Algoritmos y Estructuras de Datos
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- Manuel Rey Rojas
- hace 6 años
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1 1 / 36 Universidad Icesi Facultad de Ingeniería
2 2 / 36 Agenda del día 1
3 3 / 36 Por qué usamos recurrencias en análisis de algoritmos?
4 3 / 36 Por qué usamos recurrencias en análisis de algoritmos? Las recurrencias van de la mano del paradigma divide y vencerás.
5 3 / 36 Por qué usamos recurrencias en análisis de algoritmos? Las recurrencias van de la mano del paradigma divide y vencerás. Nos brindan una manera natural de caracterizar los tiempos de ejecución de los algoritmos basados en el divide y vencerás.
6 4 / 36 Qué es una recurrencia?
7 4 / 36 Qué es una recurrencia? Es una ecuación o desigualdad que describe una función en términos de su valor para entradas más pequeñas.
8 4 / 36 Qué es una recurrencia? Es una ecuación o desigualdad que describe una función en términos de su valor para entradas más pequeñas. Ejemplo: f n = f n 1 + f n 2 para n 2 y f 0 = 1 y f 1 = 1
9 5 / 36 Qué relación existe entre las recurrencias y los algoritmos recursivos?
10 5 / 36 Qué relación existe entre las recurrencias y los algoritmos recursivos? Cuando se analiza la complejidad de un algoritmo recursivo, se obtiene una ecuación de recurrencia que expresa el número de operaciones necesarias para resolver un problema de tamaño n en términos del número de operaciones necesarias para resolver el mismo problema sobre uno o más conjuntos de datos de tamaño menor.
11 6 / 36 Cuál es la recurrencia para describir el tiempo de ejecución del MERGE-SORT?
12 66 Chapter 4 Divide-and-Conquer Cuál es la recurrencia of itspara valuedescribir on smaller el tiempo inputs. defor ejecución example, delin Section we MERGE-SORT? worst-case running time T.n/of the MERGE-SORT procedure by th (.1/ if n D 1; T.n/ D 2T.n=2/ C.n/ if n>1; whose solution we claimed to be T.n/ D.n lg n/. Recurrences can take many forms. For example, a recursive alg divide subproblems into unequal sizes, such as a 2=3-to-1=3 split. If combine steps take linear time, such an algorithm would give rise to T.n/ D T.2n=3/C T.n=3/C.n/. Subproblems are not necessarily constrained to being a consta the original problem size. For example, a recursive version of (see Exercise 2.1-3) would create just one subproblem containing 6 / 36
13 66 Chapter 4 Divide-and-Conquer Cuál es la recurrencia of itspara valuedescribir on smaller el tiempo inputs. defor ejecución example, delin Section we MERGE-SORT? worst-case running time T.n/of the MERGE-SORT procedure by th (.1/ if n D 1; T.n/ D 2T.n=2/ C.n/ if n>1; whose solution we claimed to be T.n/ D.n lg n/. Afirmamos que la solución Recurrences para esa canrecurrencia take manyera forms. T (n) For = Θ(n example, log n) a recursive alg divide subproblems into unequal sizes, such as a 2=3-to-1=3 split. If combine steps take linear time, such an algorithm would give rise to T.n/ D T.2n=3/C T.n=3/C.n/. Subproblems are not necessarily constrained to being a consta the original problem size. For example, a recursive version of (see Exercise 2.1-3) would create just one subproblem containing 6 / 36
14 7 / 36 Qué formas pueden tomar las recurrencias?
15 7 / 36 Qué formas pueden tomar las recurrencias? Muchas formas.
16 7 / 36 Qué formas pueden tomar las recurrencias? Muchas formas. Depende de las divisiones del problema.
17 7 / 36 Qué formas pueden tomar las recurrencias? Muchas formas. Depende de las divisiones del problema. El algoritmo recursivo puede dividir en tamaños no iguales.
18 7 / 36 Qué formas pueden tomar las recurrencias? Muchas formas. Depende de las divisiones del problema. El algoritmo recursivo puede dividir en tamaños no iguales. Si divide el problema en una parte de 2/3 y otra de 1/3
19 7 / 36 Qué formas pueden tomar las recurrencias? Muchas formas. Depende de las divisiones del problema. El algoritmo recursivo puede dividir en tamaños no iguales. Si divide el problema en una parte de 2/3 y otra de 1/3 Suponiendo que la división y combinación toma tiempo lineal.
20 7 / 36 Qué formas pueden tomar las recurrencias? Muchas formas. Depende de las divisiones del problema. El algoritmo recursivo puede dividir en tamaños no iguales. Si divide el problema en una parte de 2/3 y otra de 1/3 Suponiendo que la división y combinación toma tiempo lineal. La recurrencia sería T (n) = T (2n/3) + T (n/3) + Θ(n)
21 8 / 36 Están los subproblemas restringidos a ser fracciones constantes del problema original?
22 8 / 36 Están los subproblemas restringidos a ser fracciones constantes del problema original? No.
23 8 / 36 Están los subproblemas restringidos a ser fracciones constantes del problema original? No. Una versión recursiva de la búsqueda lineal.
24 8 / 36 Están los subproblemas restringidos a ser fracciones constantes del problema original? No. Una versión recursiva de la búsqueda lineal. Puede crear un subproblema que solamente contenga un elemento menos que el original.
25 8 / 36 Están los subproblemas restringidos a ser fracciones constantes del problema original? No. Una versión recursiva de la búsqueda lineal. Puede crear un subproblema que solamente contenga un elemento menos que el original. Cada llamado recursivo toma un tiempo constante más el tiempo de sus llamados recursivos.
26 8 / 36 Están los subproblemas restringidos a ser fracciones constantes del problema original? No. Una versión recursiva de la búsqueda lineal. Puede crear un subproblema que solamente contenga un elemento menos que el original. Cada llamado recursivo toma un tiempo constante más el tiempo de sus llamados recursivos. La recurrencia sería T (n) = T (n 1) + Θ(1)
27 9 / 36 Cuáles son los métodos para resolver estas ecuaciones de recurrencia?
28 9 / 36 Cuáles son los métodos para resolver estas ecuaciones de recurrencia? El método de iteración.
29 9 / 36 Cuáles son los métodos para resolver estas ecuaciones de recurrencia? El método de iteración. El método del árbol de recursión.
30 9 / 36 Cuáles son los métodos para resolver estas ecuaciones de recurrencia? El método de iteración. El método del árbol de recursión. El método del maestro.
31 10 / 36 Agenda del día 1
32 11 / 36 Cuál es el método de iteración?
33 11 / 36 Cuál es el método de iteración? Expandir la recurrencia y expresarla como una suma de términos que dependen de n y de las condiciones iniciales.
34 12 / 36 Cuáles son algunas fórmulas útiles para sumatorias?
35 1 2-7T Rosen-2311T MHIA017-Rosen-v5.cls May 13, : / Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, Sums, and Matrices Cuáles son algunas fórmulas útiles para sumatorias? TABLE 2 Some Useful Summation Formulae. Sum n ar k (r = 0) k = 0 n k k = 1 n Closed Form ar n+1 a,r = 1 r 1 n(n + 1) 2 k 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 k = 1 n k 3 n2 (n + 1) 2 k = 1 x k, x < 1 k = 0 kx k 1, x < 1 k = x 1 (1 x) 2 12 / 36
36 13 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ), T(1)= (1) Expandir la recurrencia 2 veces
37 14 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ) n + 3 ( n/4 + 3T( n/16 )) n + 3 ( n/4 + 3( n/16 + 3T( n/64 ) )) n + 3* n/ * n/ T( n/64 )
38 15 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ) n + 3 ( n/4 + 3T( n/16 )) n + 3 ( n/4 + 3( n/16 + 3T( n/64 ) )) n + 3* n/ * n/ T( n/64 ) Cuándo se detienen las iteraciones?
39 16 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ) n + 3 ( n/4 + 3T( n/16 )) n + 3 ( n/4 + 3( n/16 + 3T( n/64 ) )) n + 3* n/ * n/ T( n/64 ) Cuándo se detienen las iteraciones? Cuando se llega a T(1)
40 17 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ) n + 3 ( n/4 + 3T( n/16 )) n + 3 ( n/4 + 3( n/16 + 3T( n/64 ) )) n + 3* n/ * n/ T( n/4 3 ) Cuándo se detienen las iteraciones? Cuando se llega a T(1), esto es, cuando (n/4 i )=1
41 18 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ) n + 3 ( n/4 + 3T( n/16 )) n + 3 ( n/4 + 3( n/16 + 3T( n/64 ) )) n + 3* n/ * n/ n/ log 4 n T(1) Cuándo se detienen las iteraciones? Cuando se llega a T(1), esto es, cuando (n/4 i )=1
42 19 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ) n + 3 ( n/4 + 3T( n/16 )) n + 3 ( n/4 + 3( n/16 + 3T( n/64 ) )) n + 3* n/ * n/ ( n/4 3 ) log 4 n (1) Después de iterar, se debe tratar de expresar como una sumatoria con forma cerrada conocida
43 20 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ) n + 3 ( n/4 + 3T( n/16 )) n + 3 ( n/4 + 3( n/16 + 3T( n/64 ) )) n + 3* n/ * n/ ( n/4 3 ) log 4 n (1) n + 3n/ n/ n/ log4n (1)
44 21 / 36 T(n) = n + 3T( n/4 ) n + 3 ( n/4 + 3T( n/16 )) n + 3 ( n/4 + 3( n/16 + 3T( n/64 ) )) n + 3* n/ * n/ ( n/4 3 ) log 4 n (1) n + 3n/ n/ n/ log4n (1) = n log n 4 i log (3/ 4) 3 4 n i 0 (1) = n (log4 n) 1 ( 3/ 4) 1 log4 3 (log4 n) 1 log4 3 n n*4(1 (3/ 4) ) ( n ) (3/ 4) 1 = O(n)
45 22 / 36 Resuelva utilizando el método de iteración 1 T (n) = 2T (n/2) + 1 T (1) = Θ(1) 2 T (n) = 2T (n/2) + n, T (1) = Θ(1) 3 T (n) = 3T (n/4) + cn 2, T (1) = Θ(1)
46 23 / 36 Agenda del día 1
47 24 / 36 Cuál es el método del árbol de recursión?
48 24 / 36 Cuál es el método del árbol de recursión? Expandir la recurrencia en un árbol.
49 24 / 36 Cuál es el método del árbol de recursión? Expandir la recurrencia en un árbol. Sumar los costos en cada nivel.
50 25 / 36 Iteración con árboles de recursión T(n) = 2T(n/2) + n 2
51 26 / 36 n 2 T(n/2) T(n/2)
52 27 / 36 n 2 (n/2) 2 (n/2) 2 T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)...
53 28 / 36 n 2 (n/2) 2 (n/2) 2 (n/4) 2 T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/8) T(n/8)...
54 29 / 36 n 2??? (n/2) 2 (n/2) 2 (n/4) 2 T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/8) T(n/8)...
55 n 2??? (n/2) 2 (n/2) 2 (n/4) 2 T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/8) T(n/8)... (n/2 i ) 2 =1 (n/2 i )=1 n=2 i log n=i 30 / 36
56 31 / 36 n 2 n 2 (n/2) 2 (n/2) 2 lg n (n/4) 2 T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/8) T(n/8)...
57 32 / 36 n 2 n 2 (n/2) 2 (n/2) 2 n 2 /2 lg n (n/4) 2 T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/8) T(n/8)...
58 33 / 36 n 2 n 2 (n/2) 2 (n/2) 2 n 2 /2 lg n (n/4) 2 T(n/4) T(n/4) T(n/4) n 2 /4 T(n/8) T(n/8)...
59 n 2 n 2 (n/2) 2 (n/2) 2 n 2 /2 lg n (n/4) 2 T(n/4) T(n/4) T(n/4) n 2 /4 T(n/8) T(n/8)... Total= 2 i lgn n 2 lgn 1 n * i 0 i i / 36
60 35 / 36 Total n 2 2 lgn 2 n i 0 i * lgn i i Total (lg n 1) 2 (1/ 2) n * 1/ ( n )
61 36 / 36 Resuelva utilizando el método del árbol de recursión 1 T (n) = 2T (n/2) + 1 T (1) = Θ(1) 2 T (n) = 2T (n/2) + n, T (1) = Θ(1) 3 T (n) = 3T (n/4) + cn 2, T (1) = Θ(1)
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