Algoritmos de Ordenamiento II

Transcripción

1 Introducción a la Computación Algoritmos de Ordenamiento II Esteban E. Mocskos Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UBA CONICET 11/05/2016 E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

2 Bubble Sort El algoritmo de burbujeo (Bubble Sort) La operación básica es el intercambio o swap entre elementos adyacentes. El procedimiento consiste en realizar una serie de pasadas sobre los datos a ordenar. Las pasadas comienzan en uno de los extremos de la secuencia y avanzan hacia el otro. Se revisa cada par de elementos y se los invierte si están desordenados entre ellos. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

3 Bubble Sort Ejemplo de Bubble Sort Vamos a ordenar la secuencia a: len(a) = y se repite... Hasta cuándo? E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

4 Bubble Sort El programa El programa Esto es una propuesta de un programa que implementa el algoritmo de bubble sort: def bubblesort ( a ) : for i in range ( 0, len ( a ) ) : for j in range ( 0, len ( a) 1): i f a [ j ] > a [ j + 1 ] : a [ j ], a [ j +1]=a [ j +1], a [ j ] return a Los elementos más grandes se van moviendo o burbujeando hacia el extremo de la secuencia. Si no hay intercambios realizados después de una iteración completa es que la secuencia está ordenada y el proceso termina ( Qué pasa con nuestra propuesta de programa?). La especificación del ciclo es muy parecida al upsort, pero no es igual... van a tener que adaptarla! NO!!!!! La especificación da la descripción del problema, admite cualquier implementación correcta de la búsqueda. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

5 Bubble Sort El programa Complejidad de Burbujeo el ciclo externo de bubblesort itera n veces en cada iteración se hace una pasada llevando un elemento hacia el extremo (una burbuja que sube). Cuántos pasos hace el ciclo interno cada vez? el total de pasos es O(n + (n 1) ) = O(n (n + 1)/2 1) = O(n 2 ) Los mejores algoritmos de ordenamiento son O(n log n). Ya veremos ejemplos de estos algoritmos. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

6 Divide & Conquer Un poco de historia Las máximas divide et impera y divide ut regnes son atribuídas a Julio Cesar... Trivia Quién fue Julio César? Si dijeron que fue el primer emperador romano, la respuesta es incorrecta, el primero fue Augusto (hijo adoptivo de Julio César). A César lo lincharon antes de que pudiera convertirse efectivamente en emperador... querían evitar que la República sucumbiera, pero se equivocaron. Esta idea aplicada a la política (al nivel que sea) consiste en separar a los rivales o enemigos y mantenerlos separados, de esta manera se puede ir lidiando con cada uno por separado en lugar de tener problemas en muchos frentes simultáneamente (o en uno solo concentrado imposible de manejar). E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

7 Divide & Conquer Divide y vencerás Como técnica algorítmica, tiene los siguientes pasos genéricos: Divide: dividir el problema en problemas más pequeños o subproblemas. Conquer: la conquista consiste en resolver los subproblemas. Si los subproblemas son lo suficientemente fáciles, se los resuelve directamente (i.e. fuerza bruta). Combine: se combinan las soluciones de los subproblemas para obtener una solución al problema original. Normalmente, esta es la parte que tiene la magia y en la cual nos rompemos un rato laaaargo la cabeza (y que notoriamente no está en el nombre de la técnica). E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

8 Búsqueda binaria Búsqueda binaria Ya vimos que la búsqueda binaria es una forma eficiente de buscar un elemento en una secuencia, si ya sabemos que se encuentra ordenada. Podemos pensar una forma de resolver este problema utilizando divide and conquer. Divide: partimos la secuencia en dos mitades y el elemento del medio. Conquer: una vez que llegamos a tener un único elemento (o unos poquitos), podemos ver si es el que buscábamos. Si no lo es, es porque no se encontraba en la secuencia. Combine: no hay resultados que combinar en este caso. Por eso se usa siempre como el ejemplo de esta técnica. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

9 Búsqueda binaria Búsqueda binaria: dividiendo el problema E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

10 Búsqueda binaria Búsqueda binaria: Conquistando En este caso, una vez que llegamos a tener un único elemento, es muy fácil resolver el problema. También el paso de combine es trivial (porque no hay nada que combinar). En otros algoritmos puede ser bastante complicado. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

11 Implementación en Python Búsqueda binaria def busquedabinaria(a, x): if len(a) == 0: # conquer return False elif len(a) == 1: # conquer return a[0] == x else: medio = len(a) // 2 if x < a[medio]: # divide return busquedabinaria(a[:medio], x) # combine elif x > a[medio]: # divide return busquedabinaria(a[medio+1:], x) # combine return True E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

12 Merge Sort Merge Sort Se basa en la idea de que secuencias ordenadas se pueden unir (o hacerles un merge) en tiempo lineal. Se van separando los arreglos hasta llegar a pedazos de longitud 2, que se pueden ordenar fácilmente. Luego se van ordenando los pedazos cada vez más grandes. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

13 Merge Sort Merge Sort, implementación La idea del algoritmo mergesort para ordenar una secuencia a es: Si la longitud de la secuencia es 1 o 2, devolver la secuencia (ordenada). Sea a 1 la subsecuencia con los primeros n/2 elementos de a Sea a 2 la subsecuencia con los últimos n/2 elementos de a Llamar (recursivamente) a mergesort(a 1), me devuelve a 1. Llamar (recursivamente) a mergesort(a 2), me devuelve a 2. Devolver el resultado de unir (merge) a 1 y a 2. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

14 Merge Sort Merge sort: Primera etapa Este algoritmo es el ejemplo clásico de una estrategia de divide&conquer. La primera etapa consiste en: Se divide el problema hasta llegar a un tamaño que resulta fácil de resolver E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

15 Merge Sort Merge sort: Segunda etapa Luego se va armando (combinando) los resultados parciales E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

16 Merge Sort Merge sort: Análisis E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

17 QuickSort Empezando También se lo puede encontrar como partition-exchange sort. Es muy utilizado, inclusive en Linux está la función qsort. Fue desarrollado por Hoare en la década del 60. I call it my billion-dollar mistake. It was the invention of the null reference in At that time, I was designing the first comprehensive type system for references in an object oriented language (ALGOL W). My goal was to ensure that all use of references should be absolutely safe, with checking performed automatically by the compiler. But I couldn t resist the temptation to put in a null reference, simply because it was so easy to implement. This has led to innumerable errors, vulnerabilities, and system crashes, which have probably caused a billion dollars of pain and damage in the last forty years. Sir Charles Antony Richard Hoare - 9 de Marzo de Null References: The Billion Dollar Mistake. International Software Development Conference - QCon London. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

18 QuickSort Algoritmo Tiene un principio de funcionamiento bastante simple: Se elije un elemento cualquiera del arreglo, denominado pivot Se separa (o particiona) el arreglo en tres partes: 1 Primera parte: todos los elementos que son menores que el pivot. 2 Segunda parte: el pivot (sí, solo tiene un elemento) 3 Tercera parte: todos los elementos mayores o iguales que el pivot. Se aplica esto recursivamente. El caso base es cuando el arreglo a ordenar es cortito. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

19 QuickSort Ejemplo Veamos esto funcionando Supongamos que tenemos el siguiente arreglo para ordenar: Elegimos el pivot: Particionamos: El pivot queda en su posición definitiva, se lo considera como ya ordenado. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

20 QuickSort Ejemplo Y ahora la recursión! Aplicamos quicksort en la primer parte: Se elije un pivot: Particionamos: El pivot está en su posición definitiva y nos queda ordenar esto: 1 1 E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

21 QuickSort Ejemplo Todavía nos queda una parte... Nos queda pendiente ordenar la parte derecha del arreglo: Elegimos el pivot: Particionamos: Se vuelve a hacer la llamada recursiva... Al estilo programa de cocina, mostramos cómo queda: E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

22 QuickSort Ejemplo Pseudo-código El algoritmo quedaría: Quicksort (A : array, low : int, high : i n t ) i f ( low < high ) p i v o t l o c a t i o n = P a r t i t i o n (A, low, high ) Quicksort (A, low, p i v o t l o c a t i o n 1) Quicksort (A, p i v o t l o c a t i o n + 1, high ) Se ve claramente que una parte importante del trabajo pasa por el paso del particionado del arreglo. E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

23 QuickSort Análisis Análisis de Quick Sort Costo O(cant de comparaciones) Costo O(n 2 ) en el caso peor Costo O(n log n) en promedio (y en el mejor también) En la vida, resulta un algoritmo eficiente Hay una clave importante en la elección del pivot E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29

24 QuickSort Análisis Ejemplo de peor caso En este contexto, vamos a creer que la etapa de particionado realiza n (o n 1) comparaciones Elegimos el pivot: Nos queda tener que ordenar esta parte: Vuelvo a elegir el pivot: Lo tenemos que repetir hasta el final... termina dando O(n 2 ). E. Mocskos (UBA CONICET) Clase 11: Algoritmos de Ordenamiento II 11/05/ / 29