tercera igualdad en la primera x, y = [x] t B 1 Q 1 [y] B1 = (P [x] B t Q 1 (P [y] B = [x] t B P t Q 1 P [y] B x, y pero como también se cumple x, y = [x] t B Q [y] B, debe ser Q = P t Q 1 P Definición 11.- Dos matrices simétricas A y A son congruentes, si existe P inversible tal que A = P t AP.5.1. El espacio euclídeo n-dimensional R n Definición 1.- En el espacio vectorial R n, la función que a cada x, y R n le asocia x, y = x y = (x 1,..., x n (y 1,..., y n = x 1 y x n y n = n x i y i es un producto interior que se conoce como producto escalar euclídeo o producto euclídeo (ya usado en R y R 3. Que da lugar a la norma y distancia euclídeas, ya conocidas: x = x x = x x n y d(x, y = x y = (x 1 y (x n y n Y llamaremos espacio euclídeo n-dimensional a R n con el producto escalar euclídeo. Nota: También se suele denominar de manera genérica como Espacio euclídeo a cualquier espacio vectorial con un producto interior, pero como ya hemos dicho nosotros reservaremos esta denominación para R n con el producto euclídeo. Intentamos evitar cualquier tipo de dualidad. De la misma manera reservamos la notación x y para el producto euclídeo, remarcando así con x, y que vamos a usar un producto escalar que no es el euclídeo. Observación: En R n con el producto euclídeo, la matriz métrica en la base canónica es la identidad. Pero también al revés, cuando la matriz métrica sea la identidad cualquier producto interior se reduce al producto euclídeo de las coordenadas; y esto ocurre precisamente para las bases ortonormales que se estudimos a continuación.5. Ortogonalidad Definición 13.- Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto interior, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que 1 u,v u v 1 y, por tanto, existe un único ángulo, θ, tal que u, v cos θ = u v, con 0 θ π Definición 14.- En un espacio vectorial con producto interior, dos vectores u y v se dicen que son ortogonales si u, v = 0. Suele denotarse por u v. Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W, se dice que u es ortogonal a W. Se dice que S = {v 1, v,..., v k es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, es decir, si v i v j para todo i j. Ejemplo Los vectores de la base canónica de R 3 con el producto escalar euclídeo son ortogonales entre si, pero no lo son si el producto interior definido es: v, w = v 1 w 1 + v 1 w + v w 1 + v w + v 3 w 3. (Pruébese que es un producto interior. En efecto: e 1, e = (1, 0, 0, (0, 1, 0 = = 1 0. Nota: Si dos vectores son ortogonales, el ángulo que forman es de π radianes (los famosos 90 grados. De hecho, en R n con el producto escalar euclídeo, la ortogonalidad coincide con la perpendicularidad. Una curiosidad: Teorema general de Pitágoras 15.- Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interior, entonces u + v = u + v. i=1

9 49 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.5 Espacios vectoriales con producto interior Este resultado, de fácil comprobación, se reduce en R con el producto escalar al Teorema de Pitágoras. También es sencillo probar el resultado siguiente (ver ejercicio.83: Proposición 16.- Si w {v 1, v,..., v k, entonces w lin{v 1, v,..., v k. Mucho más interesante es el siguiente, que relaciona ortogonalidad e independencia: Teorema 17.- Si S = {v 1, v,..., v k un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos, entonces S es linealmente independiente Bases ortonormales. Proyección ortogonal Definición 18.- Sean V un espacio vectorial de dimensión n con producto interior. Se dice que la base B = {v 1, v,..., v n es una base ortonormal de V, si B es un conjunto ortogonal y v i = 1, i. {( ( Ejemplo Las bases canónica y B 1 = 1 1, 1, 1, son ortonormales en R con el producto escalar euclídeo. La base B = {(, 0, (0, es ortonormal para el producto interior x, y = x1y1 4 + xy. Teorema 19.- Si B = {v 1, v,..., v n ( es una base ortonormal para un espacio V entonces v V se tiene que (v B = v, v 1, v, v,..., v, v n. Es decir, v = v, v 1 v 1 + v, v v + + v, v n v n, con producto escalar, Si v = c 1 v c i v i + + c n v n, para cada i, se tiene que v, v i = c 1 v c i v i + + c n v n, v i = c 1 v 1, v i + + c i v i, v i + + c n v n, v i = c i v i, v i = c i v i = c i Es decir, en una base ortonormal, la obtención de cordenadas es más sencilla. Y no sólo eso: Teorema Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B 1 a otra base ortonormal B, entonces P es una matriz ortogonal (es decir, P 1 = P t. La prueba es puramente operativa, con la definición y el apartado b del ejer..86 (ver también ejer..91. Definición Sean V un espacio con producto escalar, W subespacio de V y B = {w 1, w,..., w k base ortonormal de W. Para cada v V, llamaremos proyección ortogonal de v sobre W al vector de W Proy W (v = v, w 1 w 1 + v, w w + + v, w k w k. Al vector v Proy W (v se le llama componente ortogonal de v sobre W. La proyección ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando otra se obtiene lo mismo. La prueba puede encontrarse en el Anexo, pág. 49, tras la demostración del Lema 13 siguiente. Lema 13.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B base ortonormal de W. Entonces para cada v V, el vector v Proy W (v es ortogonal a W. Base ortonormal mediante Gram-Schmidt El siguiente teorema prueba la existencia de bases ortonormales para cualquier producto escalar, y no solo eso sino que la prueba es un método de construcción de esa base ortonormal. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt Sean V un espacio vectorial con producto interior y de dimensión n. Vamos a describir este proceso que construye a partir de una base B ={v 1, v,..., v n una base ortonormal B = {u 1, u,..., u n. 1 a etapa.- Como v 1 0 por ser de B, el vector u 1 = v 1 v 1 tiene norma 1 y lin{u 1 = lin{v 1.

10 50 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.5 Espacios vectoriales con producto interior a etapa.- Sea W 1 = lin{u 1, por el Lema anterior, el vector v Proy W1 (v es ortogonal a W 1, en particular a u 1, y es distinto del vector 0 pues Proy W1 (v W 1 y v / W 1 = lin{v 1, entonces tiene que u = v Proy W1 (v v Proy W1 (v = v v, u 1 u 1 v v, u 1 u 1 lin{v 1, v es ortogonal a u 1 y tiene norma 1. Además, lin{u 1, u = lin{v 1, v. 3 a etapa.- Sea ahora W = lin{u 1, u, como antes, el vector v 3 Proy W (v 3 es ortogonal a W, en particular a u 1 y u, y es distinto del vector 0, pues Proy W (v 3 W y v 3 / W = lin{v 1, v, entonces se tiene que u 3 = v 3 Proy W (v 3 v 3 Proy W (v 3 = v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u u v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u u lin{v 1, v, v 3 es ortogonal a u 1 y u, y tiene norma 1. Además, lin{u 1, u, u 3 = lin{v 1, v, v 3. n a etapa.- Con la repetición del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B = {u 1, u,..., u n, tal que lin B = lin B = V. Luego B es una base ortonormal de V. Ejemplo En R 4 con el producto euclídeo, x, y = x y, transformar { B = v 1 =(1, 1, 1, 1, v =( 1, 1, 0,, v 3 =(0, 1,, 1, v 4 =( 1, 0, 1, 1 en una base ortonormal u 1 = v1 v = ( 1 1, 1, 1, 1 y W 1 = lin{u 1 u = v Proy W (v 1 v Proy W1 (v u 3 = v3 Proy W (v 3 v 3 Proy W (v 3 u 4 = v4 Proy W (v 3 4 v 4 Proy W3 (v 4 ( v = v,u 1 u 1 v ( v,u 1 u 1 = 1 6 ( 1, 1.0, y W = lin{u 1, u ( v = v3 3,u 1 u 1+ v 3,u u = v 3 ( v 6 3,u 1 u 1+ v 3,u u ( v = v4 4,u 1 u 1+ v 4,u u + v 4,u 3 u 3 = v 4 ( v 1 4,u 1 u 1+ v 4,u u + v 4,u 3 u 3 10 ( 1 6, 7 6,, 4 6 y W 3 =lin{u 1, u, u 3 35 ( 9, 7, 3, 1 Observación El cálculo de la base ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt es simple, es algorítmico luego basta seguir los pasos indicados, pero muy laborioso. Si buscamos sólo dos o a lo sumo tres vectores ortogonales a veces puede hacerse por simple inspección u obligando a que cumplan las condiciones de ortogonalidad y resolviendo los sistemas resultantes; basta ahora con normalizar los vectores para tener la base. Menos sistemático pero válido. Hay otro proceso que también construye una base ortogonal a partir de otra dada, pero que usa las matrices métricas. Consiste en obtener la matriz métrica identidad a partir de la matriz métrica de la base dada. Base ortonormal mediante operaciones elementales Para un producto escalar dado, la matriz métrica referida a una base ortonormal es la identidad (referida a una base ortogonal es diagonal. Este hecho y la Proposición 10 nos proporcionan la idea de buscar una base ortonormal buscando una matriz de cambio de base de manera que P t QP = I. El proceso de que hablamos, se basa de nuevo en hacer operaciones elementales sobre la matriz. La idea del método es la siguiente: haciendo operaciones elementales en las filas de la matriz podemos conseguir una matriz triangular inferior, pero como necesitamos que la matriz obtenida sea simétrica (debe ser congruente con la anterior, seguir siendo una matriz métrica, después de cada operación que hagamos en las filas repetiremos la misma operación sobre las columnas. Tras cada doble paso (operacion sobre las filas y misma operación sobre las columnas la matriz obtenida seguirá siendo simétrica y congruente con la inicial y, al final del proceso la matriz obtenida será diagonal. La justificación no es dificil de entender si usamos las matrices elementales que representan a cada operación elemental (ver la subsección 1..1 sobre matrices elementales en la página 8, pues: si E es una matriz elemental obtenida de realizar una aplicación elemental sobre I, al multiplicar EA se tiene la matriz resultante de realizar

11 51 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.6 Ejercicios la misma operación elemental de E sobre las filas de A (Th.09 y si multiplicamos a la traspuesta de A, EA t realiza la operación sobre las columnas de A. Entonces: la matriz E(EA t realiza la operación sobre las columnas de la matriz en la que ya hemos realizado la operación de las filas; pero como E(EA t = EA t E t = EAE t (por ser A simétrica, esta matriz es simétrica y congruente con A (pues E es inversible. Luego repitiendo el proceso hasta obtener una matriz diagonal y haciendo 1 los elementos de la diagonal: I = E k E k 1 E 1 A E t 1 E t k 1E t k = (E k E k 1 E 1 A (E k E k 1 E 1 t = P t A(P t t = P t AP que será congruente con A pues P es inversible al ser producto de inversibles. Diagonalización congruente mediante operaciones elementales Ampliamos la matriz A con la identidad, (A I y efectuamos en A y en I las operaciones elementales en las filas para escalonar A y repetimos cada operación en las columnas de A, al cabo de un número finito de pasos obtendremos (D P t Nota: Construimos así una matriz congruente diagonal, que se corresponde con una base ortogonal. Basta ahora con hacer 1 los elementos de la diagonal para obtener la base ortonormal. Ejemplo 135 Sea x, y = x 1 y 1 + x 1 y + 3x y + x y 1 + x y 3 + x 3 y + 4x 3 y 3 un producto escalar sobre R 3. Obtener una base ortonormal 0 La matriz métrica en la base canónica es S = 3 1, luego para obtener una matriz congruente con S que sea la identidad, hacemos el proceso de (S I (I P t. Detallamos los pasos ha dar: (S I = F F 1 C C F 3 F C C F 1 1 C Tenemos entonces la matriz identidad y la matriz, P = 1 F C { B = ( 1, 0, 0, ( 1, 1, 0, ( 1 3, 1 1 3, 3 a la canónica, que verifican que P t SP = I. =(I P t, de paso de la base ortonormal.6 Ejercicios.6 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos: a R con las operaciones: (x, y + (x, y = (x + x, y + y y k(x, y = (kx, ky. b A = {(x, 0 : x R con las operaciones usuales de R. c R con las operaciones: (x, y + (x, y = (x + x + 1, y + y + 1 y k(x, y = (kx, ky. d El conjunto de los números reales estríctamente positivos, R + {0, con las operaciones: x+x = xx y kx = x k..63 Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R 3 ó R 4? a {(a, 1, 1 R 3 : a R R 3 b {(a, b, c R 3 : b = a + c R 3 c {(a, b, c, d R 4 : a + d = 7 R 4 d {(a, b, c, d R 4 : ba = 0 R 4.64 Sean v 1 = (, 1, 0, 3, v = (3, 1, 5, y v 3 = ( 1, 0,, 1 vectores de R 4. Cuáles de los vectores (, 3, 7, 3, (0, 0, 0, 0, (1, 1, 1, 1 y ( 4, 6, 13, 4, están en lin{v 1, v, v 3?.65 Para qué valores reales de λ los vectores v 1 = (λ, 1 un conjunto linealmente dependiente en R 3?, 1 v = ( 1 1, λ, y v 3 = ( 1, 1, λ forman

12 5 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.6 Ejercicios.66 Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w, demostrar que u + v, v + w y w + u son también linealmente independientes..67 Sea V un espacio vectorial y S = {v 1,..., v k un conjunto de vectores de V. Probar que: a lin S es un subespacio vectorial de V. b Si W es un subespacio de V que contiene a los vectores de S, entonces lin S W..68 Probar que si los vectores v 1,..., v k son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes..69 Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de R 4 : a Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0. b Todos los vectores de la forma (a, b, c, d con d = a + b y c = a b. c Todos los vectores de la forma (a, b, c, d con a = b = c = d..70 Probar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B, de m ecuaciones con n incógnitas no forman un subespacio de R n. Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si B = 0?.71 Sea W = lin {v 1, v, v 3. Probar que, para λ 0, se cumple: a lin {v 1 + λv 3, v, v 3 = W b lin {λv 1, v, v 3 = W c lin {v, v 1, v 3 = W.7 Sean E y F subespacios de un espacio V. Probar que: E F = {v V : v E y v F es un subespacio de V..73 Considerar en R 4 los conjuntos de vectores: A = {(1,, 1, 3, (0, 1, 0, 3 B = {(1, 1, 1, 0, (, 3, 1,, (0, 0, 0, 1 a Hallar las dimensiones de lin(a y de lin(b, y encontrar una base b Hallar las ecuaciones paramétricas de lin(a y de lin(b. c Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(a y de lin(b. d Hallar la dimensión de lin(a lin(b..74 Consideremos en el espacio vectorial R 3 la base B = {u 1, u, u 3. Sea E el subespacio engendrado por los vectores v 1 = u 1 + 3u 3, v = u 1 3u + u 3, v 3 = 4u 1 3u + 7u 3. Sea F el subespacio engendrado por los vectores w 1 = u 1 + u + u 3, w = u 1 + 3u + 4u 3, w 3 = 3u 1 + 4u + 5u 3. Hallar una base de E, una base de F, el subespacio E F y una base de E F..75 Sea M el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden sobre R y sea E el subconjunto de ( a b + c M formado por las matrices de la forma con a, b, c R. b + c a a Demostrar que E es un subespacio vectorial. ( ( ( b Probar que las matrices A 1 =, A 0 1 = y A =, forman una base de E Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Demostrar que el conjunto {v 1, v,..., v n es una base de V si, y sólo si el conjunto {[v 1 ] B, [v ] B,..., [v n ] B es una base de R n..77 En una cierta base {u 1, u, u 3, u 4 de un espacio vectorial V, un vector w tiene por coordenadas (3, 1,, 6. Hallar las coordenadas de w en otra base {v 1, v, v 3, v 4 cuyos vectores verifican que v 1 = u 1 +u, v =u 4 u 1, v 3 =u u 3 y v 4 =u 1 u..78 En R 3 se consideran las bases B = {v 1 = (, 0, 0, v = (0, 1,, v 3 = (0, 0, 3 y la base canónica B c = {e 1, e, e 3. Hallar las coordenadas respecto de la base B del vector x = 4e 1 + e 5e 3.

13 53 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal.6 Ejercicios.79 Se consideran en R 3 las bases B = {u 1, u, u 3 y B = {v 1, v, v 3, siendo u 1 = ( 3, 0, 3, u = ( 3,, 1, u 3 = (1, 6, 1 y v 1 = ( 6, 6, 0, v = (, 6, 4, v 3 = (, 3, 7. a Hallar la matriz de paso de B a B. b Calcular la matriz de coordenadas, [w] B, siendo w = ( 5, 8, 5. c Calcular [w] B de dos formas diferentes.80 Sean u = (u 1, u, u 3 y v = (v 1, v, v 3. Determinar si u, v = u 1 v 1 u v + u 3 v 3 define un producto interior en R a Encontrar dos vectores de R con norma euclídea 1 y cuyo producto euclídeo con (, 4 sea cero b Probar que hay infinitos x R 3 con x = 1 y el producto euclídeo x ( 1, 7, = 0.8 Sean a = ( 1 5, 1 5 y b = ( 30, Demostrar que {a, b es ortonormal si R tiene el producto interior u, v = 3u 1 v 1 + u v donde u = (u 1, u y v = (v 1, v, y que no lo es si R tiene el producto euclídeo.83 Sea V un espacio con producto interior. Probar que si un vector w es ortogonal a cada uno de los vectores v 1, v,..., v k entonces es ortogonal a todo el conjunto lin{v 1, v,..., v k.84 Considerar R 3 con el producto interior euclideo. Utilizar tanto el proceso de Gram-Schmidt como la diagonalización congruente para transformar, en cada caso, la base {u 1, u, u 3 en una base ortonormal. a u 1 = (1, 1, 1, u = ( 1, 1, 0, u 3 = (1,, 1. b u 1 = (1, 0, 0, u = (3, 7,, u 3 = (0, 4, Sea R 3 con el producto escalar u, v = u 1 v 1 + u v + 3u 3 v 3. Utilizar tanto el proceso de Gram-Schmidt como la diagonalización congruente para transformar la base formada por los vectores (1, 1, 1, (1, 1, 0 y (1, 0, 0 en una base ortonormal.86 Sea B = {v 1, v, v 3 una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Comprobar que: a w = w, v 1 + w, v + w, v 3 ; w V. b u, w = (u B (w B = [u] t B [w] B ; u, w V..87 Tomemos en R 4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = ( 1,, 6, 0 en la forma w = w 1 +w donde, w 1 esté en el subespacio W generado por los vectores u 1 = ( 1, 0, 1, y u = (0, 1, 0, 1, y w sea ortogonal a W..88 Suponer que R 4 tiene el producto interior euclideo. a Hallar un vector ortogonal a u 1 = (1, 0, 0, 0 y u 4 = (0, 0, 0, 1, y que forme ángulos iguales con los vectores u = (0, 1, 0, 0 y u 3 = (0, 0, 1, 0. b Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u 1 y a u, tal que el coseno del ángulo entre x y u 3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1 de R 4 al subespacio generado por los vectores v 1 = (1, 1, 1, 0 y v = (1, 1, 0, Dados los vectores x = (x 1, x, x 3 e y = (y 1, y, y 3 de R 3, demostrar que la expresión x, y = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 1 y + x y 1 define un producto interior. Encontrar una base {u 1, u, u 3 ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u y u 3 tengan igual dirección y sentido que los vectores (0, 1, 0 y (0, 0, 1, respectivamente..91 Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un conjunto ortonormal en R n.