NIVEL 15: ESTRUCTURAS RECURSIVAS BINARIAS

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1 1 NIVEL 15: ESTRUCTURAS RECURSIVAS BINARIAS Árboles Binarios y Árboles Binarios Ordenados

2 2 Contenido Árboles binarios Iteradores Árboles binarios ordenados

3 3 Árboles binarios Algunas definiciones para recordar: Subárbol Padre Hermano Camino Árbol vacío Hoja Rama Completo Hijo Peso Nivel Lleno Altura Recorrido en inorden Recorrido en preorden Recorrido en postorden Recorrido por niveles Iterador Estructura recursiva Algoritmo recursivo

4 4 Ejercicio La raíz del árbol es: La altura del árbol es: El peso del árbol es: Hojas? Un elemento no terminal?. De quién es hijo 15? De quién es padre 25? Un ejemplo de hermanos. El camino entre 10 y 7: La longitud del camino entre 10 y 7 es: Nivel de 25: Es árbol completo? Es árbol lleno?. El recorrido en preorden es: El recirrido en postorden es : El recorrido en inorden es : El recorrido por niveles es :

5 5 Árboles binarios Formalismo Abstracto e2 r e1 e4 e5 e2 e3 e3 a 1 a 2 e4 e5 e6 e7 e6 e7 Invariante inv: a 1 y a 2 son disyuntos

6 6 Árboles binarios Cupi2 Collections tiene su propia implementación del árbol binario. Se utiliza genericidad cupi2 collections

7 7 Implementación:

8 8 public class ArbolBinario<T> Se manejan elementos que hereden de Comparable private NodoArbolBinario<T extends Comparable<? super T>> raiz; public int darpeso( ) return ( raiz!= null )? raiz.darpeso( ) : 0; public class NodoArbolBinario<T extends Comparable<? super T>> private T elem; private NodoArbolBinario<T> izqnodo; private NodoArbolBinario<T> dernodo; T es comparable con cualquiera de sus supertipos public int darpeso( ) int p1 = ( izqnodo == null )? 0 : izqnodo.darpeso( ); int p2 = ( dernodo == null )? 0 : dernodo.darpeso( ); return p1 + p2 + 1;

9 9 Árboles binarios Algorítmica básica: Es hoja? Altura Buscar un elemento

10 10 Es hoja? Árboles binarios public class NodoArbolBinario<T> private T elem; private NodoArbolBinario<T> izqnodo; private NodoArbolBinario<T> dernodo; public boolean eshoja( ) return izqnodo == null && dernodo == null;

11 11 Árboles binarios Altura

12 12 public class ArbolBinario<T> private NodoArbolBinario<T> raiz; public int daraltura( ) return ( raiz!= null )? raiz.daraltura( ) : 0; public class NodoArbolBinario<T> private T elem; private NodoArbolBinario<T> izqnodo; private NodoArbolBinario<T> dernodo; public int daraltura( ) int a1 = ( izqnodo == null )? 0 : izqnodo.daraltura( ); int a2 = ( dernodo == null )? 0 : dernodo.daraltura( ); return ( a1 >= a2 )? a1 + 1 : a2 + 1;

13 13 Árboles binarios Buscar un elemento

14 14 public class ArbolBinario<T> private NodoArbolBinario<T> raiz; public T buscar( T modelo ) return ( raiz!= null )? raiz.buscar( modelo ) : null; public class NodoArbolBinario<T> public T buscar( T modelo ) if( modelo.equals( elem ) ) return elem; else T temp = ( izqnodo == null )? null : izqnodo.buscar( modelo ); if( temp!= null ) return temp; else return ( dernodo == null )? null : dernodo.buscar( modelo );

15 15 Árboles binarios Buscar un elemento: Busca el elemento del árbol que corresponda al m odelo especificado. modelo: Descripción del elemento que se va a buscar en el árbol. Debe contener por lo menos la información mínima necesaria para que el método de comparación del nodo pueda establecer una relación de orden.

16 16 Iteradores (cupi2.collections) public interface Iterador<T> public boolean haysiguiente( ); public T darsiguiente( ); public void reiniciar( );

17 17 public class IteradorSimple<T> implements Iterador<T> private final static int NADA = -1; private T[] elems; private int posactual; private int sigposlibre; public boolean haysiguiente( ); public T darsiguiente( ); public void reiniciar( ); public IteradorSimple( int tamanio ) public void agregar( T elem ) throws IteradorException public void insertar( T elem ) throws IteradorException public int darsigposlibre( ) public int darposactual( ) public int darlongitud( )

18 18 Iteradores Para recorridos y retornos de secuencias en el árbol binario. public class ArbolBinario<T> public Iterador<T> darinorden( ) public Iterador<T> darpreorden( ) public Iterador<T> darcamino( T elem ) throws NoExisteException public Iterador<T> darnivel( int nivel )

19 19 Árboles e iteradores Recorrido en inorden public class ArbolBinario<T> public Iterador<T> darinorden( ) IteradorSimple<T> resultado = new IteradorSimple<T>( darpeso( ) ); if( raiz!= null ) raiz.inorden( resultado ); return resultado;

20 20 Árboles e iteradores

21 21 public class NodoArbolBinario<T> public void inorden( IteradorSimple<T> resultado ) if( izqnodo!= null ) izqnodo.inorden( resultado ); try resultado.agregar( elem ); catch( IteradorException e ) if( dernodo!= null ) dernodo.inorden( resultado );

22 22 Árboles binarios ordenados Formalismo abstracto e a 1 a 2 Invariante inv: a 1 y a 2 son disyuntos, todos los elementos de a 1 son menores que e, todos los elementos de a 2 son mayores que e, a 1 y a 2 son ordenados

23 23 Árboles binarios ordenados Implementación a dos niveles public class ArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> private NodoArbolBinarioOrdenado<T> raiz; private int peso; public class NodoArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> private T elem; private NodoArbolBinarioOrdenado<T> dernodo; private NodoArbolBinarioOrdenado<T> izqnodo;

24 24 Árboles binarios ordenados Algorítmica básica Buscar Insertar Eliminar (4 variantes)

25 25 Buscar Árboles binarios ordenados public class ArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> public T buscar( T modelo ) return ( raiz!= null )? raiz.buscar( modelo ) : null;

26 26 Árboles binarios ordenados Buscar

27 27 public class NodoArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> public T buscar( T modelo ) // Compara el valor con el valor del nodo int resultado = elem.compareto( modelo ); if( resultado == 0 ) // Caso 1: El elemento buscado es el elemento actual return elem; else if( resultado > 0 ) // Caso 2: El elemento debería estar en el subárbol izquierdo return ( izqnodo!= null )? izqnodo.buscar( modelo ) : null; else // Caso 3: El elemento debería estar en el subárbol derecho return ( dernodo!= null )? dernodo.buscar( modelo ) : null;

28 28 Árboles binarios ordenados Insertar public class ArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> public void insertar( T elemento ) throws ExisteException if( raiz == null ) // Caso 1: el árbol es vacío raiz = new NodoArbolBinarioOrdenado<T>( elemento ); else // Caso 2: el árbol no es vacío raiz.insertar( elemento ); peso++;

29 29 Insertar Árboles binarios ordenados public class NodoArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> public void insertar( T pelemento ) throws ExisteException // Compara el valor con el valor del nodo int resultado = elem.compareto( pelemento ); if( resultado == 0 ) // Caso 1: El elemento a insertar es el elemento actual throw new ExisteException( "Elemento presente en el árbol" ); else if( resultado > 0 ) // Caso 2: El elemento se debe insertar en el subárbol izquierdo if( izqnodo == null ) izqnodo = new NodoArbolBinarioOrdenado<T>( pelemento ); else izqnodo.insertar( pelemento ); else // Caso 3: El elemento se debe insertar en el subárbol derecho if( dernodo == null ) dernodo = new NodoArbolBinarioOrdenado<T>( pelemento ); else dernodo.insertar( pelemento );

30 30 public class NodoArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> public void insertar( T pelemento ) throws ExisteException // Compara el valor con el valor del nodo int resultado = elem.compareto( pelemento ); if( resultado == 0 ) // Caso 1: El elemento a insertar es el elemento actual throw new ExisteException( "Elemento presente en el árbol" ); else if( resultado > 0 ) // Caso 2: El elemento se debe insertar en el subárbol izquierdo if( izqnodo == null ) izqnodo = new NodoArbolBinarioOrdenado<T>( pelemento ); else izqnodo.insertar( pelemento ); else // Caso 3: El elemento se debe insertar en el subárbol derecho if( dernodo == null ) dernodo = new NodoArbolBinarioOrdenado<T>( pelemento ); else dernodo.insertar( pelemento );

31 31 Árboles binarios ordenados Eliminar un elemento Variante 1: Para eliminar un elemento de la raíz, se puede colocar el subárbol izquierdo a la izquierda del menor elemento del subárbol derecho:

32 32 Árboles binarios ordenados Ejemplo

33 33 Árboles binarios ordenados Eliminar un elemento Variante 2: Para eliminar el elemento de la raíz, se puede colocar el subárbol derecho a la derecha del menor elemento del subárbol izquierdo.

34 34 Árboles binarios ordenados Ejemplo

35 35 Árboles binarios ordenados Eliminar un elemento Variante 3: Para eliminar el elemento de la raíz, se puede reemplazar dicho elemento por el menor elemento del subárbol derecho

36 36 Árboles binarios ordenados Ejemplo

37 37 Árboles binarios ordenados Eliminar un elemento Variante 4: Para eliminar un elemento de la raíz, se puede reemplazar el elemento por el mayor elemento del subárbol izquierdo.

38 38 Árboles binarios ordenados Ejemplo

39 39 Árboles binarios ordenados Bajo las variantes 3 y 4, se consideran 3 grandes casos: El elemento es la raíz. El elemento está en el subárbol izquierdo. El elemento está en el subárbol derecho.

40 40 Árboles binarios ordenados Si el elemento a eliminar es la raíz, se manejan 3 casos: Es una hoja (NO HAY PROBLEMA). Sólo tiene un hijo: se coloca al hijo. Están los dos subárboles: Busca el mayor elemento del lado izquierdo, lo coloca en la raíz y hace un llamado recursivo para suprimirlo.

41 41 Árboles binarios ordenados Eliminar public class ArbolBinario<T> private NodoArbolBinario<T> raiz; public void eliminar( T elemento ) throws NoExisteException if( raiz!= null ) // Caso 1: el árbol no es vacío raiz = raiz.eliminar( elemento ); peso--; else // Caso 2: el árbol es vacío throw new NoExisteException( "El elemento especificado no existe en el árbol" );

42 42 public class NodoArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> public NodoArbolBinarioOrdenado<T> eliminar( T pelemento ) throws NoExisteExcep tion // Compara el valor con el valor del nodo int resultado = elem.compareto( pelemento ); if( resultado == 0 ) // Caso 1: El elemento buscado es el elemento actual if( izqnodo == null ) return dernodo; else if( dernodo == null ) return izqnodo; else elem = izqnodo.darmayor( ); izqnodo = izqnodo.eliminar( elem ); return this;...

43 43 public class NodoArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> public NodoArbolBinarioOrdenado<T> eliminar( T pelemento ) throws NoExisteExcep tion... else if( resultado > 0 ) // Caso 2: El elemento debe estar en el subárbol izquierdo if( izqnodo == null ) throw new NoExisteException( "El elemento no encontrado" ); else izqnodo = izqnodo.eliminar( pelemento ); return this;...

44 44 public class NodoArbolBinarioOrdenado<T extends Comparable<? super T>> public NodoArbolBinarioOrdenado<T> eliminar( T pelemento ) throws NoExisteExcep tion... else // Caso 3: El elemento debe estar en el subárbol derecho if( dernodo == null ) throw new NoExisteException( "El elemento no encontrado" ); else dernodo = dernodo.eliminar( pelemento ); return this;

45 45 Árboles binarios ordenados Tarea: Leer árboles AVL. Estudiar árboles ordenados, árboles ordenados binarios e iteradores de cupi2.collections.

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