La máxima distancia entre dos nodos de un árbol está dada por alguna de las 3 siguientes: La máxima distancia entre dos nodos del subárbol izquierdo.

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José Ignacio Blanco Carrasco
hace 6 años
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1 Dado un árbol binario cualquiera, calcular la máxima distancia entre dos nodos. El algoritmo debe funcionar en orden de complejidad, siendo n la cantidad de nodos. Idea del algoritmo: La máxima distancia entre dos nodos de un árbol está dada por alguna de las 3 siguientes: La máxima distancia entre dos nodos del subárbol izquierdo. La máxima distancia entre dos nodos del subárbol derecho. La máxima distancia entre dos nodos del subárbol izquierdo y derecho (la suma de la altura de los subárboles). Las características de D&C presentes en este algoritmo son: Dividir el árbol en subárbol izquierdo y derecho (en caso de que existan). Conquistar pidiendole a cada subárbol que nos devuelva su máxima distancia entre dos nodos, y su altura. Combinar los resultados obtenidos eligiendo el máximo entre la suma de las alturas y las máximas distancias obtenidas en cada subárbol. Pseudocodigo 1 MaxDist(in/out ab A res: nat) res MaxDist2(A, 0) 1

2 Pseudocodigo 2 MaxDist2(in/out ab A, out int h res: nat) if eshoja(a) nil?(a) then h = 1 return 0 if Izq(A)!= NULL && Der(A)!= NULL then res = max(distizq, distder, hizq+hder) h = max(hizq, hder) + 1 if Izq(A)!= NULL then res = max(distizq, hizq) h = hizq + 1 if Der(A)!= NULL then res = max(distder, hder) h = hder + 1 return res Todas las operaciones son (incluido el llamado recursivo). La complejidad está dada por la cantidad de veces que se ejecuta el algoritmo para un árbol de n nodos la cual es n. Esto sucede porque tanto el caso base como el recursivo recorren un único nodo (y nunca se repite uno ya visitado). Por ende la complejidad temporal del algoritmo es. 2

3 Versión más copada. De todas maneras tengan en cuenta que a veces es necesario tener los dos casos bases (por ejemplo cuando buscamos una hoja): Pseudocodigo 3 MaxDist(in/out ab A res: nat) res MaxDist2(A, 0) Pseudocodigo 4 MaxDist2(in/out ab A, out int h res: nat) if nil?(a) then h = 0 return 0 res = max(distizq, distder, hizq+hder) h = max(hizq, hder) + 1 return res La justificación de complejidad sería la misma. 3

4 Dados dos arreglos llamados In y Pre correspondientes al Inorder y Preorder de un arbol binario cualquiera, obtener el arreglo correspondiente al Postorder. Como precondición, el árbol no tiene elementos repetidos. Idea del algoritmo: La manera de recorrer un árbol binario utilizando estos métodos es la siguiente: Inorder: Izquierdo - Medio - Derecho Preorder: Medio - Izquierdo - Derecho Postorder: Izquierdo - Derecho - Medio La primer posición del Preorder nos indica la raíz del árbol. Sea z la posición de la raíz en el arreglo Inorder, i y j las posiciones que indican el comienzo y el final del árbol respectivamente, sabemos que: En el intervalo [i,..., z 1] del arreglo Inorder se encuentra el subárbol izquierdo, por la manera en que se recorre el árbol con esta técnica. En caso de que el intervalo sea vacío no tiene el subárbol correspondiente. En el intervalo [z + 1,..., j] del arreglo Inorder se encuentra el subárbol derecho, por la manera en que se recorre el árbol con esta técnica. En caso de que el intervalo sea vacío no tiene el subárbol correspondiente. Luego, el algoritmo consiste en llamar recursivamente a ambos subárboles (en caso de que existan) hasta llegar a una hoja. En ese caso (el caso base) se introduce la hoja al arreglo Postorder y se actualiza el índice que ahora corresponderá a la raiz del próximo subárbol a tener en cuenta. Una vez finalizado este proceso, se inserta en el arreglo Postorder la raiz del subárbol. Noten como primero se inserta el subárbol izquierdo, luego el derecho, y por último la raiz, cumpliendo el esquema que utiliza Postorder para recorrer el árbol. Las características de D&C en este algoritmo son: Dividir el árbol en subárbol izquierdo y derecho (en caso de que existan). Conquistar insertando los hijos del subárbol en el arreglo Postorder. Combinar insertando la raiz de cada paso recursivo en el arreglo. Pseudocodigo 5 crearpostorder(in arreglo(nat) In, in arreglo(nat) Pre res: arreglo(nat)) res vacío crearpostorder2(in, Pre, res, 0, Tam(In)-1, 0) 4

5 Pseudocodigo 6 crearpostorder2(in arreglo(nat) In, in arreglo(nat) Pre, out arreglo(nat) Post, in/out nat i, in/out nat j, in/out nat pr) res: arreglo(nat) O(n 2 ) if i == j then AgregarAtrás(Post, In[i]) pr = pr + 1 int raiz = Pre[pr] pr = pr + 1 for z = 0 to tam(in) do if i z then crearpostorder2(in, Pre, Post, i, z-1, pr) if j z then crearpostorder2(in, Pre, Post, z+1, j, pr) end for AgregarAtrás(Post, raiz) Todas las operaciones son exceptuando el F or del caso recursivo y la operación AgregarAtrás que cuestan. El algoritmo se ejecuta para todos los nodos del árbol una única vez, y como tanto el caso base como el recursivo cuestan, la complejidad del algoritmo es O(n 2 ) 5

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