Estructuras de Datos. 8.6 Árboles B. Supongamos que los nodos de un árbol deben ser guardados en un medio de almacenamiento secundario (disco).

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Jorge Vega Gómez
hace 7 años
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1 132 El grado de ocupación de una tabla hash se determina mediante el factor de carga, que es la fracción ocupada de la tabla y es un número que está entre 0 y 1 si está vacía o llena respectivamente. Ejercicio: Realice una implementación de una tabla hash utilizando encadenamiento directo y exploración lineal. Utilícelo para representar una lista de números leída de un archivo. Compare su rendimiento con un ABB y un árbol AVL. 8.6 Árboles B. Supongamos que los nodos de un árbol deben ser guardados en un medio de almacenamiento secundario (disco).

2 133 Usando estructuras dinámicas, y si se hace que los apuntadores representen direcciones de almacenamiento en disco: Qué pasa con el acceso a los nodos? Qué puede decirse de la eficiencia? Si un árbol puede dividirse en subárboles, y que éstos a su vez se representen como unidades (páginas) las cuales se acceden simultáneamente, la eficiencia mejora. La Ilustración 11 muestra un árbol binario subdividido en páginas, donde cada página consta de 7 nodos.

3 134 Ilustración 11. Árbol Binario subdividido en páginas Ahora bien, considere por ejemplo lo siguiente: Cuantos niveles se necesitan en un árbol binario para representar 31 nodos? Y en un árbol 5-ario? Ejercicio: realice un dibujo genérico que ayude a responder esta pregunta.

4 Árboles B multicamino. En 1970 R. Bayer y E. M. McCreight postularon un criterio muy razonable: cada página (excepto una) contiene entre n y 2n nodos para determinada constante n. Entonces un árbol con N elementos y un tamaño máximo de página de 2n nodos por página, el peor caso requiere log n N accesos de página. Obsérvese que los accesos dominan la búsqueda.

5 136 La estructura de datos subyacente se denomina árboles B y tienen las siguientes características, donde n+1 es el orden del árbol: 1.Cada página contiene a lo más 2n elementos (llaves). 2.Cada página, excepto la de la raíz contiene por lo menos n elementos. 3.Cada página es una página hoja, es decir sin descendientes, o tiene m+1 descendientes (orden del árbol), donde m es el número de llaves en esta página. 4.Todas las páginas hoja aparecen en el mismo nivel.

6 137 La Ilustración 12 muestra un árbol B de orden 3 con 3 niveles (0, 1 y 2). Observe que todas las páginas, con excepción de la raíz tienen 2, 3 o 4 elementos. Ilustración 12. Árbol B de orden 3 Observe cómo la estructura representa una extensión natural de los árboles binarios.

7 138 Los métodos de búsqueda, inserción y eliminación trabajan directamente con las páginas una vez que han sido trasladadas a la memoria principal Búsqueda. Considere una página general como la de la Ilustración 13 y un argumento de búsqueda x. Ilustración 13. Página de árbol B con m llaves

8 139 Si m es grande conviene recurrir a la búsqueda binaria, y si es pequeña una búsqueda lineal es suficiente. Si la búsqueda en esa página fracasa, entonces: 1. k i < x < k i+1, para 0 < i < m. Continúa la búsqueda en la página P i. 2. k m < x. La búsqueda continúa en la página P m. 3. x < k 1. La búsqueda continúa en la página P 0. Si en algún caso el apuntador designado es nulo, entonces tampoco existe el elemento x y la búsqueda finaliza.

9 Inserción. Si hay que insertar un elemento en una página con m < 2n elementos, el proceso de inserción queda limitado a esa página. La inserción en una página llena es la que tiene consecuencias en la estructura del árbol pudiendo ocasionar la asignación de páginas nuevas. La inserción queda ilustrada en la Ilustración 14 y se realiza en base a los siguientes pasos: 1.Se descubre que falta la llave 22, la inserción en la página C es imposible porque C ya está llena.

10 141 2.La página C se divide en 2 páginas (se crea una nueva página D). 3.Las 2n + 1 llaves se distribuyen uniformemente en C y D y la llave de la mitad se sube un nivel hacia la página madre A.

11 142 Ilustración 14. Inserción del elemento (llave) 22 en un árbol B de orden 3 Qué ocurrió? Qué pasa cuando el elemento que sube a la página madre la desborda? Obsérvese que las páginas divididas tienen exactamente n elementos, y que la inserción de un elemento en la página madre

12 143 puede hacer que ésta se desborde con lo cual ocasiona que la división se propague. En el caso extremo puede propagarse hasta la raíz y de hecho esta situación es la única en la que un árbol B puede aumentar su altura. Así, un árbol B crece de las hojas hacia la raíz. Ejercicio: Construya un árbol B de orden 3 con la siguiente secuencia de inserción de llaves: 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25.

13 Eliminación. La eliminación de llaves es análoga y se pueden distinguir básicamente dos casos: 1.Si elemento que debe suprimirse se halla en una página hoja, entonces la eliminación es directa. 2.Si el elemento no se encuentra en una página hoja, entonces hay que substituirlo por uno de los elementos lexicográficamente contiguos que resultan estar en las páginas hoja, los cuales son fáciles de eliminar.

14 145 Observe que el caso 2 es semejante a la eliminación de nodos de un ABB: esto es, hay que descender por los apuntadores situados en el extremo derecho de la página izquierda de la llave a eliminar hasta la página hoja, y reducir el tamaño de la página en 1. La disminución del tamaño de una página debe acompañarse de una verificación del número de elementos en la página P reducida pues podría ocurrir una subocupación, es decir que m < n, violando una de las características primarias de un árbol B. Ejercicio: Considerando el problema anterior Qué estrategia propondría para corregir este inconveniente?

15 146 En este sentido, la estrategia habitual ante una subocupación consiste en combinar y distribuir uniformemente los elementos de dos páginas contiguas P y Q, a esto se le denomina balanceo de páginas, esto es, tomar elementos de Q para corregir la subocupación de P, siempre que Q tenga al menos n+1 llaves. Ilustración 15. Subocupación y distribución de llaves para un árbol B de orden 3

16 147 La Ilustración 15 muestra el proceso de subocupación y distribución de llaves cuando éste es posible. Sin embargo Que pasa si Q ha alcanzado su tamaño mínimo n? Esto es no se le puede quitar elementos a Q porque ocurriría también una subocupación en Q. En este caso el número total de elementos en las páginas P y Q es 2n-1 ( Por qué?). Ejercicio: Qué estrategia propondría ahora para corregir este nuevo inconveniente? Piense en el proceso inverso de la inserción. La Ilustración 16 muestra el proceso a seguir.

17 148 Ilustración 16. Subocupación y combinación de páginas para un árbol B de orden 3. La estrategia es entonces combinar las dos páginas en una, agregando un elemento intermedio proveniente de la página madre de P y Q, y prescindir completamente de la página Q. Obsérvese que lo anterior es el proceso inverso al de la división de páginas en el caso de la inserción.

18 149 Ejercicio: Para el árbol B que generó en uno de los ejercicios anteriores, realice las siguientes eliminaciones: 25, 45, 24, 38, 32, 8, 27, 46, 13, 42, 5, 22, 18, 26, 7, 35, 15. Los árboles B administran grandes cantidades de datos almacenadas en archivos, sin embargo, es posible realizar una implementación a nivel memoria principal que los modele. Ejercicio: Realice una implementación de un árbol B de orden n, donde n es parametrizable.

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