TEMA 1: DIVIDE Y VENCERÁS

Transcripción

1 TEMA 1: DIVIDE Y VENCERÁS l OBJETIVOS: n Estudio de la estrategia de diseño de algoritmos (recursivos) Divide y Vencerás n Estudio de los algoritmos de Ordenación Rápida: MergeSort y QuickSort n Estudio de otros algoritmos clásicos. 1

2 ÍNDICE l ÍNDICE: n La aproximación Divide y Vencerás. n Análisis de la corrección y la eficiencia de los algoritmos DyV n Problemas: Ordenación Rápida, Selección, Multiplicación de Matrices, otros. 2

3 BIBLIOGRAFÍA l G. Brassard, P. Bratley. Fundamentos de Algoritmia. Prentice Hall, Capítulo 4. l T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest Introduction to Algorithms. MIT Press, Capítulos 1, 8 y 10. l M.A. Weiss Estructuras de datos y Algoritmos. Addison-Wesley, Capítulo 10. 3

4 1. LA APROXIMACIÓN DyV l DIVIDIR el problema original en varios subproblemas que se dividen la talla de forma equilibrada. l VENCER (resolver) los subproblemas de forma recursiva. Si éstos son de un tamaño suficientemente pequeño, resolverlos de forma directa. l COMBINAR las soluciones para obtener la solución del problema original. 4

5 ALGORITMO DE ORDENACIÓN POR FUSIÓN (MergeSort) n DIVIDE la secuencia de n elementos a ordenar en DOS subsecuencias de n/2 elementos cada una. n ORDENA las dos subsecuencias por fusión. Si la secuencia tiene un sólo elemento no hace nada. n MEZCLA las dos subsecuencias YA ordenadas para producir la secuencia completa también ordenada. 5

6 Ejemplo: Mergesort Acción MergeSort (A,p,r) Si p<r entonces q:=[(p+r)/2]; MergeSort(A,p,q); MergeSort(A,q+1,r); Merge(A,p,q,r); Fsi Facción DIVIDE VENCE COMBINA 6

7 Ejemplo: MergeSort l La acción de combinar Merge: {p<=r Ordenada(A,p,q) Ordenada(A,q+1,r)} Merge(A,p,q,r); {Ordenada(A,p,r)} 7

8 Ejemplo: MergeSort l La acción de combinar Merge: {p<=r Ordenada(A,p,q) Ordenada(A,q+1,r)} Merge(var A:secuencia;p,q,r:nat); var B: secuencia; i,j,k:nat; i:=p; j:=q+1; k:=p; mientras (i<=q) and (j<=r) hacer si A[i]<A[j] entonces k:=k+1; fmientras; sino B[k]:=A[i]; i:=i+1; B[k]:=A[j]; j:=j+1; fsi; mientras (i<=q) hacer B[k]:=A[i]; i:=i+1; k:=k+1; fmientras; mientras (j<=r) hacer B[k]:=A[j]; j:=j+1; k:=k+1; fmientras; para i:=p hasta r hacer A[i]:=B[i] fpara fmerge; {Ordenada(A,p,r)} 8

9 2. CORRECCIÓN Y EFICIENCIA DE LOS DyV l La corrección se realiza por inducción sobre el tamaño del problema. l Consiste en demostrar que la operación combinar es correcta si las soluciones de las que parte también lo son. 9

10 La eficiencia. Teoremas l Teorema 1: La solución de la ecuación T(n)=aT(n/b)+O(n k ), con a>=1 y b>1 es O(n log ba ) si a>b k O(n k logn) si a=b k O(n k ) Dem. [Weiss,pp.383] si a<b k 10

11 La eficiencia. Teoremas l Teorema 2: La solución de la ecuación T(n)=aT(n/b)+O(n k log p n), con a>=1, b>1 y p>=0 es O(n log ba ) O(n k log p+1 n) O(n k log p n)si a<b k si a>b k si a=b k 11

12 Ordenación Rápida: QuickSort l DIVIDE: En A[p..r] se establece una Partición en dos subv. no vacíos A[p..q] y A[q+1..r] tal que cada elemento del 1º es menor o igual que cada uno de los del 2º (q se calcula en partición). l VENCER: ordenar los dos subvectores llamando a QuickSort. l COMBINAR: no hay que hacer nada. 12

13 Algoritmo QuickSort Acción QuickSort (A,p,r) si p<r entonces q:=partición(a,p,r); QuickSort(A,p,q); QuickSort(A,q+1,r); fsi facción 13

14 La elección del pivote l Elegir el primer elemento? l Elegirlo al azar? l Tomar la mediana de tres? n La mediana entre el 1º el último y el central. Ej: 8,1,4,9,6,3,5,2,7,0 (piv=6) l Otras. 14

15 El algoritmo Partición {p<=r} Función Partición (A,p,r) devuelve q /* x es el pivote */ p <=x >=x r q 15

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17 Algoritmo PARTICION (var v:vector; ini,fin:entero; var pos:entero); var var izq,der,pos: entero; p:tipobase; p:=v[ini]; izq:=ini; der:=fin; repetir repetir izq:=izq+1 hasta v[izq]>=p repetir der:=der-1 hasta v[der]<=p Intercambiar (v[izq],v[der]); hasta der<izq; Intercambiar (v[izq],v[der]); /* deshace el último cambio */ Intercambiar (v[ini],v[der]); pos:=der; fparticion 17

18 Análisis de QS l Caso Peor: Partición desequilibrada T(n)=T(1)+T(n-1)+k n n>1 T(n)=k n=1 T(n) Θ(n 2 ) l Caso Mejor: Partición equilibrada T(n)=2T(n/2)+k n n>1 T(n) Θ(nlogn) 18

19 Análisis de QS (cont.) l Coste promedio: asumimos que todas las instancias son equiprobables n 1 1 T(n) = ( k' n + T(i) + T(n i)) = n i= 1 n 1 2 = T(i) + kn Θ( n log n) n i= 1 19

20 El problema de la Selección l Encontrar el i-ésimo elemento mayor (o menor) en una lista de n números n Caso particular: Encontrar la mediana [i=n/2] 20

21 Método para Selección l Se efectúa Partición sobre A[p..r] l Si i<= V1 el i-ésimo elemento menor estará en V1 l Si i= V1 +1 el i-ésimo elemento menor es el pivote l Si i> V1 el i-ésimo elemento menor estará en V2, y será el (i- V1-1)-ésimo menor de V2 21

22 El algoritmo Selección Función Selección (A,p,r,i) dev TipoBase var k:entero; si p<r entonces q:=partición(a,p,r); k:=q-p+1; /*Nº elementos de 1ª parte*/ si i<=k entonces dev Selección(A,p,q,i); sino dev Selección(A,q+1,r,i-k); sino dev A[p] 22

23 Análisis de la CT de Selección (n=r-p+1) l Caso Peor: Partición desequilibrada T(n)=T(n-1)+k n n>1 T(n) Θ(n 2 ) l Caso Mejor: Partición equilibrada T(n)=T(n/2)+k n n>1 T(n) Θ(n) l Caso Medio: T(n) Θ(n). Ejercicio. 23

24 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES l Por simplicidad, consideraremos matrices cuadradas: C=A x B l Algoritmo directo: para i:=1 hasta n hacer para j:=1 hasta n hacer C[i,j]:=0; para k:=1 hasta n hacer C[i,j]:=A[i,k]*B[k,j]+C[i,j] 24

25 El algoritmo de Strassen l Dividir el problema de mult. matrices nxn en términos de la multiplicación de matrices n/2xn/2 C C = A A C C B B = A A A 12 B A B A A A A X B B B B A A B B B B = l Mejora el coste de la solución directa? 25

26 El alg. de Strassen (cont.) l Reducir el nº de subproblemas, aunque se incremente el nº de operaciones en cada llamada (Efecto de la cte oculta) M 1 =(A 12 -A 22 )x(b 21 +B 22 ) M 2 =(A 11 +A 12 )x(b 11 +B 22 ) M 3 =(A 11 -A 21 )x(b 11 +B 12 ) M 4 =(A 11 +A 12 )xb 22 M 5 =A 11 x(b 12 -B 22 ) M 6 =A 22 x(a 21 -B 11 ) M 7 =(A 21 +A 22 )xb 11 26

27 El algoritmo de Strassen (cont.) Se pueden multiplicar dos matrices nxn haciendo 7 multiplic. de matrices n/2xn/2, pero más sumas y restas, es más eficiente?... C C C C = M1 + M2 M6 + M4 M7 + M6 M2 M4 M3 + + M5 M5 M7 Complejidad temporal: T(n)=7T(n/2)+k n 2 n>1 T(n)=k n=1 T(n) Θ (n 2.81 ) 27

28 Algoritmo max-min (i,j:entero; var max,min:entero); /* a[1..n] es una variable global */ si (i=j) entonces max:=a[i]; min:=a[j]; /*pequeño*/ sino si i=j-1 entonces /* pequeño */ si a[i]<a[j] entonces max:=a[j]; min:=a[i] sino max:=a[i]; min:=a[j]; fsi; sino /*el problema no es pequeño, se divide */ med:=(i+j)/2; max-min(i,med,max,min); max-min(med+1,j,max1,min1); si max<max1 entonces max:=max1; fsi; sin min>min1 entonces min:=min1; fsi; fsi; fmax-min;

29 MergeSort con listas de punteros a[1..n] vector de enteros link[0..n] vector de enteros. Se interpretan como punteros a a. Una lista es una secuencia de punteros terminda en un 0. Ejemplo: link: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] Dos listas Q=(2,4,1,6) R=(5,3,7,8)

30 Algoritmo Mergesort1(izq,der,umbral:entero); devuelve entero; si (der-izq)<umbral entonces entonces devuelve OrdeInser(a,link,izq,der); fmergesort1; sino med:=(der.izq)/2; fsi; q:=mergesort1(izq,med); r:=mergesort1(med+1,der); devuelve Merge1(q,r);