Estructura de Datos Árboles Árboles 2-3

Transcripción

1 Estructura de Datos Árboles Árboles 2-3 Prof.: Mauricio Solar Prof.: Lorna Figueroa Primer Semestre, Arboles Árbol n-ario ordenado de orden 3 Cada nodo tiene 1 ó 2 elementos 75 Nodo con dos elementos Nodo con un elemento 2 Arboles Cada nodo tiene 1, 2 ó 3 subárboles asociados 75 3 subárboles subárboles 1 subárbol

2 Arboles Ordenado No hay elementos repetidos El elemento de la izquierda de cada nodo (raíz izquierda) es menor que el elemento de su derecha (raíz derecha) 75 Raíz izquierda Raíz derecha Arboles Ordenado El primer subárbol es un árbol que contiene elementos menores que la raíz izquierda. Primer subárbol Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado El segundo subárbol es un árbol que contiene elementos mayores que la raíz izquierda pero menores que la raíz derecha Segundo subárbol

3 Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado El tercer subárbol es un árbol que contiene los elementos mayores que la raíz derecha Tercer subárbol Árbol 1-2-3: Árbol triario ordenado Si la raíz derecha está vacía, su tercer subárbol debe ser vacío (el segundo puede o no ser vacío) Árbol 2-3 Motivación: Optimizar el tiempo de acceso en una estructura de datos manejadas en memoria secundaria, en las cuales el número de consultas a un registro influye de manera determinante en el tiempo de respuesta de la operación. Acceso a la información en O(log 3 N) Baja complejidad en los algoritmos de actualización. 9

4 Árboles 2-3 Es un árbol triario ordenado balanceado: Todas las hojas se encuentran en el mismo nivel, ordenadas de izquierda a derecha. Todos los nodos internos tienen por lo menos 2 subárboles asociados no vacíos, aunque la raíz derecha esté vacía Árbol 2-3 Son un tipo de árbol balanceado por altura. Todos los nodos pueden tener hasta 2 elementos. Un nodo interno puede tener 2 ó 3 hijos, dependiendo de cuántos elementos posea el nodo: Si hay 1 elemento en el nodo, debe tener 2 hijos Si hay 2 elementos en el nodo, debe tener 3 hijos 11 Árboles

5 Arboles Búsqueda en un árbol 2-3 Se empieza por la raíz y se va bajando por el árbol hasta que se encuentre el dato o se llegue a una hoja. Si el árbol está vacío, el dato no está en el árbol. Si no está vacío, primero buscar en la raíz. Si es alguno de los elementos de la raíz, se encontró. En caso contrario: Si el nodo es una hoja y el elemento no está en el nodo, el algoritmo finaliza. 14 Búsqueda en un árbol 2-3 Si el nodo no es una hoja : Si sólo hay un elemento en el nodo: Si es mayor que el dato a buscar, se por el hijo derecho, Si es menor, se por el hijo izquierdo. Si en el nodo hay dos elementos, r 1 y r 2 (con r 1 r 2 ): Si el dato es menor que r 1, buscar por el hijo izquierdo. Si el dato es mayor que r 1 y menor que r 2, buscar por el hijo central. Si es mayor que r 2 buscar por el hijo derecho.

6 Inserción en Arboles 2-3 Al insertar un nuevo dato en un árbol 2-3 se hará de forma que se mantenga el equilibrio en el árbol. 1. Localizar el nodo hoja donde debe ir el elemento. 2. Si hay sólo un elemento en ese nodo, añadir el dato. 3. Si no hay espacio en el nodo para un nuevo elemento, se divide el nodo y el elemento central se inserta en el nodo padre. 16 Inserción en Arboles Si el nodo padre está lleno, al insertar el nuevo elemento se debe repetir el paso Inserción en Arboles 2-3 La secuencia de inserciones y divisiones se puede propagar hacia arriba hasta llegar a la raíz. Cuando la raíz pase a tener 3 elemento (r 1, r 2 y r 3 ) se divide en 2 nuevos nodos r 1 y r 3 creando una nueva raíz que contendrá sólo el elemento r 2. De esta forma, cuando el árbol 2-3 crece en altura, lo hace por arriba, creando una nueva raíz con sólo un elemento. 18

7 Inserción en Arboles 2-3 Las inserciones en un árbol 2-3 tienen dos casos: 1. Hay espacio en el nodo pues hay un sólo elemento. 2. No hay espacio y el nodo debe dividirse en dos y la mediana de los tres elementos se inserta en el padre recursivamente. Esto puede generar una secuencia de divisiones hasta la raíz. 19 Inserción en Arboles 2-3 En todos los casos, el elemento a insertar se denota por x Caso 1: r 1 r 1 < x r 1 x Caso 2: r 1 r 1 > x x r 1 20 Inserción en Arboles 2-3 Caso 3: r 1 r 2 r 2 < x Sube r 2 r 1 r 2 x r 1 x r 2 sube al nodo padre. 21

8 Inserción en Arboles 2-3 Caso 4: r 1 r 2 r 1 > x x r 1 r 2 Sube r 1 x r 2 r 1 sube al nodo padre. 22 Inserción en Arboles 2-3 Caso 5: r 1 r 2 r 1 < x < r 2 r1 x r 2 Sube x r 1 r 2 x sube al nodo padre. 23 Pseudocódigo de inserción en un árbol 2-3 Si el árbol esta vacío, crear un nuevo nodo y colocar r 1 en el lado izquierdo del nodo. Sino, Si hay un elemento y existe espacio en el nodo, si r 1 es menor que el elemento, el elemento se coloca a la derecha. Sino, Si r 1 es mayor que el elemento el elemento se coloca al lado izquierdo y r 1 al lado derecho. Sino, Si el nodo está lleno se divide en dos nodos del mismo nivel, se crea un nuevo nodo y se reparten los tres elementos. Después si elemento es mayor que r 2, sube r 2 a su padre. si elemento es menor que r 1, sube r 1 a su padre. si elemento es mayor que r 1, pero menor que r 2 sube el elemento a su padre. 24

9 Insertar en un árbol2-3 los siguientes elementos: S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: Input: Insertar en un árbol2-3 los siguientes elementos: S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: Observe que el árbol crece hacia arriba, por la raíz. 26 S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input:

10 S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: Sube el S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: S={ 30, 2,, 63,, 1, 0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: Sube el Sube el

11 S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: 8 1 Sube el

12 S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: Sube el

13 S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: Sube el Sube el S={ 30, 2,, 63,, 1,0, 14, 27, 8, 9, 81, 79, 60 } Input: Eliminación en un árbol 2-3 La estrategia de eliminación de datos en un árbol 2-3 es complementaria a la de inserción. En la inserción se produce una cadena de divisiones e inserciones hasta que un nodo no necesite dividirse o se llegue a la raíz. En el caso de la eliminación, los nodos se quedan vacíos y se fusionan con sus hermanos, hasta que un nodo quede vacío o se llegue a la raíz.

14 Eliminación en un árbol El proceso siempre va a empezar en un nodo hoja. Si el elemento a borrar está en un nodo interior, se intercambia su valor con el de su sucesor en inorden, menor elemento del subárbol que queda a la derecha del elemento a borrar. 2. Si en la hoja en que se inicia la eliminación hay otro elemento, se elimina. 40 Eliminación en un árbol Si en la hoja es el único elemento, el nodo queda vacío, lo cual no está permitido en árboles 2-3. Para arreglarlo, se fusiona el nodo vacío con uno de sus hermanos. Como el nodo padre ha perdido un hijo, también tiene que tener un elemento menos, por lo que pasa un elemento del padre al nuevo nodo. 4. Si el nodo hermano ya estaba lleno, se divide el nuevo nodo en 2 hijos y el elemento del medio queda como padre. 41 Eliminación en un árbol Si el nodo padre se queda vacío al perder un elemento, se debe de repetir el algoritmo de fusión en el árbol tantos niveles hacia arriba como haga falta hasta encontrar un nodo que no se quede vacío o se llegue a la raíz. Si se llega a la raíz y se queda vacía, entonces tiene un hijo. La raíz se elimina y su único hijo pasa a ser la nueva raíz. 42

15 Eliminar del siguiente árbol 2-3 los elementos : 70, 100 y Como el elemento 70 no está en una hoja, se intercambia con su sucesor en inorden, el 80. El nodo quedaría entonces [80, 90] con tres hijos, [60], [70] y [100] Al borrar el 70, el nodo queda vacío

16 Se intenta escoger para fusionarse un hermano que tenga dos elementos, para que el nodo padre no pierda elementos y evitar que se propaguen la fusiones hacia arriba Como en este caso no hay ningún hermano que pueda ceder un elemento, se escoge un nodo cualquiera, por ejemplo el [60] y se baja un elemento del nodo padre el [80]. El árbol queda finalmente: Borrar el elemento 100, que está en un nodo hoja

17 Este nodo se queda vacío, por lo que hay que realizar el proceso de fusión Como el nodo hermano está lleno, al bajar un elemento del padre, hay que dividirlo y repartir los elementos. Los nuevos nodos son el [60] y el [90] y el [80] es el elemento que pasa al nodo padre Borrar el elemento 80 que está en un nodo intermedio. El primer paso es intercambiarlo por su sucesor en inorden, el

18 Resultado : Al eliminar el 80 de la hoja donde se ha colocado, ésta se queda vacía, por lo que hay que fusionarla con su hermano Su hermano, que no está lleno, acepta el elemento que baja del nodo padre, que se queda vacío :

19 El nodo intermedio que se quedó vacío debe fusionarse con el hermano ([]), que como no está lleno, acepta el elemento que baja de su padre, que se queda vacío Como en el paso anterior, el hermano pasa a tener dos elementos y el padre, en este caso la raíz, se queda vacío: Finalmente, se borra el nodo raíz vacío y su único hijo pasa a ser la nueva raíz. El árbol ha perdido altura:

20 Implementación en un árbol 2-3 typedef struct NodoArbol23 { TipoElemento raiz1, raiz2; struct NodoArbol23 *h_izq, *h_cen, *h_der; } TArbol23, *Arbol23; raíz_izq raíz_der 58 Análisis de la Complejidad La altura h de un árbol 2-3 en el peor caso es cuando es un árbol binario completo: n = (h-1) = (2 h - 1)/(2-1) = 2 h - 1 nodos, es decir h <= log 2 (n+1) En el mejor caso es un árbol ternario, entonces: n = (h-1) = (3 h - 1)/(3-1) = (3 h - 1)/2 nodos, es decir h >= log 3 (2n+1) Luego la altura está entre log 2 (n) y log 3 (n) 59 Ejercicios 1. Muestre el proceso de inserción en un árbol 2-3 de la siguiente secuencia de valores: Insertar las claves, 38, 37, 36, en el siguiente árbol 2-3: 60

21 Bibliografía - Webgrafía Algoritmos en C++ Robert Sedgewick, Fernando Davara Rodríguez, Miguel Katrib Mora, Sergio Ríos Aguilar, Luis Joyanes Aguilar 2000 Addison-Wesley/Díaz de Santos. Introduction to Algorithms, 2nd edition. Cormen, T., Leiserson, Ch., Rivest, R. and Stein, C. MIT Press Data Structures and Algorithms. A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman. Addison-Wesley, Traducido al castellano, Brassard, Gilles & Bratley, Paul. Fundamentos de Algoritmia. Prentice-Hall cupi2.uniandes.edu.co 61