Algorítmica y Complejidad. Tema 3 Ordenación.

Transcripción

1 Algorítmica y Complejidad Tema

2 . Introducción.. Algoritmo de inserción.. Algoritmo de selección.. Algoritmo de la burbuja.. Algoritmo heapsort.. Algoritmo quicksort. 7. Algoritmo countingsort.. Algoritmo radixsort.. Algoritmo bucketsort.

4 Introducción. Dado un conjunto de elementos a, a, a, a n sobre los que se puede establecer una relación de orden, se dice que la permutación a k, a k, a k,... a kn está ordenada si se verifica f(a k ) f(a k ) f(a k )... f(a kn )

5 Introducción. Los elementos a ordenar pueden ser complejos: Llamaremos clave al campo utilizado en la ordenación. Type Alumno is Record DNI : Natural; Matricula : string (..); Nombre : string (..); Apellidos : string (..); End record;

6 Introducción. Ordenación Sobre la misma estructura a ordenar (in situ). Sobre estructuras adicionales. Ordenación Interna. Sobre memoria principal. Externa. Sobre memoria secundaria. Nos centraremos en la ordenación interna de vectores de números enteros.

7 Introducción. Algoritmo natural: Es más rápido si la estructura está ordenada con anterioridad. (Ya sea de forma total o parcial) Algoritmo estable: Mantiene el orden relativo de los elementos con la misma clave. (Útil si los elementos han sido ordenados previamente por otra clave) 7

9 Algoritmo de inserción. h c e v n- s n p Secuencia original. Método h c e v n- s n p Elementos ordenados. Elementos desordenados. h c e v n- s n p Insertar en el lugar adecuado de la zona ordenada. c h e v n- s n p Repetir el proceso para el resto de los elementos.

10 Algoritmo de inserción. () () () () () () Ejemplo

11 Algoritmo de inserción. Implementación for i in A'First+..A'Last loop valor := A(i); j := i - ; while (j in A'Range) and then (A(j)>valor) loop A (j+) := A (j); j := j - ; end loop; A(j+) := valor; end loop; O ( n )

13 Algoritmo de selección. h e c v n- s n p Secuencia original. Método h e c v n- s n p Busca el menor entre él y el resto. c e h v n- s n p Lo intercambia con el menor. c e h v n- s n p Repetir el proceso para el resto de los elementos.

14 () () () () () () Algoritmo de selección. Ejemplo

15 Algoritmo de selección. for i in A'First..A'Last- loop valor_min := A (i); indice_min := i; for j in i+..a'last loop if A (j) < valor_min then valor_min := A (j); indice_min := j; end if; end loop; A (indice_min) := A (i); A (i) := valor_min; end loop; Implementación O ( n )

17 Algoritmo de la burbuja. h c e v n- s n p Secuencia original. Método h c e v n- s n p h h c c e e v v n- p n- p n s n s Se van comparando los elementos contiguos y si están desordenados se intercambian. h c e v n- p n s c h e v n- p n s El menor ya está colocado. Repetir el proceso para el resto. 7

18 Algoritmo de la burbuja. () () () () () () Ejemplo

19 Algoritmo de la burbuja. (7) () () () () Ejemplo

20 Algoritmo de la burbuja. () () () () Ejemplo

21 Algoritmo de la burbuja. () (7) () Ejemplo

22 Algoritmo de la burbuja. Ejemplo () ()

23 Algoritmo de la burbuja. for i in A'First+..A'Last loop for j in reverse i..a'last loop if A(j-) > A(j) then v := A(j); A(j) := A(j-); A(j-) := v; end if; end loop; end loop; Implementación Se puede mejorar haciendo que termine si no se produce ningún intercambio.

24 Algoritmo de la burbuja. for i in A'First+..A'Last loop cambio := False; for j in reverse i..a'last loop if A(j-) > A(j) then v := A(j); A(j) := A(j-); A(j-) := v; cambio := True; end if; end loop; exit when not cambio; end loop; Implementación O ( n )

26 Algoritmo heapsort. Un montículo se puede representar como un árbol binario completo. a Debe tener todos sus niveles completos excepto el último que puede no estarlo. d b e f c Los niveles se rellenan de izquierda a derecha.

27 Algoritmo heapsort. Se pueden representar sobre un array. b a c a b c d e f d e f nodo i Padre i / Hijo izq. i Hijo der. i + Ejemplo: Si i = a b c d e f Padre / = Hijo izq. x = Hijo der. x+ = 7

28 Algoritmo heapsort. Montículo Min-heap Padre hijo. La raíz contiene el mínimo. Suele utilizarse para colas de prioridad. Max_heap Padre hijo La raíz contiene el máximo. Es el que usaremos para heapsort.

29 Algoritmo heapsort. c e v n- s n p Método Construcción del montículo. (Respetando las reglas) v s p Equivalente v s p n- e n c e c

30 Algoritmo heapsort. Método v s p Equivalente v s p n- e n c e c

31 Algoritmo heapsort. Método v c Descolocado s p Equivalente c s p n- e n v e

32 Algoritmo heapsort. Método s e p Equivalente s e p n- c n v c Se repite el proceso hasta que todo el array esté ordenado. (El montículo se vacía)

33 Algoritmo heapsort. Ejemplo Construcción del montículo.

34 Algoritmo heapsort. Ejemplo Equivalente Equivalente

37 Algoritmo heapsort. Ejemplo Equivalente Equivalente 7

38 Algoritmo heapsort. Ejemplo Equivalente

39 Algoritmo heapsort. Ejemplo Equivalente

40 Algoritmo heapsort. Implementación limite := A'Last; construir_monticulo; for i in reverse A'First+.. A'Last loop v := A(A'First); A(A'First) := A(i); A(i) := v; limite := limite - ; colocar ((A'First)); end loop;

41 Algoritmo heapsort. Implementación procedure construir_monticulo is begin for i in reverse A'Range loop colocar (i); end loop; end construir_monticulo;

42 Algoritmo heapsort. procedure colocar (i : integer) is hijo_izq, hijo_der, mayor : integer; begin hijo_izq := * i; hijo_der := * i + ; if (hijo_izq <= limite) and then (A(hijo_izq) > A(i)) then mayor := hijo_izq; else mayor := i; end if; if (hijo_der <= limite) and then (A(hijo_der) > A(mayor)) then mayor := hijo_der; end if; if mayor /= i then v := A(i); A(i) := A(mayor); A(mayor) := v; colocar (mayor); end if; end colocar; Implementación O ( n log ( n ) )

44 Algoritmo quicksort. c v e h n- f n p Secuencia original. Método c v e h n- f n p Selección de un pivote. c v e h n- f n p Buscar elementos fuera de orden respecto al pivote. A(i) pivote? A(j) pivote? c v e h n- f n p Si se encuentra una pareja, se intercambian. c f e h n- v n p Continúa el proceso hasta que se cruzan los índices.

45 Algoritmo quicksort. Tras el proceso anterior, el array tiene este aspecto: Método Elementos menores que el pivote y desordenados entre si. j i Elementos mayores que el pivote y desordenados entre si. Se repite el proceso para cada uno de los segmentos y se continúa hasta que todo el array haya sido ordenado.

46 Algoritmo quicksort. () i j () i j () i j () i j () i j () Pivote Ejemplo

47 7 Algoritmo quicksort. (7) Pivote i j () () i j () i j i j () () Pivote () i j () i j () i j Ejemplo

48 Algoritmo quicksort. () Ejemplo Pivote (7) () j i j i

49 Algoritmo quicksort. procedure QuickSort (izq, der : integer) is i, j : integer; Begin pivote := seleccionar_pivote; i := izq; j := der; loop while A(i) < pivote loop i := i + ; end loop; while A(j) > pivote loop j := j - ; end loop; if i <= j then Intercambiar (A(i), A(j)); i := i + ; j := j - ; end if; exit when i > j; end loop; if izq < j then QuickSort (izq, j); end if; if der > i then QuickSort (i, der); end if; end QuickSort;+ Implementación O ( n log ( n ) )

50 Algoritmo quicksort. Criterios de elección del pivote: El algoritmo funcionará correctamente con independencia del pivote elegido. Pero la elección puede influir en el tiempo de ejecución. El algoritmo será más eficiente cuando produzca particiones equilibradas.

51 Algoritmo quicksort. Criterios de elección del pivote: Criterio : Elegir el primer elemento. Funciona bien si la disposición del vector es aleatoria, pero es muy habitual que la lista ya esté algo ordenada. En esos casos es la peor opción!

52 Algoritmo quicksort. Criterios de elección del pivote: Criterio : Elegir un elemento de forma aleatoria. Muy buena opción. El problema es cómo generar la aleatoriedad y cómo hacerlo de forma rápida. Criterio : Elegir la mediana. Magnífica opción. El problema es que consumiría mucho tiempo.

53 Algoritmo quicksort. Criterios de elección del pivote: Criterio : Elegir la mediana de entre unos pocos elementos. Da muy buenos resultados hallando la mediana entre el primer elemento, el último y el central. function seleccionar_pivote return integer is v, centro : integer; Begin centro := (izq + der) / ; if A(izq) > A(centro) then v := A(izq); A(izq) := A(centro); A(centro) := v; end if; if A(izq) > A(der) then v := A(izq); A(izq) := A(der); A(der) := v; end if; if A(centro) > A(der) then v := A(centro); A(centro) := A(der); A(der) := v; end if; return A(centro); end seleccionar_pivote;

55 Algoritmo countingsort. Método Es útil cuando los elementos de la entrada son discretos y están dentro de un intervalo de tamaño razonable.. Se crea un array de contadores C tal que C(i) contenga el número de apariciones de i.. Se modifica el array anterior para que C(i) contenga el número de elementos menores o iguales a i.. Se utiliza este array para situar cada elemento en su lugar adecuado. La salida se realiza sobre un nuevo array.

56 Algoritmo countingsort. Ejemplo Etapa

57 Algoritmo countingsort. 7 Ejemplo Etapa

58 Algoritmo countingsort. Etapa Ejemplo () () = =

59 Algoritmo countingsort. Ejemplo = = Etapa () ()

60 () Algoritmo countingsort. Ejemplo = = Etapa ()

61 Algoritmo countingsort Etapa for i in C'Range loop C(i) := ; end loop; for i in A'Range loop C(A(i)) := C(A(i)) + ; end loop; Etapa for i in C'First+..C'Last loop C(i) := C(i) + C(i-); end loop; Etapa for i in reverse A'Range loop B(C(A(i))) := A(i); C(A(i)) := C(A(i)) - ; end loop; Implementación O ( n )

63 Algoritmo radixsort. Puede utilizarse cuando las claves se componen de secuencias de elementos que admiten un orden. (números, letras, fechas,...) Básicamente, en el computador todo se representa con números. No se necesita realizar comparaciones entre las claves.

64 Algoritmo radixsort. Ejemplo

71 Algoritmo radixsort. Implementación for pos in..num_digitos loop for i in A'Range loop Distribuir (A(i), pos); end loop; for i in A'Range loop Recargar (A(i)); end loop; end loop; O ( n ) 7

72 Algoritmo radixsort. Dos modalidades: Radix LSD Radix MSD El tratamiento de las claves se realiza de derecha a izquierda. Útil con claves numéricas. El tratamiento de las claves se realiza de izquierda a derecha. Útil con claves alfabéticas. 7

73 . Introducción.. Algoritmo de inserción.. Algoritmo de selección.. Algoritmo de la burbuja.. Algoritmo heapsort.. Algoritmo quicksort. 7. Algoritmo countingsort.. Algoritmo radixsort.. Algoritmo bucketsort. 7

74 Algoritmo bucketsort. Adecuado cuando los elementos de la entrada se distribuyen de forma aleatoria y uniforme sobre un determinado intervalo. Método. Para n elementos a ordenar se crean n cubetas. En cada una se almacenan aquellos que cumplen una determinada condición (excluyente) de orden.. Se distribuyen los elementos entre las cubetas.. En cada cubeta se ordenan mediante inserción.. Se sacan de las cubetas de forma ordenada. Existe una variante recursiva en la que la ordenación dentro de cada cubeta se hace también con bucketsort. 7

75 Algoritmo bucketsort. Ejemplo

77 Algoritmo bucketsort. Ejemplo 7 Ordenar mediante inserción

80 Algoritmo bucketsort. Implementación A : array (..max) of integer := (...); type puntero is access celda; type celda is record N : integer; P : puntero; end record; cubeta : array (..max-) of puntero := (others => null);

81 Algoritmo bucketsort. Implementación for i in A'Range loop distribuir (A(i)); end loop; for i in cubeta'range loop ordenar_cubeta (i); end loop; concatenar_cubetas;

82 Algoritmo bucketsort. Implementación procedure distribuir (num : integer) is n : integer; begin n := num / ; c := cubeta(n); cubeta(n) := new celda'(num, c); end distribuir;

83 Algoritmo bucketsort. Implementación procedure concatenar_cubetas is i : integer; begin i := A'Last; for j in reverse cubeta'range loop c := cubeta(j); while c /= null loop A(i) := c.n; c := c.p; i := i - ; end loop; end loop; end concatenar_cubetas;

84 Algoritmo bucketsort. Implementación for i in A'Range loop distribuir (A(i)); end loop; for i in cubeta'range loop ordenar_cubeta (i); end loop; concatenar_cubetas; O ( n ) O ( n ) O ( n ) Algoritmo de inserción O ( n )? O ( n ) La aleatoriedad uniforme de los elementos a ordenar hace que el número de elementos esperados en cada cubeta sea (o muy pequeño). Así, la complejidad de la ordenación deja de ser significativa.