Especificación de programas. Algoritmos y Estructuras de Datos I. Correctitud de ciclos

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1 Especificación de programas Algoritmos y Estructuras de Datos I Segundo cuatrimestre de 2014 Departamento de Computación - FCEyN - UBA Simulacro Coloquio Final - clase 1 Sean dos programas, cada uno recibe un único argumento de entrada. Supongamos que ambos son correctos para la misma especificación. Ambos programas dan el mismo valor para cada posible valor de entrada? No, porque la especificación puede admitir varios valores posibles. Ejemplo: Q : res > 0. Además, los programas pueden retoornar valores distintos para entradas que no satisfacen la precondición. 1 2 Sea (P, Q) la especificación de un problema, donde P es la precondición y Q es la postcondición. Sea foo un programa correcto respecto de (P, Q). Indicar verdadero o falso y justificar: 1. foo es correcto respecto de (P R, Q). No necesariamente. Ejemplo: foo es el problema de dividir enteros, P: divisor distinto de 0, R: divisor igual a foo es correcto respecto de (P, Q S). No necesariamente. 3. foo es correcto respecto de (P, Q S). Sí, porque Q fuerza la verdad de Q S, para todo S. 4. foo es correcto respecto de (P, P). No necesariamente. Supongamos foo modifica un argumento de entrada negativo en el valor absoluto del mismo. Entonces foo es correcto repecto de modifica x P : pre(x) < 0 Q : x = abs(pre(x)). pero foo no es correcto respecto de (P, P). 5. foo es correcto respecto de (Q, P). No necesariamente. 6. foo es correcto respecto de (Q, Q). No necesariamente. 3 Correctitud de ciclos Enunciar el teorema del invariante con la siguiente modificación: consignar que la función variante sea creciente en cada iteración del ciclo. Teorema del Invariante Sea while (B) cuerpo un ciclo con guarda B, precondición P C y poscondición Q C. Sea I un predicado booleano, v una expresión variante, c una cota, y sean los estados e1 y e2 así: while (B) //estado e1 cuerpo //estado e2 Si valen: 1. P C I 2. (I B) Q C 3. el invariante se preserva en la ejecución del cuerpo, i.e. si I B vale en el estado e1 entonces I vale en el estado e2 4. v es estrictamente creciente, i.e. v@e2 > v@e1 5. (I v c) B entonces para cualquier valor de las variables del programa que haga verdadera P C, el ciclo termina y hace verdadera Q C, es decir, el ciclo es correcto para su especificación (P C, Q C ). 4

2 Algoritmos con secuencias Sea foo(x, y) un programa, y sea (x 0, y 0 ) una pareja de argumentos de entrada. Supongamos que la ejecución de foo(x 0, y 0 ), pasa dos veces por el mismo punto del programa con el mismo estado. Podemos concluir que la ejecución de foo(x 0, y 0 ) no termina? Si foo(x 0, y 0 ) pasa dos veces por el mismo estado E es porque tiene un ciclo. El estado E se transformó, después de una o más instrucciones, nuevamanete en el estado E. Dado que la ejecución es determinística, cada vez que pasa por E volverá a pasar por E. Luego, la ejecución de foo(x 0, y 0 ) no termina. Dar un programa que resuelve este problema. problema lcp(a : [[Char]]) = res : [Z] requiere long(a) >= 1 asegura res == [longitud prefijo comun(a[i], a[i + 1]) i [0..long(a) 2]] aux longitud prefijo comun(s, t) = máx[i + 1 i [0.. mín[long(s), long(t)]], s[0..i] == t[0..i]] donde max y min son las funciones que seleccionan, respectivamente, los valores máximos y mínimos de una lista de enteros. 5 6 Búsqueda lineal Búsqueda Binaria José dejó estacionado su auto con patente AED 001 dentro de un estacionamiento para 500 autos, con cocheras numeradas de 0 a 499, pero solamente se acuerda que el número de cochera terminaba en 5. La información de qué auto hay en cada cochera está guardada en arreglo de String. Las cocheras vacías tienen asociada la patente con string vacío. Las cocheras ocupadas tienen asociada la patente del auto estacionado. Especificar el problema de encontrar el número de cochera donde José dejó su auto, y dar un programa que lo resuelva correctamente. Considerar un arreglo de de String. Hacer una búsqueda lineal solamente en las posiciones que terminan en 5. int cochera(string a[], int n) int i=5; while (i<n && a[i].compare("aed001")!=0) i = i+10; return i; Dada la siguiente especificación. problema maximo(a : [T], n : Int) = res : Int requiere a == n n 3; requiere ( j [1..n 1))(ordenadoAsc(a[0..j]) ordenadodes(a[j..n)); asegura ordenadoasc(a[0..res]) ordenadodes(a[res..n)); aux ordenadoasc(a) == ( i [0.. a 1))(a[i] < a[i + 1]); aux ordenadodes(a) == ( i [0.. a 1))(a[i] > a[i + 1]); Completar el siguiente programa para que sea una adaptación del algoritmo de búsqueda binaria para resolver el problema maximo. 7 8

3 Ordenamiento int maximo(tipot a[], int n) int i=0, d=n-1; while (.. ) int medio= (i+d)/2; if (..) i=m; else d= m; return(..); Consideremos que ya está definida en el lenguaje de especificación la siguiente relación de orden entre números enteros que dice x antesoigualque y si la suma de los dígitos de x es menor o igual que la suma de los dígitos de y. Por ejemplo, 1 antesoigualque 2; 11 antesoigualque 2; 2 antesoigualque 11; 11 antesoigualque 3. Consideremos el problema: problema sortantes(a : [Int], n : Int) requiere pre(a) = n; modifica a; asegura mismos(a, pre(a)); asegura ( k [0.. a 1))a[k] antesoigualque a[k + 1]; Por ejemplo, sortantes([109, 0, 9, 38, 49]) transforma el arreglo en [0, 9, 109, 38, 49]. Mientras que sortantes([109, 82]) transforma el arreglo en [109, 82] o en [82, 109], cualquiera de las dos es una solución aceptable para ese problema. Escribir el programa sortantes que resuelve el problema adaptando Selection Sort o Upsort. Disponen de una función antesoigualque, en C++, que toma dos enteros y retorna el valor booleano correspondiente a la relación de orden descripta Combinado void upsort (int a[], int n) int m, actual = n-1; while (actual > 0) m = maxposa(a,0,actual); swap(a, m, actual); actual--; int maxposa(const int a[], int desde, int hasta) int mp = desde, i = desde; while (i < hasta) i++; if ( not( antesoigualque(a[i], a[mp]))) mp = i; return mp; Dar un programa que resuleve el problema. problema cuentaelementos Comunes(a : [T ], n : Int, b : [T ], m : Int) = res : Int requiere a == n requiere b == m requiere ordenado(a) requiere ordenado(b) asegura res == [mín(cuenta(a, x), cuenta(b, x)) x [a 0..a n 1 ]] aux ordenado(b : [Int]) = k [0.. b 1)b k b k+1 aux cuenta(a, x) == [y y a, y == x] aux min(u, v) = β(u v) u + β(u > v) v El programa es una pequeña variante del merge. Si en el programa usamos las variables enteras, i,j para recorrer los arreglos a, b de izquierda a derecha, la función variante v = n + m (i + j), cota

4 Invariante de representación y Abstracción Invariante de representación y Abstracción Dadas la especificación de un tipo compuesto y un estructura de datos para su implementación, existe una única elección para InvRep y Abs? No! Por ejemplo? El tipo compuesto conjunto implementado sobre una secuencia (secuencia con o sin repetidos, ordenado o no) La elección de InvRep y Abs, influencia la implementación de las operaciones del tipo? Si Cómo? Considerar la operación unión de conjuntos para los casos secuencia con repetidos vs secuencias sin repetidos Dada la siguiente especificación Tipo T problema p(t: T) modifica t; problema q(t: T) asegura Q q; Y el siguiente invariante de representación InvRep(x): x.a > x.b Es correcta la siguiente demostración? void T::p() swap(this -> a,this -> b); this -> q(); //vale Q q No!!! Las operaciones públicas asumen que vale invrep Dado el siguiente bloque de código, nota algún problema en la administración de la int* pint = new int; *pint = 5; pint = new int; *pint = 3; delete pint; Si!! Hay pérdida de memoria Dado el siguiente bloque de código, hay algún problema en la administración de la int* pint = new int; *pint = 5; delete pint; *pint = 3; Si!! Hay un acceso a memoria liberada (aunque el programa tal vez funcione) 15 16

5 Dado el siguiente bloque de código, nota algún problema en la administración de la int* pint1 = new int; int* pint2 = pint1; *pint1 = 3; *pint2 = 5; delete pint1; delete pint2; Si!! Se intenta liberar dos veces la misma posición de memoria Considerar la siguiente implementación para una lista enlazada circular. struct linklist int valor; linklist *next; ; class link linklist *list; Dar una implementación para la operación de agregar al inicio