Árboles. Árboles. Árboles binarios de búsqueda. Árboles. Inserción en un árbol. Árbol binario de búsqueda

Transcripción

1 Árboles Árboles Mario Medina C. Árboles Estructura recursiva Árbol vacío 0 o más árboles hijos Altura ilimitada Árbol binario A lo más dos hijos: izquierdo y derecho Árboles Árboles binarios de búsqueda Árbol binario de búsqueda Cada nodo almacena un valor mayor que todos los valores almacenados en el subárbol izquierdo menor que todos los valores almacenados en el subárbol derecho No almacena valores duplicados Ideales para búsqueda Árbol binario de búsqueda < > < > > > > < > Inserción en un árbol Siárbolestávacío Insertar valor como nodo raíz Caso contrario Si nuevo valor es menor que valor del nodo actual Insertar nuevo valor en el subárbol a la izquierda del nodo actual Si nuevo valor es mayor que valor del nodo actual Insertar nuevo valor en el subárbol a la derecha del valor actual Mario Medina C. 1

2 Inserción Remoción en un árbol Nodo sin hijos Eliminación directa Nodo con un nodo hijo Nodo padre hereda al nodo hijo Nodo con dos hijos Buscar el nodo de mayor valor en el hijo izquierdo Reemplazar el valor del nodo raíz por mayor valor Eliminar el nodo de mayor valor Remover raíz Búsqueda en un árbol Búsqueda en árboles binarios es rápida 1. Comparar valor buscado con la raíz Si es igual, algoritmo termina 2. Si valor de la raíz es mayor que valor buscado, buscar en subárbol izquierdo 3. Si valor de la raíz es menor que el valor buscado, buscar en subárbol derecho Algoritmo iterativo o recursivo! Recorrido de un árbol Recorrido de un árbol Varias formas de recorrer un árbol Pre-orden 1. Visita primero la raíz 2. Luego el subárbol izquierdo 3. Finalmente, el subárbol derecho Post-orden 1. Visita primero el subárbol izquierdo 2. Luego el subárbol derecho 3. Finalmente, visita la raíz In-orden 1. Visita primero el subárbol izquierdo 2. Luego la raíz 3. Finalmente, el subárbol derecho Por niveles 1. Visita primero la raíz 2. Luego los dos hijos de la raíz 3. Luego los dos hijos de cada hijo de la raíz 4. Luego los hijos de éstos, y así hasta llegar a las hojas Mario Medina C. 2

3 Ejemplos de recorridos Ejemplos de recorridos Pre-Orden, 12,, 9,, 17, 2,, 26, 29 In-Orden, 9, 12,, 17,, 2, 26,, 29 Post-Orden 9,, 17,, 12, 26, 29,, 2, Por Niveles, 12, 2,,,, 9, 17, 26, 29 Implementación de árboles Búsqueda iterativa /* Estructura para un nodo */ typedef struct NODOARBOL { int valor; struct NODOARBOL *izq; struct NODOARBOL *der; NodoArbol; /* Raiz del arbol */ NodoArbol *raiz; int *buscar(nodoarbol *nodo, int valor) { while(nodo!= NULL && nodo->valor!= valor) { if (valor < nodo->valor) nodo = nodo->izq; nodo = nodo->der; if (nodo!= NULL) return TRUE; return FALSE; Inserción iterativa (1) Inserción iterativa (2) void inserta(nodoarbol *raiz, int valor) { NodoArbol *nodo, **temp; temp = &raiz; while((nodo = *temp)!= NULL) { if(valor < nodo->valor) temp = &nodo->izq; temp = &nodo->der; /* Continúa */ nodo = malloc(sizeof(nodoarbol)); assert(nodo!= NULL); nodo->valor = valor; nodo->izq = NULL; nodo->der = NULL; *temp = nodo; Mario Medina C. 3

4 Búsqueda recursiva Inserción recursiva (1) int *buscar(nodoarbol *nodo, int valor) { return FALSE; if (nodo->valor == valor) return TRUE; if (nodo->valor > valor) return buscar(nodo->izq, valor); return buscar(nodo->der, valor); NodoArbol *insertar(nodoarbol *nodo, int valor) { NodoArbol *temp; { temp = malloc(sizeof(nodoarbol)); temp->izq = NULL; temp->der = NULL; temp->valor = valor; return temp; /* Continúa */ Inserción recursiva (2) Tamaño de un árbol if (valor < nodo->valor) nodo->izq = insertar(nodo->izq, valor); nodo->der = insertar(nodo->der, valor); Calcula el número de nodos de un árbol int tamano(nodoarbol *nodo) { return 0; return nodo; /* Funcion retorna puntero a nueva raiz */ return tamano(nodo->izq) tamano(nodo->der); Profundidad de un árbol Mínimo valor en un árbol Calcula camino más largo en un árbol int profundidad(nodoarbol *nodo) { int profizq, profder; return 0; profizq = profundidad(nodo->izq); profder = profundidad(nodo->der); return (profizq > profder)? profizq + 1 : profder + 1; Encuentra el valor mínimo en un árbol No se requiere revisar todo el árbol Sólo revisar los hijos izquierdos int minvalor(nodoarbol *nodo) { NodoArbol *actual = nodo; if (actual == NULL) return 0; while (actual->izq!= NULL) actual = actual->izq; return actual->dato; Mario Medina C. 4

5 Imprimir un árbol Imprimir un árbol en post-orden Imprime el árbol en in-orden Orden creciente de los valores void imprime(nodoarbol *nodo) { return; imprime(nodo->izq); printf( %d, nodo->valor); imprime(nodo->der); Imprime el árbol en post-orden void imprime(nodoarbol *nodo) { return; imprime(nodo->izq); imprime(nodo->der); printf( %d, nodo->valor); Orden de operaciones en un árbol Búsqueda binaria Buscar en un árbol de búsqueda binario es orden O(log 2 n) Cada nodo visitado desde la raíz divide el árbol en dos 1 nodo 2 divisiones 2 nodos 4 divisiones 3 nodos 8 divisiones 4 nodos divisiones Orden: árbol de búsqueda binario Orden de operaciones en un árbol Buscar un elemento: O(log n) Insertar un elemento: O(n) Encontrar el tamaño del árbol: O(n) Encontrar la profundidad del árbol: O(n) Encontrar menor elemento: O(log n) Imprimir el árbol: O(n) Y si el árbol no está balanceado? Peor caso: Buscar en un árbol es orden O(n) Árbol binario no está necesariamente balanceado Mario Medina C.

6 Árboles balanceados Árboles B (B-Trees) Garantizan comportamiento O(log n) Código de operaciones típicas es más complejo Más eficientes si se opera sobre muchos datos Árboles AVL Diferencia entre altura de árboles hijos es a lo más 1 Árboles Rojo-Negro Camino más largo es a los más dos veces el camino más corto Árboles 2-3 Log 2 n < altura < Log 3 n Árboles n-arios balanceados Usados en sistemas de archivos y bases de datos Optimizados para sistemas donde sólo una parte del árbol puede residir en memoria principal El resto del árbol se almacena en disco Nodos pueden tener un número variable de hijos Todas las hojas del árbol están a la misma altura Operaciones de inserción y remoción son O(log n) Mario Medina C. 6