Estructuras de Datos. Clase 20 Árboles de búsqueda. Dr. Sergio A. Gómez.

Transcripción

1 Clase 20 Árboles de búsqueda Bahía Blanca, Argentina Motivaciones El árbol binario de búsqueda permite implementar conjuntos mapeos con un tiempo de operaciones buscar, insertar eliminar con orden logarítmico en la cantidad de elementos en promedio. En el peor caso las operaciones tienen orden lineal en la cantidad de elementos (cuando las inserciones se realiaron en forma ascendente o descendente en cuo caso el árbol degenera en una lista). Ha tres estructuras alternativas que garantian tiempo de acceso de orden logarítmico en la cantidad de elementos. Árboles balanceados: AVL (sí los veremos) Árbol 2 3 (sí los veremos) Árbol rojo negro (no los daremos) Estructuras de datos 2. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

2 Árboles AVL Agregaremos una corrección al árbol binario de búsqueda para mantener una altura del árbol proporcional al logaritmo de la cantidad de nodos del árbol. Recordemos que el tiempo de búsqueda, inserción borrado en un árbol binario de búsqueda es lineal en la altura del árbol. Entonces, si n=cantidad de elementos de un arbol T, tendríamos así que T(n) = O(log 2 (n)). Propiedad del balance de la altura: Para cada nodo interno v de T, las alturas de los hijos difieren en a lo sumo 1. Cualquier árbol binario de búsqueda que satisface esta propiedad se dice "árbol AVL" (por Adel'son Vel'skii Landis). Estructuras de datos 3 Árboles AVL: Ejemplo Propiedad del balance de la altura: Para cada nodo interno v de T, las alturas de los hijos difieren en a lo sumo 1. Ejemplo: Los * corresponden a nodos nulos (con altura 0 de acuerdo a GT) * * * * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * Estructuras de datos 4. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

3 Comentarios Desde mi punto de vista ( el de Mark Allen Weiss) es más elegante decir que los nodos nulos tienen altura 1; así, las hojas tienen altura 0. Sin embargo, para seguir a Goodrich & Tamassia diremos que los nodos nulos tienen altura 0 las hojas 1 Como un AVL es un árbol binario de búsqueda, la operación de búsqueda no sufre alteraciones. La únicas operaciones a modificar son la de inserción eliminación, las cuales deben verificar que se cumpla la propiedad de balance al finaliar la operación. Luego de cada modificación en un nodo, rebalancearán los hijos de dicho nodo en O(1) por medio de las llamadas rotaciones. Las modificaciones se hacen desde la hoja donde se insertó el nodo hacia la raí siguiendo el camino de llamadas recursivas. Estructuras de datos 5 Rotaciones Son cuatro correspondientes a las cuatro combinaciones para la inserción de una clave: 1) iquierda iquierda: rotación simple iquierda 2) iquierda derecha: Rotación doble iquierda 3) derecha derecha: Rotación simple derecha 4) derecha iquierda: Rotación doble derecha Estructuras de datos 6. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

4 (1) Rotación iq iq (simple iquierda) t 4 t 3 t 1 t 2 t 1 t 2 t 3 t 4 Corresponde a dos inserciones seguidas hacia la iquierda de la raí Estructuras de datos 7 (2) Rotación iq der (doble iquierda) t 1 t 4 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3 t 4 Corresponde a una inserción en el hijo iquierdo luego en hijo derecho del hijo iquierdo de la raí Estructuras de datos 8. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

5 (3) Rotación der der (simple derecha) t 1 t 2 t 3 t 4 t 1 t 2 t 3 t 4 Corresponde a dos inserciones seguidas hacia la derecha de la raí Estructuras de datos 9 (4) Rotación der iq (doble derecha) t 1 t 4 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3 t 4 Corresponde a una inserción en el hijo derecho de la raí luego en el hijo iquierdo del hijo derechos de la raí Estructuras de datos 10. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

6 Implementación Java de la Inserción La única diferencia con el NodoABB es que en cada nodo mantengo la altura de dicho nodo. // Archivo: NodoAVL.java public class NodoAVL<E> { private NodoAVL<E> padre; private E rotulo; private int altura; // diferencia! private NodoAVL<E> iq, der; } public NodoAVL<E>(E rotulo){ altura = 0; // Al crear un nodo dumm anoto que su altura es // Resto Idem NodoABB} // setters getters incluendo la altura Estructuras de datos 11 public class AVL<E> { NodoAVL<E> rai; Comparator<E> comp; public AVL(Comparator<E> comp) { rai = new NodoAVL<E>(null); this.comp = comp; } public void insert(e ) { insertau( rai, ); } private int ma(int i, int j ) { return i>j? i : j; } Estructuras de datos 12. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

7 private void insertau( NodoAVL<E> t, E item ) { if( t.getrotulo() == null ) { t.setrotulo( item ); t.setaltura( 1 ); t.setiq( new NodoAVL<E>( null ) ); t.setder( new NodoAVL<E>( null ) ); t.getiq().setpadre( t ); t.getder().setpadre( t ); } else { int comparacion = comp.compare( item, t.getrotulo() ); if( comparacion == 0 ) t.setrotulo( ); // nada mas cambia else if( comparacion < 0 ) { { insertarau( t.getleft(), item ); if( Math.abs( t.getleft().getaltura() t.getright().getaltura() ) > 1 ) { // Rebalancear mediante rotaciones: testeo por rotaciones (i) o (ii) // Si esto aca => item <, debo testear si (item < ) o (item > ) // si item < => rotacion (i); si item > => rotacion (ii) E = t.getrotulo(); // no se usa, es solo para la eplicación E = t.getleft().getrotulo(); E = t.getleft().getleft().getrotulo(); // no se usa, es solo para la eplicación int comp_item_ = comp.compare( item, ); if( comp_item_ < 0 ) rotacion_i(t); // item < => rotacion (i) else rotacion_ii(t); // item > => rotacion (ii) } else { /* Caso simétrico pero insertando hacia la derecha luego testeo por rotaciones (iii) (iv) */ }t.setaltura( ma(t.getleft().getaltura(), t.getright().getaltura()) + 1 ); } } Estructuras de datos 13 Complejidad temporal de la inserción Noten que las rotaciones se hacen en los nodos del camino desde la raí hasta la hoja donde se insertó la nueva clave. Como las rotaciones se implementan con asignaciones de referencias (posiciones), cada rotación se hace en tiempo constante. La cantidad de rotaciones es del orden de la altura del árbol. La altura es proporcional al logaritmo base 2 de la cantidad de nodos del árbol. Por lo tanto, el tiempo de insertar es del orden del logaritmo de la cantidad de nodos del árbol. Estructuras de datos 14. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

8 Eliminación en un AVL Idem que la de ABB pero en este caso, cada ve que se sale de la recursión es necesario verificar de qué lado se eliminó un nodo para realiar el rebalanceo. Estructuras de datos 15 Árboles 2 3: Definiciones Un "árbol 2 3" es un árbol tal que cada nodo interno (no hoja) tiene dos o tres hijos, todas las hojas están al mismo nivel. La definición recursiva es: T es un árbol 2 3 de altura h si: a) T es vacío (es decir de altura 1) b) T es de la forma: T i n T d donde n es un nodo T i T d son árboles 2 3 cada uno de altura h 1. T i se dice "subárbol iquierdo" T d "subárbol derecho". c) T es de la forma: T i n donde n es un nodo T i, T m T d son árboles 2 3 cada uno de altura h 1. T i se dice "subárbol iquierdo, T m se dice "subárbol medio T d "subárbol derecho". T m T d Estructuras de datos 16. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

9 Árboles 2 3: Definiciones Propiedad: Si un árbol 2 3 no contiene ningún nodo con 3 hijos entonces su forma corresponde a un árbol binario lleno. Estructuras de datos 17 Árboles 2 3: Definiciones Un arbol 2 3 es un "arbol 2 3 de búsqueda" si T es un árbol 2 3 tal que a) T es vacío (es decir de altura 1) b) T es de la forma: k n contiene una clave k, k es maor que las claves de T i k es menor que las claves de T d T i T d son árboles 2 3 de búsqueda T i T d c) T es de la forma: T i k 1 k 2 n contiene dos claves k 1 k 2, k 1 es maor que las claves de T i, k 1 es menor que las claves de T m k 2 es maor que las claves de T m k 2 es menor que las claves de T d T m T d T Estructuras de datos Dr. Sergio i, T A. m T Góme d son árboles 2 3 de búsqueda 18. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

10 Árboles 2 3: Definiciones Reglas para ubicar entradas en los nodos de un árbol 2 3 de búsqueda: 1) Si n tiene dos hijos, entonces contiene una entrada 2) Si n tiene tres hijos, entonces contiene dos entradas 3) Si n es una hoja, entonces contiene una o dos entradas Estructuras de datos 19 Ejemplo de árbol Estructuras de datos 20. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

11 Búsqueda en un árbol 2 3 Recuperar( T, clave ) > valor Sea R la rai de T SI clave está en R ENTONCES RETORNAR valor igual a valor asociado a la entrada SINO SI R es una hoja ENTONCES RETORNAR nulo { falla } SINO SI R tiene una entrada ENTONCES Sea k la clave de R SI clave < k ENTONCES RETORNAR Recuperar( Ti(T), clave ) SINO RETORNAR Recuperar( Td(T), clave ) SINO SI R tiene dos entradas ENTONCES Sean k1 k2 las claves de R SI clave < k1 ENTONCES RETORNAR Recuperar( Ti(T), clave ) SINO SI clave < k2 ENTONCES RETORNAR Recuperar( Tm(T), clave ) SINO RETORNAR Recuperar( Td(T), clave ) Estructuras de datos 21 Inserción en un árbol 2 3 Ejemplo: Dado el árbol 2-3: (50) (30) (70 90) (10 20) (40) (60) (80) (100) Insertar(39): El 39 termina en una hoja: (50) (30) (70 90) (10 20) (39 40) (60) (80) (100) Estructuras de datos 22. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

12 Insertar(38): El 38 queda en un nodo con 3 entradas, entonces se parte en dos nodos se manda la entrada del medio para arriba (i.e. al padre). (30) (30 39) => (10 20) ( ) (10 20) (38) (40) Ahora el árbol es: (50) (30 39) (70 90) (10 20) (38) (40) (60) (80) (100) Estructuras de datos 23 Insertar(37): El 37 termina en la hoja junto con el 38. (50) (30 39) (70 90) (10 20) (37 38) (40) (60) (80) (100) 24. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

13 Insertar(36): El 36 termina en la hoja junto con 37 38: (50) (30 39) (10 20) ( ) (40) Ha que partir la hoja mandar el 37 al padre: (50) ( ) (10 20) (36) (38) (40) Ahora el padre tiene una entrada de más, entonces partimos nuevamente mandamos el 37 a su padre: (37 50) (30) (39) (10 20) (36) (38) (40) 25 El árbol es entonces: (37 50) (30) (39) (70 90) (10 20) (36) (38) (40) (60) (80) (100) 26. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

14 Insertar( ): a) (37 50) (30) (39) (70 90) (10 20) (35 36) (38) (40) (60) (80) (100) b) (37 50) (30 35) (39) (70 90) (10 20)(34) (36) (38) (40) (60) (80) (100) c) (37 50) (30 35) (39) (70 90) (10 20)(33 34) (36) (38) (40) (60) (80) (100) Resolución de Problemas Algoritmos Dr. Sergio A. Góme 27 Insertar(32): (37) (33) (50) (30) (35) (39) (70 90) (10 20)(32) (34) (36) (38) (40) (60) (80) (100) 28. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)

15 RESUMEN: Para insertar un valor X en un árbol 2 3, primero ha que ubicar la hoja L en la cual X terminará. Si L contiene ahora dos valores, terminamos. Si L contiene tres valores, ha que partirla en dos hojas L1 L2. L1 se queda con el valor más pequeño, L2 con el más grande, el del medio se manda al padre P de L. Los nodos L1 L2 se convierten en los hijos de P. Si P tiene sólo 3 hijos ( 2 valores), terminamos. En cambio, si P tiene 4 hijos ( 3 valores), ha que partir a P igual que como hicimos con una hoja sólo que ha que ocuparse de sus 4 hijos. Partimos a P en P1 P2, a P1 le damos la clave más pequeña los dos hijos de la iquierda a P2 le damos la clave más grande los dos hijos de la derecha. Luego de esto, la entrada que sobra se manda al padre de P en forma recursiva. El proceso termina cuando la entrada sobrante termina en un nodo con dos entradas o el árbol crece 1 en altura (al crear una nueva raí). 29 Bibliografía Capítulo 10, Secciones 2 4 de M. Goodrich & R. Tamassia, Data Structures and Algorithms in Java. Fourth Edition, John Wile & Sons, Árboles 2 3: Basado en Paul Helman & Robert Veroff. Intermediate Problem Solving and Data Structures. Walls and Mirrors, Benjamming Cummings, Menlo Park, Estructuras de datos 30. Notas de Clase. Sergio A. Góme.. (c)