Diseño y Análisis de Algoritmos con Java(I Sem. 2004) Prof. Dr.Eric Jeltsch F.

Transcripción

1 Arboles En esta sección se presentan los árboles que son un tipo de dato abstracto más adecuado para el tratamiento de grandes cantidades de información, las aplicaciones de los mismos son muy diversas, así por ejemplo, se usan para el almacenamiento y búsqueda de información ya que pueden establecerse diversas estructuras en las que el tiempo medio de las operaciones de búsqueda es del orden de log(n), lo que es bastante bueno comparado por ejemplo, con las listas enlazadas en la búsqueda de alguna información, otros ámbitos de aplicación son en la implementación del sistema de archivos en los sistemas operativos, manejo de archivos en la realización de bases de datos, así como diversos árboles que poseen sus propias estructuras y propiedades, tales como los árboles AA, Splay, Red-Black, AVL, y otros. Un árbol es una estructura no lineal formada por un conjunto de nodos y un conjunto de ramas o arcos, tal como se aprecia en la siguiente figura. Ahora, si los nodos están rotulados con el fin de almacenar un tipo de información, tenemos una gran variedad de árboles. En general, digamos que en un árbol existe un nodo especial denominado raíz. Así mismo, un nodo del que sale alguna rama, recibe el nombre de nodo de bifurcación o nodo rama y un nodo que no tiene ramas recibe el nombre de nodo terminal o nodo hoja, tal como lo muestra la siguiente figura. raíz A Nivel 0 nodo de bifurcación B C Nivel D E F hojas Nivel

2 De un modo más formal, diremos que un árbol es un conjunto finito de uno o más nodos tales que: a) Existe un nodo especial llamado raíz del árbol, y b) los nodos restantes están agrupados en n > 0 conjuntos disjuntos A,.., A n donde cada uno de los cuales es a su vez un árbol que recibe el nombre de subárbol. Evidentemente, la definición dada es recursiva; es decir, hemos definido un árbol como un conjunto de árboles. De la definición se desprende, que cada nodo de un árbol es la raíz de algún subárbol contenido en la totalidad del mismo. Las expresiones algebraicas, debido a que los operadores que intervienen son operadores binarios, nos dan un ejemplo de estructura en árbol binario. La figura siguiente nos muestra un árbol que corresponde a la expresión aritmética: (a+b*c)/(d-e/f) / + - a * d / b c e f El árbol binario es una estructura de datos muy útil cuando el tamaño de la estructura no se conoce, y se necesita acceder a sus elementos ordenadamente, la velocidad de búsqueda es importante o el orden en el que se insertan los elementos es casi aleatorio. En definitiva, un árbol binario es una colección de objetos (nodos del árbol) cada uno de los cuales contiene datos o una referencia a los datos, una referencia a su subárbol izquierdo y una referencia a su subárbol derecho. Según lo expuesto, la estructura de datos representativa de un nodo puede ser de la forma siguiente: Si el número de nodos en un árbol de orden t es n, entonces un árbol completo de altura h contiene: h i= i () N = t = h t t h En particular, un árbol binario (t=) contiene N = nodos. Esto nos dice que para un árbol binario de altura h= 3, se tienen 7 nodos. Tal como se ve en la siguiente figura,

3 Clasificación de los árboles A causa del gran significado que poseen los árboles es que se hace necesaria una clasificación, tanto en los datos que son almacenados en los árboles, así como en la forma de buscar un tipo de información, y de recorrer los nodos. En general, los datos o información se encuentra en los nodos, de aquí que consideremos en forma particular los árboles binarios y la forma de cómo disponer su información, generando un tipo de árbol llamado árbol de búsqueda binaria. ABB(árboles de búsqueda binaria) Las claves o datos son dispuestas de la siguiente manera: los datos menores a la izquierda y los mayores a la derecha. En la siguiente figura se puede constatar fácilmente la posición en la cual se encuentra algún dato en particular Arboles de Decisión(o árbol de búsqueda o de comparaciones) Este tipo de árboles es aplicado a los algoritmos de ordenamiento, en donde es posible representar cada comparación como un vértice del árbol. - 0 : Decisión para el hijo izquierdo - : Decisión para el hijo derecho 3

4 En el ejemplo, se muestra el árbol de comparaciones pero en el contexto de la búsqueda secuencial, en donde debemos resaltar los cajones como nodos externos o especiales y los nodos en donde se encuentra la información, generándose así un nuevo tipo de árbol, llamado árbol extendido. = = 3 = n = En este sentido, el árbol de comparaciones cambia radicalmente su rotulación si incorporamos la comparación <, >, o =, tal como se ve en la siguiente figura, cuando n=0, en la cual se combinan dos comparaciones a fin de obtener una comparación de tres vías para cada paso, así el árbol se ve más compacto, en comparación con el árbol que considera las comparaciones a la izquierda y > a la derecha. 5 < = > 8 < = > < = > < = > < = > < = > < = > < = > < = > < = > Basado en esta nueva forma de rotular los nodos, digamos que podríamos clasificar los árboles en árboles orientados a los nodos y árboles orientados a las hojas, para distinguirlos digamos que los primeros son árboles en donde los datos se encuentran en los nodos del árbol, mientras que los otros son árboles en donde los datos se encuentran solamente en las hojas. Convengamos que, tal como la figura anterior si el árbol es ampliado con nodos especiales, de manera que todos los subárboles están completos, es decir todos los punteros 4

5 sin nodos descendientes apuntan a un nodo especial, se habla de un árbol extendido En este contexto definamos la longitud de trayectoria interna de un nodo, como el número de aristas o ramas que se recorren desde la raíz al nodo. Por otra parte, la longitud de trayectoria interna de un árbol, es la suma de todas las longitudes de trayectoria de sus nodos. En principio, un nodo de nivel i tiene una longitud de trayectoria i. Sin embargo, es posible definir árboles en los que esto no sucede, tal como ocurre en los árboles B. Así como la longitud de trayectoria externa de un árbol, como la suma de las longitudes de trayectoria de todos los nodos especiales Otra forma de clasificación es considerar árboles optimal estáticos u optimal dinámicos, los primeros significa que el árbol debe ser construido nuevamente, mientras que el otro se construye durante el ingreso o al agregar los datos. El objetivo final en ambos casos es lograr una razonable estructura de almacenamiento, aunque esta situación en general globalmente no se pueda lograr, pero sí localmente. En ambos casos, se evitan árboles degenerados, que son los árboles que degeneran en listas lineales o ramas. Los árboles sirven también para representar una jerarquía, tal como lo muestra el siguiente ejemplo, respecto de la representación de expresiones aritméticas. Por ejemplo, para la expresión ( A+ B/ C) ( D E F) se puede representar por el siguiente árbol: * + - A / D * B C E F Relación de Orden y Representación En cada nodo, se da una situación de orientación y jerarquerización en los árboles binarios: Toda clave al lado derecho(izq) de los subarboles son mayores(menores) a la clave del nodo. Con ayuda de esta relación de orden se generan arboles que sirven para buscar, borrar o hallar algún elemento en particular. 5

6 Información DATOS Punteros Izquierda(Izq) derecha(der) Puntero al hijo izquierdo Puntero al hijo derecho La búsqueda de un elemento se realiza desde la raíz hasta el nodo en donde se encuentra la clave, en caso de existir, en caso contrario no existe el dato.. Las dos claves son iguales, la que se busca y la que tiene el nodo: el elemento es encontrado. La clave buscada es pequeña: el elemento buscado se encuentra solamente en los subarboles izquierdo 3. La clave buscada es mayor: el elemento buscado se encuentra solamente en los subarboles derecho. Este proceso se realiza hasta que la clave es encontrada. Notar que la estructura y crecimiento de los árboles binarios son a través de una relación de orden, por tal motivo se generan varios árboles con rotulaciones distintas. Por ejemplo, se dan las 3 claves, y 3, tan solo con estas podemos generar distintos árboles binarios respetuosos del orden antes descrito, por ejemplo,, 3, 3,,, 3 3 3, 3, 3,, 3,,

7 existiendo 6 distintas formas de rotularlos y por ende 6 árboles binarios distintos. En general, se demuestra que n-elementos generan n! formas. k Aquí existen (k-)! Subarboles con claves..n Aquí existen (N k)! subarboles con claves k+,... N Inserción en un ABB ) comparar la clave a insertar con la raíz del árbol. Si es mayor, debe avanzar hacia el subarbol derecho. Si es menor, debe avanzar hacia el subarbol izquierdo. Repetir sucesivamente ), hasta que se cumpla alguna de las siguientes condiciones: a) el subarbol derecho es vacío, o el subarbol izquierdo es vacío; en cuyo caso se procede a insertar el elemento en el lugar que le corresponda. b) La clave que se quiere insertar es igual a la raíz del árbol; en cuyo caso no se realiza la inserción. Por ejemplo, insertar 0, 87 y 30, en ese orden a partir del árbol vacío Borrar o eliminar un nodo Se refiere a eliminar un Nodo con una determinada clave, suponiendo que el elemento ha sido encontrado. Existen varias situaciones, entre ellas están: a) Si el elemento a borrar es terminal u hoja, simplemente se elimina. b) Si el elemento a borrar tiene un solo descendiente, entonces tiene que sustituirse por ese descendiente. c) Si el elemento a borrar tiene los descendientes, entonces se tiene que sustituir por el nodo que se encuentra más a la izquierda en el subárbol derecho o por el nodo que se encuentra más a la derecha en el subárbol izquierdo. Por ejemplo 7

8 a) El nodo que se eliminará es una hoja. Antes despues b) El nodo que se elimina tiene exactamente un hijo. Antes c) El nodo que se elimina tiene hijos despues Antes despues Recorrido y orden en Arboles El principio de recorrer un árbol binario, determina un orden sobre el conjunto de nodos. Existen 3 posibilidades o principios de como recorrer un árbol binario, ellos son la lectura en Inorden, Preorden y Postorden. Inorden Orden IRD () Recorrer el subárbol izquierdo en INORDEN () Visitar la raíz (3) Recorrer el subárbol derecho en INORDEN 8

9 Preorden Orden RID () Visitar la raíz () Recorrer el subárbol izquierdo en PREORDEN (3) Recorrer el subárbol derecho en PREORDEN Postorden Orden IDR () Recorrer el subárbol izquierdo en POSTORDEN () Recorrer el subárbol derecho en POSTORDEN (3) Visitar la raíz Un ejemplo, es + * + A B * E C D "Preorden": + * A B + * C D E "Inorden": A * B + C * D + E "Posorden": A B * C D * E + + Aplicaciones de los recorridos En un árbol de búsqueda binario se puede dar la siguiente situación, la que se interpreta como un árbol de búsqueda binario que degenero en una lista lineal, derivando en que la búsqueda de algún elemento en particular resulta tan costoso como buscarlo en forma exhaustiva, de aquí que es importante evitar que se genere una situación de este tipo Para ello, están los árboles perfectamente balanceados que evitan que se de una situación como la descrita a continuación, de manera de obtener una forma de balanceo que en definitiva facilita la búsqueda de algún elemento, pues no se 9

10 encuentra a una profundidad tan alejado de la raíz. Se verifica que el árbol de la derecha es árbol AVL, que luego lo veremos en detalle. Arboles AVL Lo substantivo es superar el problema generado por la inserción en los árboles de Búsqueda Binaria que podían degenerar en una lista proporcional a los datos ingresados. Definición: Un árbol AVL es un árbol binario de búsqueda en el que las alturas de los subarboles izquierdos y derecho de cualquier nodo difieren a lo sumo en. Esta restricción impuesta sobre la altura de los subarboles de un árbol AVL se le conoce como propiedad de los árboles AVL, y debe ser cumplida por todos y cada uno de los nodos del árbol. Ejemplos: () Basado en que los árboles AVL son árboles binarios es que a partir de un árbol vacío se han insertado los datos originando el árbol de la Fig., el cual deja de tener la propiedad AVL. Pues, aunque los nodos, 4, 0, la posean considerando sus respectivos subarboles, notamos que en este caso la raíz, es decir el nodo 8 no posee la propiedad de los árboles AVL pues la altura del subárbol izquierdo no difiere en a lo sumo con el subárbol derecho, (en particular el subárbol izquierdo tiene altura 3, mientras que el subárbol derecho tiene altura. ( De allí la marca que se considera como bajo el nodo 8 y bajo el nodo Fig. Los valores y se conocen como "Balance" de los nodos 8 y 4 respectivamente. H registra los valores de las alturas de los subárboles, los que deben ser - (balance_izq), 0 (balanceado) y + (balance_der). 0

11 () En este otro caso, todos los nodos satisfacen la condición de balance, de manera que es un árbol AVL Fig. 5 7 Sea T(h) cualquier árbol AVL que contenga N(h) nodos, con h>=. Como T(h) es un árbol AVL, y supongamos que tenga el menor número de nodos, entonces uno de los subárboles de la raíz debe tener altura h- y el otro deberá tener altura h-, de manera que el número de nodos de un árbol AVL en el caso peor de altura h viene dado por: (Ver (), para mayor información) N(h) = + N(h-) + N(h-). Si suponemos que N(h) = 0 cuando h <0, entonces los primeros valores de esta relación de recurrencia son:,, 4, 7,, 0,...etc. En general, N(h) = F(h+3), donde F(i) es el i-ésimo número de Fibonacci. (Ver (4), pág.36-37). Tomando logaritmo en base ( + 5)/), se tiene que h = log ( + 5)/) N(h) 3. Como N(h) es el número de nodos en el peor árbol AVL de altura h, se desprende del análisi anteriorque la altura de cualquier árbol AVL de n-nodos es O(log(n)). Métodos de Consulta Al igual que como se hizo para los árboles de búsqueda binaria podemos realizar consultas en un árbol AVL. A saber, Insertar y Eliminar, y otros métodos que no resultan tan directos como en los árboles de búsqueda binaria, por el problema de balanceo que se genera. Ejemplos: Dado el siguiente árbol T de búsqueda binaria Fig 3.: 6

12 ) En este árbol, son insertados los nodos con claves 9 y. Generándose el árbol T : Fig. 4.: ) Basado en T, son insertados los nodos con claves, 3, 5 y 7. Generándose el árbol T: Fig. 5: Ya al insertar la clave el árbol pierde la propiedad de AVL.. De aquí el aplicar una doble rotación Arbol obtenido luego de insertar las claves 3, 5 y Fig. 6: La inserción de las claves 3, 5 y 7 no hacen perder la propiedad AVL.

13 Rotaciones Los árboles de Fig. 7 contienen los mismos elementos y son ambos árboles de búsqueda binaria. Primero, en ambos casos k < k, segundo, todos los elementos en los subárboles X son menores que k en ambos árboles, tercero, todos los elementos en el subárbol Z son mayores que k. Finalmente todos los elementos en el subárbol Y están entre k y k. La conversión de uno de ellos al otro se conoce como Rotación simple, que significa en lo substancial cambiar la estructura del árbol. Las figuras muestran también las variantes simetricas. k k k Z k Y X Y Z X k k k k X Y X Y Z Z Existen situaciones en donde el desbalanceo es generado por un nodo que es insertado en el árbol que está contenido en el subárbol de el medio( es decir Y) y que al mismo tiempo como los otros arboles tienen idéntica altura. El caso es fácil de chequear y la solución es llamada Rotación Doble, la cual es muy similar a la rotación simple salvo que ahora se ven involucrados 4 subárboles en vez de 3. 3

14 k3 k k k k3 D k B C A A D B C K3 k K k3 k A k D B C A D B C Ud. podrá verificar que cualquier desbalanceo causado por una inserción en un árbol AVL puede ser realizada por una Rotación Doble o Simple. Ahora, respecto a la eficiencia de esta TDA mencionemos que almacenar la información de la altura, que en este caso son suficientes con +, 0 y, es de gran utilidad Entonces recordemos que para Insertar un nodo con la clave x en un árbol AVL, el valor x se inserta recursivamente en el subarbol correspondiente, tal como en los árboles de búsqueda binario. En el caso que la altura del subárbol no cambie, la inserción concluye. En caso contrario es necesario utilizar según sea el caso, Rotación Simple o Rotación Doble. 4